I. — Le mouvement d'une droite

1. Un système invariable, que nous considérons comme illimité, se déplace d'une manière déterminée dans l'espace fixe 1'.

Sa position sera connue à chaque instant, si l'on donne celles de trois points qui déterminent un plan. Car si Aq, Bo, Co sont les positions de trois points A, B, C, un quatrième point D ne pourra prendre que des positions telles que : DoAo = DA; DoBo = DB; DoCo = DC, c'est-à-dire, telles que le tétraèdre AoBoCoDq soit égal au tétraèdre ABCD. Mais une pareille position est unique. Si donc nous savons que trois points non en ligne droite ont atteint les positions qui leur étaient assignées, nous pourrons en dire autant du système lui-même.

Nous nous servirons des mêmes notations que dans les deux Chapitres précédents. A, gy s, désigneront donc respectivement un point, une droite, un plan de 2, lorsque leur position dans l'espace 1' n'interviendra pas dans la question; au contraire, les différentes positions que prend 2 dans 1' seront encore désignées par ^o» ^1? . . . • De même Ao, A,, . . . désigneront les positions correspondantes du point A deD, etc.

2. Pendant le mouvement du système, chacun de ses points décrit une courbe qui sera sa trajectoire, chaque droite engendre une surface réglée, chaque plan enveloppe une surface développable, etc.

Pour étudier les propriétés géométriques de ces courbes et de ces surfaces, nous considérerons encore deyix positions

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 83

arbitraires Iq p^ 2, du système. Quelle que soit la manière dont elles seront choisies, le plan de l'infini sera toujours un plan uni de lo et ^i- Mais nous excluons de prime abord le cas où les deux systèmes auraient en commun un point ou un plan situés à distance finie. Car, s'ils ont en commun un point à distance finie, on peut les considérer comme étant deux positions d'un système invariable qui tourne autour d'un point fixe; mais ce cas a été étudié au Chapitre précédent. Si les deux systèmes ont en commun un plan à distance finie, ils peuvent être ou congruents, ou symétriquement égaux. Dans le premier cas, nous avons fait voir au Chapitre I que les systèmes plans congruents auront toujours un point uni.'Si celui-ci n'est pas à l'infini, nous rentrons dans le cas précédent; si c'est, au contraire, un point à l'infini du plan, il suffira d'une simple translation pour faire passer le plan et, par conséquent, le système 1 de sa position initiale à sa position finale.

Si les deux plans correspondants Sq et £i sont symétriquement superposés, désignons par goy 1h\ gu ^i deux couples quelconques de droites correspondantes des deux plans. Alors la bissectrice de l'angle (gogi) est parallèle à celle de l'angle (/îo/ii); à une droite de Sq qui est parallèle à la bissectrice, correspondra, comme on le voit aisément, une droite de même direction. Les droites ainsi définies forment, dans £o et £i, deux faisceaux de rayons parallèles qui sont symétriquement superposés. Il existe donc forcément une droite située à distance finie qui se correspond à elle-même. Désignons-la •par ^0 = ^i-

Ces deux droites œ^ et ^i n'ont, comme point uni, que le point à l'infini, ou bien elles se correspondent point par point (*). Dans le premier cas, So se superpose à Sj après une rotation de i8o° autour de ^o» Ce cas rentre donc dans le Chapitre précédent. Dans le second cas, il faut ajoutera cette

(') Un seul point uni O, situé à distance finie, ne peut pas se présenter, car autrement, par une rotation de i8o° autour d'une droite perpendiculaire en O sur s, on pourrait faire coïncider point par point non seulement Xg avec x^, mais la perpendiculaire d^ à x^ qui passe par O coïnciderait aussi avec d^. Alors les plans e^ et s, seraient superposés point par point.

rotalion une translation parallèle à Xq- Nous reviendrons au § IV, 1, sur la signification cinématique de ce cas.

3. Soient maintenant Iq et 2, deux positions quelconques de 2 satisfaisant à la condition énoncée ; soienl g^ et ^i les positions correspondantes d'une droite^; Ao,Bo, ..., A,,Bi, ...les positions des points de ^. On désignera encore par A'", B'", ... les points milieux des cordes AqAi, BoBi. Soit de plus a'^ le plan perpendiculaire en A"^ sur la corde AqAi. On l'appellera plan normal correspondant au point A.

Les plans normaux a^ et (3^ des points A et B de ^ se coupent suivant une droite g^; sur cette droite prenons arbitrairement les points M et N. Comme ces points 'sont dans a^

on a

MAo=:MAi; NAo3=NAi,

et de même, les deux points étant situés dans p^,

MBo = MBi; NBorrzNBi.

Mais AoBo = AiBi, par suite les deux tétraèdres MNAqBo et MN AiBi sont égaux entre eux et peuvent, par une rotation autour de MN, être amenés en coïncidence.

Donc :

Tout déplacement d'une droite peut être obtenu au moyen d'une rotation autour d'une droite g^ de V espace. Les plans normaux correspondant à tous les points de g se coupent suivant g"^.

Les deux droites g^ et g^ ne seront pas, en général, dans un même plan; cependant il peut arriver qu'elles se coupent ou qu'elles soient parallèles entre elles. Dans chacun des trois cas possibles, il existe une droite g^. Si ^o et g^ se coupent, g^ sera de plus perpendiculaire au plan [^o^i]-

Si ^0 et g^ sont parallèles, les cordes relatives aux points A, B, C sont également parallèles; les plans normaux passent tous par une même droite ^^, située à l'infini.

k. Si g^ et gx ne se coupent pas, les cordes relatives aux points A, B, C sont les génératrices d'un paraboloïde, cha-

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE.

cune d'elles est dans un plan perpendiculaire à g"^. Toutes les génératrices de ce système sont coupées par celles de l'autre suivant des ponctuelles semblables. Donc les points milieux A"S B'", C"', . . . sont tous sur une droite. On l'appellera la médiane de ^''i et on la désignera par ^'". Donc :

Les points milieux des cordes relatives aux points d'une droite sont en ligne droite.

Le théorème précédent a été démontré en supposant que ^'o et g\ ne se rencontrent pas; mais, comme on l'a fait voir au Chapitre I, il subsiste lorsque g^ et ^i se coupent ou lorsque ces droites sont parallèles entre elles.

Dans ces derniers cas, on a montré que les projections de toutes les cordes sur g""- sont égales entre elles, et que

A igog"^) = A {gig'"-)' On est donc amené à se demander si ces propriétés subsistent dans le cas général. En effet, cela a lieu. Pour le démontrer, menons par A'" les droites Ço parallèle à go, et Çi parallèle à g^. Déterminons sur ces droites les séries ponctuelles a.loo, ^î>o, Co» ..., =Aoi,ift),, G, égales à A,B,C, ...,et

telles que Xo et Xi coïncident en A,„. Pour tout point C on a

c'est-à-dire que Co©o®iCi est un parallélogramme. Donc C'^est en même temps le milieu de CoGi, et comme, de plus, XoQq=:<ÂdiQi, g'"' est la bissectrice de l'angle {gog\), c'està-dire que :

La médiane g"'- fait des angles égaux avec g^ et g^.

La projection de CoCi sur g"^ est égale à la projection du contour Co3o^iCi. Mais, ©o^i étant perpendiculaire sur^'", la projection de CoCi est égale à la somme des projections de CoSo et GiCi. Comme CoSo = Ao<v1do et GiCi — Aial>i, elle est égale à la projection de AoAj.

De là il suit que :

Les projections sur la médiane des cordes relatives à tous les points de g sont égales entre elles.

Si donc une corde est perpendiculaire à g"\ il faut qu'elles le soient toutes. Ce théorème est d'une grande importance. Les médianes qui sont perpendiculaires sur les cordes relatives à leurs points ont une importance exceptionnelle dans la théorie du mouvement d'un système. Nous aurons à nous occuper plus tard tout spécialement de leurs propriétés et de leur distribution dans l'espace.

IL — Le mouvement d'un plan.

1. Soient maintenant So et s^ deux positions correspondantes d'un plan s du système 2 à trois dimensions ; à chaque point A de ce plan correspond un point A"S et à chaque droite passant par A une droite g"^ passant par un point A'". Si g et h sont deux droites quelconques de s, elles auront toujours un point commun à distance finie ou infinie; il en sera de même pour les droites g"^ et h"K Deux droites de ce système se couperont toujours, et, comme elles ne peuvent passer toutes par le même point, elles seront dans le même plan, c'est-à-dire que :

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE.

Les milieux des cordes de tous les points d'un plan s sont dans un même plan.

On désignera ce plan sous le nom de plan médian s'" de e.

2. A tout point A de £ correspond un plan normal oC\ et à toute droite g^ qui passe par A, une droite g"^ contenue dans a'.

A deux droites quelconques g el h de e correspondent donc deux droites qui se coupent, g^ et h^. Deux droites, g^ et A^, choisies arbitrairement, ont un point commun, et, comme elles ne peuvent pas être toutes dans un même plan, elles passeront par le môme point E'. Celui-ci est en même temps le point d'intersection commun aux plans normaux de tous les points de s. Chacun de ces plans normaux passe par E'^, et le point qui lui correspond dans s'".

Les deux droites suivant lesquelles Eq et Si sont coupées par £'" sont deux droites correspondantes e^ et ei des deux plans.

La corde de tout point Bo de eo est, en effet, tout en- i''S- ^^■

tière dans s'"; par conséquent, Bi, et par suite e^, sont aussi dans £'".

La médiane e'^ de e^ et e, rencontre (Chap. 1, § I, 3) e^ et ^1 en deux points correspondants Eq et El. Si, déplus, on désigne par Si ou To le point d'intersection de Cq et ^1, suivant qu'on le considère comme appartenant à l'un ou l'autre système, Eq se confondra avec S'« et Ei avec T'".

Donc le plan mené par Eo

perpendiculairement à e^ est le plan normal (f; de même, t* passe par Ei : ce plan est perpendiculaire à e^. Donc l'intersection de G^ et f^ qui est perpendiculaire sur £'", est la droite e^ et le point F'" où é^ rencontre le plan £'" est, en outre, centre de rotation pour e^ et e^.

La droite e^' contient, en tout cas, le point E^. Mais ce point ne peut être autre que F'". Car, ainsi qu'on l'a vu plus haut, le plan normal 9"^ de ¥'"■ doit passer aussi par E^. Si donc F'" et E^ étaient distincts, 9^ passerait par e'\ ce qui est impossible, car seuls les plans normaux des points de e'" passent par é^. D'où il suit :

Les plans normaux de tous les points d'un plan s se coupent en un point E^ du plan médian £'"■. Les droites g^ qui correspondent aux droites g de s. passent également par E^.

Les deux droites suivant lesquelles o-^ et z' coupent les plans £0 et £1 sont des droites correspondantes dans les deux plans, car l'une d'elles est perpendiculaire sur e^ en E^, l'autre sur e^ en Ej. Nous les désignerons par/o et/i. On peut faire voir que leurs points d'intersection avec e^ sont deux points correspondants Fo et Fj. A cet effet, déterminons la droite p. Nous savons déjà qu'elle passe parE^=:F'" et qu'elle est dans le plan normal du point E'", lequel est perpendiculaire sur e"\ D'autre part, nous avons vu plus haut que EqFo et EiFi font des angles égaux avec/^; mais aucune droite du plan considéré ne satisfait à cette condition, si ce n'est E'"F'". Parmi les plans normaux qui passent par f se trouve donc aussi le plan £'", et la corde correspondante est perpendiculaire sur e'"-. La seule droite satisfaisant à cette condition et qui rencontre /^ et /i est la droite e^; par suite, notre proposition se trouve démontrée. Dans le cas général, il ne peut pas y avoir de second point tel que F'".

Donc :

Dans tout plan £ il existe, en général, un point à distance finie F dont la corde est perpendiculaire sur le plan médian £'". Le point correspondant F'" est le point de z'"- ou concourent tous les plans normaux des points de £. Le plan normal de ce point est £^ lui-même.

De l'égalité des triangles FoEoF'" etFiEiF'" il suit encore que

A(FoEoF'«)r=3A(F,E,F-).

Mais ces angles sont ceux que font entre eux les plans £0 et £, ; nous avons donc le théorème suivant :

MOUVEMENT d'uX SYSTÈME INVARIABLE. 89

Les plans Eq et £, font des angles égaux ai^ec le plan médian.

Eq et El sont les points des droites e^ et ei où celles-ci sont rencontrées par la médiane e"^.

On désigne cette droite sous le nom de caractéristique du plan £. Elle se signale par deux singularités : d'un côté, elle jouit de cette propriété que les cordes de tous ses points sont dans £"^; d'autre part, on peut la définir comme étant la seule droite de £'" qui soit à angle droit sur la droite correspondante e^

3. Les précédents théorèmes nous permettent d'indiquer de quelle manière on peut faire passer le plan £ de sa position initiale à sa position finale. Nous lui imprimerons d'abord un mouvement de rotation autour de e^ jusqu'à ce que e^ coïncide avec e^. Alors Fq et Fj n'auront pas changé de position dans l'espace. Si nous faisons encore tourner le plan autour de Ci jusqu'à ce qu'il vienne en coïncidence avec £,, Fq viendra dans la position F^, et, comme trois points non en ligne droite sont maintenant dans leur position finale, on peut en dire autant de tous les points du plan.

L'ordre des deux opérations est interchangeable. Car nous faisons d'abord tourner le plan £o autour de e^ jusqu'à ce que Fo arrive en coïncidence avec Fi ; Cq ne changera pas de position dans l'espace. Effectuons maintenant la rotation autour de e^; les points e^ coïncident avec les points correspondants de Cl, et, par conséquent, cela aura lieu pour tous les points de £0 et de £i.

11 suit de là que :

Tout déplacement d'un plan e peut, en général, être obtenu au moyen de deux rotations successives autour de deux droites perpendiculaires V une sur Vautre. L'ordre des rotations est indifférent. L'une d'elles a lieu autour d'une droite déterminée e du plan; c'est celle qui correspond à la caractéristique e"^ du plan £'"; l'autre rotation se fait autour d'une droite déterminée de l'espace absolu, la droite e^ qui accompagne e.

90 CHAPITRE lil.

On remarquera encore que, quel que soit l'ordre des rotations, on devra toujours entendre par e la même droite de £. Sa position dans l'espace absolu varie suivant que nous prenons e ou e'' comme premier axe de rotation.

L'ordre des rotations étant interchangeable, on peut aussi les faire simultanément.