III. — Le système focal

1. Les points milieux A'", B'", C" des cordes, correspondant aux points A, 13, C du système 2, sont tels qu'à chaque droite g corresponde une droite ^'", et à chaque plan s un plan s'". L'ensemble de ces points forme donc un système i'" en collinéation avec Hq et ^i. Observons encore qu'à un point à l'infini de 2 correspond un point à l'infini de 2'", et nous aurons le théorème suivant :

Le système li"^, formé par les milieux des cordes, est en affinité collinéaire avec les systèmes 2o et Sj.

Les plans normaux a^, [3^, /', qui correspondent aux points A, B, G de 2, forment un système i^ qui, d'après ce qui a été vu au § II, 2, est en situation réciproque avec 1q et 2i. 2'" et 2^ sont donc aussi des systèmes réciproques. Le point A"^ est dans le plan oC^ qui lui correspond, et le plan s'" passe par le point E^ qui est son correspondant. Les deux systèmes ont donc l'un vis-à-vis de l'autre une situation telle, que chaque plan de l'un passe par le point correspondant de l'autre. Deux systèmes qui sont dans une telle liaison forment ce que l'on appelle un système focal (^).

% La propriété caractéristique d'un pareil système consiste en ce que, à chaque point de l'espace, correspond le même plan, qu'on considère le point comme faisant partie de 2"' ou de 2^, et inversement à tout plan de l'espace correspond doublement le même point. Cela ressort clairement des

( * ) Le système focal fut découvert à peu près en même temps par Chasies et par Mobius {Lehrbuch der Statik, § 74). Mobius le désigne sous le nom de Nullsystem.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. gi

théorèmes démontrés au § II, 2. Car au point E'' de 2^ correspond dans le système 1'^ le plan £"\ D'autre part, si l'on considère le point E' comme étant un point F'" del"\ il lui correspondra le plan e"^ dans le système 2'.

On peut donc considérer les deux systèmes comme n'en formant qu'un setd, dont les éléments se correspondent réciproquement par couples. Nous appellerons plan focal d'un point le plan qui lui correspond, et/ojer le point qui correspond à un plan.

3. Soit maintenant g"^ une droite quelconque de 2'" et g'^ la droite correspondante de 2^ Si A'" est un point pris arbitrairement sur g"'y son plan normal, c'est-à-dire son plan focal o^y passera par g^.

Si^ de plus, (3'' est un plan quelconque passant par ^'", son foyer B^ devra se trouver sur g"^.

Considérons maintenant g^ comme faisant partie de 2'" et désignons alors cette droite par h"\ Appelons aussi D'" le point désigné plus haut par B"^, le plan correspondant ô^sera, à cause de la double correspondance, identique avec (3"% et, comme cela a lieu pour tout point B^, la droite h'^ est identique avec g"\

Désignons encore le plan a' par y'", en le considérant comme faisant partie de l"'-. C^ est identique avec A"' et se trouve, par conséquent, sur ^'"; d'où il suit encore que /i' est la même droite que g"^.

Les droites g"^ et g^ se correspondent donc aussi doublement, c'est-à-dire que, si nous considérons g^ comme étant une droite h"^ de 1'", les plans focaux ou normaux de tous ses points se coupent suivant la droite g"\

Donc :

Deux droites g"^ et g"' sont tellement liées Viuie à Vautre que chacune d'elles est la droite d' intersection des plans normaux ou plans focaux des points de Vautre.

Deux pareilles droites sont dites droites conjuguées du système focal. On peut leur appliquer le théorème suivant, comme il ressort de ce qui vient d'être dit :

Deux droites conjuguées sont telles que chacune d'elles contient les foyers des plans qui passent par Vautre.

La manière dont les espaces réciproques ^"^ et 2^ sont reliés entre eux est donc, au point de vue géométrique, complètement réciproque.

Toutefois, comme 2'" et 2^ jouissent de propriétés cinématiques différentes, nous serons obligés, en général, de séparer les deux parties du système focal, et nous continuerons à indiquer, par le mode de notation, si nous considérons un point de l'espace comme appartenant à ^'" ou ^^. ]

k. Si la droite g'"- est à l'infini, on dira que sa conjuguée g^' est un diamètre du système focal. On a ce théorème :

Tous les diamètres du système focal sont parallèles entre eux.

Car, toutes les droites à distance infinie étant dans un plan, tous les diamètres passent par le foyer de ce plan, et sont, par conséquent, parallèles entre eux. Chaque diamètre contient les foyers des plans qui passent par sa conjuguée située à l'infini; il correspond donc à un faisceau de plans parallèles, et on l'appellera <i/<2mè^re adjoint (^) à ces plans.

Parmi tous ces diamètres, il en existe un, adjoint au faisceau de plans perpendiculaires sur la direction des diamètres. On l'appelle V axe principal du système focal.

L'axe principal contient donc le foyer de tout plan ^'" qui lui est perpendiculaire, et, comme le foyer de ^'" est le point F'^ dont la corde est normale sur ^'", il s'ensuit que l'axe principal est en même temps la corde de ce point F'". Les points Fo et Fi sont donc aussi situés sur cet axe.

Cela a lieu pour tout plan perpendiculaire à l'axe principal, et il en résulte que cette droite se correspond à elle-même dans les systèmes 2o, 2i, 2'". On la désignera par x^, x^, x"' ou par X.

Les deux ponctuelles congruentes qui sont superposées sur l'axe principal n'ont comme élément uni que le point

(') Cette dénomination fut introduite par Mannheim.

MOUVEMENT DXN SYSTÈME INVARIABLE. gS

à l'infini. C'est donc le seul point uni, réel, des systèmes

—0 ei ^i-

5. Nous sommes maintenant en état de déterminer la position du foyer pour les plans que nous avons exclus d'abord de nos considérations.

Si £o et £,, par exemple, sont parallèles entre eux, c'està-dire si la droite de l'infini se correspond à elle-même dans les deux plans, ils seront aussi parallèles à s'", et s"^ contient la droite infiniment éloignée (£o£i). Le foyer est donc l'intersection de £'" avec le diamètre adjoint.

Si £o et £i doivent avoir une droite double à distance finie, ce ne peut être que l'axe principal. Alors le foyer de £'" est sur la droite infiniment éloignée conjuguée de œ : c'est donc le point à l'infini de £'" dans la direction normale à a:.

Si les deux plans ont en commun un point à l'infini, il faut que ce soit le point à l'infini sur l'axe principal. Donc, chacun des deux plans, et, par suite, £'" aussi sera parallèle à la direction de cet axe. Le plan s'"- renferme donc une infinité de diamètres du système focal. Son foyer est le point à l'infini par lequel passent toutes les droites de l'infini conjuguées de diamètres.

Enfin, nous remarquerons encore que le foyer du plan de l'infini doit être considéré comme étant à l'infini sur l'axe principal.^On peut encore donner une autre signification à ce point.

Le plan de l'infini se déplace sur lui-même pendant le mouvement. 11 possède donc un centre de rotation qui est son point double. Ce point double est le point à l'infini sur l'axe principal qui, par suite, peut être considéré comme axe de rotation du plan à l'infini.

Nous n'avons parlé jusqu'ici que des plans normaux des points du système situés à distance finie. Les propriétés du système focal font voir qu'à chaque point de l'infini correspond un plan normal qui est son plan focal. D'où il résulte que le plan normal de tout point à l'infini est parallèle à l'axe principal.

Si le point à l'infini est, en particulier, le point situé sur Taxe principal, on devra considérer le plan de l'infini comme étant son plan normal.

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