IV. — Le mouvement hélicoïdal et la surface des axes

1. Avec l'aide des théorèmes développés au numéro précédent, on réussira à trouver le mouvement le plus simple, au moyen duquel on peut faire passer un système à trois dimensions d'une position 2q à une position l^.

Nous considérerons le système dans sa position initiale 2o et nous lui communiquerons un mouvement de translation parallèle à l'axe principal, de telle façon qu'un point quelconque Ao de celui-ci vienne coïncider avec le correspondant Aj. Alors tout point Bq coïncidera aussi avecBi. Cette translation, égale à Ao Ai en grandeur et en direction, est désignée par 2U.

Dans cette position, les deux systèmes ont en commun, point par point, l'axe principal. Il suffît, par conséquent, de faire tourner le système i d'une certaine quantité autour de ^ comme axe, pour l'amener dans la position finale. L'angle de rotation sera 2^.

On peut intervertir l'ordre des mouvements ; car faisons tourner d'abord le système lo autour de ccq comme axe d'un angle 2 12, et effectuons ensuite la translation 2U parallèlement à ccq, Eo aura été amené dans la position Xj. Il est donc permis d'effectuer simultanément les deux mouvements. S'ils sont uniformes, il en résultera une hélice dont le pas sera 2TrU : £2, l'axe étant œ. Il suit de là que :

Tout changement de position d' un système invariable peut être obtenu en obligeant ce système à exécuter un mouvement hélicoïdal déterminé autour d^une certaine droite comm,e axe. Cet axe est la droite située à distance finie, commune aux positions initiale et finale du système (^).

(') On doil attribuer ce théorème à Giulio Mozzi (1765). {Voir GiOR- GiNi, Memorie di Math, délia Soc. ital. délie Scienze. Modena; i836). Le même théorème fut retrouvé en i83o par Chastes (i5w//e^m des Sciences mathématiques de Férussac, t. XIV, p. 324). Gauchy l'a donné aussi dans ses Exercices de Mathématiques, t. II, p. 87 (1827), pour des mouvements infiniment petits {Œuvres complètes de Cauchy, 2« série, t. VII; 1889).

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. gS

Nous désignerons le quotient U : i2, qui détermine le pas du mouvement hélicoïdal, sous le nom de paramètre du mouvement. On voit maintenant que le cas exclu en dernier lieu au § I, 2 de ce Chapitre correspond à un mouvement hélicoïdal de i8o° d'amplitude. Dans ce cas, les théorèmes énoncés aux §§ II et III subissent en effet certaines modificalions.

2. Nous pourrons obtenir une image tangible de ce mouvement de la façon suivante : nous nous servirons d'une vis dont le pas est 271 U : 12, que nous disposerons tellement que son axe coïncide avec la droite x du système. Nous imaginerons maintenant que l'écrou conserve une position fixe dans l'espace, mais que le système soit lié avec la vis. Si nous déplaçons la vis dans son écrou, le système Ho passera progressivement de la position 2o à la position Di. Chaque point de 2 décrit alors une hélice, et toutes ces hélices ont leur axe commun et même pas. Les hélices correspondant à tous les poiîuts d'un cylindre de révolution, dont l'axe est x^ sont égales entre elles. Elles se rapprochent d'autant plus d'être des courbes planes que le point décrivant sera plus éloigné de l'axe du mouvement hélicoïdal.

Nous avons fait remarquer, au commencement de ce Chapitre, que le déplacement de 2 peut être obtenu, dans certains cas spéciaux, au moyen d'une simple rotation ou d'une simple translation; ces cas peuvent être considérés comme dérivant par dégénérescence du mouvement hélicoïdal. Ce mouvement se transforme en une rotation lorsque 2U se réduit à zéro, à une translation, lorsque c'est 2^2 qui est nul.

A ce point de vue, il nous sera permis de dire que le théorème principal énoncé dans ce paragraphe est valable pour tout déplacement d'un système invariable.

3. Pour obtenir les lois du mouvement d'un corps, qu'on peut lui appliquer à chaque instant, il nous suffira de prendre 2o et il infiniment voisins. Comme A"^ est toujours le milieu de AoAj, à la limite 1*'"- se confondra avec II. Mais les théorèmes qui se rapportent à i"^ sont tout à fait indépendants de la grandeur du déplacement; il nous sera donc

encore permis de nous servir de 2'" pour déduire, en toute rigueur, de ses propriétés les lois qui caractérisent à chaque instant le mouvement d'un corps rigide. Remarquons que, à la limite, Aq Ai devient la tangente à la trajectoire de A, et cC* le plan normal à cette trajectoire; que maintenant le système focal est formé par 2 et 2^.

Nous obtiendrons les théorèmes fondamentaux qui suivent :

Si un système inçariable se déplace d'une manière quelconque dans l'espace, il exécute à chaque instant un mouvement hélicoïdal infiniment petit autour d'une droite déterminée de l'espace (^).

Si un système invariable se déplace d'une manière quelconque dans Vespace, les points du système formeront à chaque instant avec leurs plans normaux un système focal. L'axe principal est Vaxe du mouvement hélicoïdal instantané.

Dans chaque plan du système, il existe à chaque instant un point tel que la tangente à sa trajectoire soit perpendiculaire au plan : ce point est le foyer.

Enfin, en se reportant au dernier théorème énoncé au § I, 4 :

Si un système invariable se déplace d'' une manière quelconque dans l'espace, et si, à un instant quelconque, une droite est perpendiculaire à la tangente à la trajectoire d'un de ses points, elle est perpendiculaire aux tangentes aux trajectoires de tous ses points.

Les éléments de trajectoire de tous les points peuvent donc être regardés à chaque instant comme des éléments d'hélices, qui ont toutes x comme axe, et dont le pas est le même et égal à la valeur actuelle limite de 27: : £2. La tangente à la trajectoire de chaque point est identique avec la tangente à l'hélice qui |)asse par ce point.