Mentionnons quelques théorèmes que l'on peut tirer de

(*) Voir la note de la page 9^.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 9^

la seconde des propositions précédentes et qui nous seront particulièrement utiles par la suite. Nous avons déjà fait observer que la correspondance des éléments qui font partie du système focal est réciproque; mais, eu égard à la signification cinématique différente des systèmes 2 et 2", nous continuerons à faire une distinction entre les éléments de l'espace, suivant que nous les considérerons comme appartenant à ^ ou ^^. Nous aurons donc les théorèmes suivants :

Si g" et g'^ sont deux droites conjuguées du système focal, les plans normaux de tous les points de g se couperont suivant g^y et les plans normaux des points de g^ passeront par g.

C'est-à-dire que, si nous regardons g^ comme étant une droite li de 21, la droite k^ correspondant à h sera précisément gj et les foyers de tous les plans passant par g^ sont sur g.

Si les droites^ passent par un même point, les droites conjuguées sont toutes dans un même plan qui est le plan normal de ce point; et si les droites^ sont dans un plan £, les droites conjuguées passent toutes par le foyer de ce plan, c'est-à-dire par le point dont le plan normal est e.

Si, en particulier, les droites g sont parallèles, les droites g* seront dans un plan parallèle à l'axe du mouvement hélicoïdal, et, si les droites g sont dans un plan parallèle à cet axe, les droites g^ sont parallèles entre elles.

Soit enfin £ un plan quelconque de 1, et E'' son foyer; les plans normaux des trajectoires de tous les points de s se coupent en E"; de plus £ est le plan normal de E'', c'est-à-dire que, si E^, considéré comme point de £, est désigné par F, son plan normal o" est identique avec £.

5. Pour nous représenter le mouvement continu d'un système invariable, nous commencerons par considérer autant de positions du système que nous voudrons, 2o, ^i, — La droite qui se correspond à elle-même dans les deux positions Ilo et ^1 est Xo = ^1 ; jKj -^ ft sera celle qui résulte de la considération des systèmes 2^ et^j; ^2=^3 sera commune à ^2 et I3, etc.

Nous désignerons maintenant par i' l'espace fixe dans lequel a lieu le mouvement, et par x' , 7', z' les droites de ce S. 7

gS CHAPITRE III.

système autour desquelles se font les déplacements hélicoïdaux. Le mouvement hélicoïdal autour de ^' amène/ en y' et 2 de la position initiale 2o dans la position ^i. Le mouvement hélicoïdal qui commence maintenant autour de j' fait passer z en z', et 2 dans la position lé^, etc. Nous obtenons ainsi un système bien défini de droites de 2 qui deviendront, au cours du mouvement, les axes du mouvement hélicoïdal, et un système de droites oc' , y , z\ ... de ^^ qui représentent la suite des positions des axes dans l'espace fixe.

On désignera l'ensemble des premières droites par (R), et le système des secondes par (R'). Elles définissent complètement le mouvement du système. Soient X et Y les pieds de la perpendiculaire commune à x etj; X' et Y' les points analogues sur a-' et/'. Comme, par suite du premier déplacement hélicoïdal, y vient coïncider avec /', on a X Y = X' Y' et

Appelons plan centi'al du système (R) pour le rayon x le plan mené par cette droite et la perpendiculaire commune à œ et r, et faisons la convention analogue pour le système 2'; soient de plus X et X^ les points centraux sur œ et x' , il s'ensuivra :

Le mouvement de l'espace 2 par rapport à l'espace 2' s'effectue de telle façon que, par suite de la rotation i £2, les plans centraux viennent en coïncidence , et que les points centraux coïncident par suite de la translation i U.

La rotation i £2 est donc égale à l'angle de deux plans centraux correspondants des systèmes (R) et (R'), et la translation 2U est égale à la dislance de deux points centraux correspondants.

6. Considérons un mouvement continu quelconque du système 2, il arrivera que non seulement les positions ^o? ^i> ^2 se rapprocheront indéfiniment, mais qu'il en sera de même pour les droites ^, j, ^, . . . x' ,y\ z' , . . . .

En tous cas, nous ne considérerons par la suite que des mouvements pour lesquels cela a lieu. Dans ce cas, les systèmes (R) et (R') formeront deux surfaces réglées R et R'.

Pour deux génératrices infiniment voisines, xy ou x' y' , les

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deux égalités obtenues plus haut subsistent. Et, comme il est permis de regarder les distances infiniment petites des génératrices correspondantes comme égales pour les deux surfaces, on pourra remplacer les deux égalités par la seule suivante :