XY X'Y

Mais, dans une surface réglée, on appelle le rapport qui existe entre la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines et leur angle le paramètre de la surface pour la génératrice correspondante. Il s'ensuit donc que, pour R et R', deux génératrices correspondantes, c'est-à-dire telles qu'elles viennent se superposer au cours du mouvement, ont des paramètres égaux.

Si g est une génératrice quelconque d'une surface réglée, il y a deux plans tangents particulièrement remarquables parmi tous ceux que Ton peut faire passer par g; ce sont d'abord celui qui est tangent à la surface à l'infini, puis celui qui est perpendiculaire au premier. Le point de contact du second est dit point central de g, et le plan lui-même prend le nom de plan central. Les plans et les points que nous avons désignés plus haut sous le nom de plans centraux et points centraux des systèmes (R) et (IV) deviennent, à la limite, les plans centraux et les points centraux des surfaces R et R'.

Nous énoncerons donc le théorème suivant :

Les surfaces réglées R et R' ont, à chaque instant, une génératrice commune pour laquelle le point central, le plan central et le paramètre sont les mêmes.

On peut aussi dire que les deux surfaces ont, à chaque instant, deux génératrices consécutives communes.

Maintenant nous pourrons encore nous représenter le mouvement du système 2 de la manière suivante : nous avons déjà vu qu'il est formé de mouvements hélicoïdaux infiniment petits autour des génératrices oo\ y\ z\ . . . de la surface R'. Pendant la rotation autour de x' , x se confond avec cette droite, le mouvement fait coïncider/ avec/', et maintenant les surfaces R et R' ont en commun les génératrices X, y et x' , r'. Ensuite le mouvement hélicoïdal se fera

lOO CHAPITRE III.

autour de j'; x et x' se séparent, tandis que z et z' arrivent en coïncidence, etc. . . Le système 2 tourne alors autour de chaque axe pendant qu'il glisse en même temps le long de celle droite. C'est pourquoi on a dit que le mouvement de 2 ou de R par rapport à R' est un roulement accompagné d'un glissement. Nous sommes donc arrivé à cet important résultat que :

Le mouvement le plus général d'un système invariable à trois dimensions consiste en un roulement accompagné d'un glissement d'une surface réglée R appartenant au système, sur une surface R' appartenant à l'espace absolu. Les deux surfaces ont même paramètre pour les deux génératrices qui coïncident au cours du mouvement (^).

7. Comme les plans centraux sont perpendiculaires aux plans tangents à l'infini, sur chaque génératrice, les surfaces elles-mêmes sont tangentes en ce point, c'est-à-dire que les courbes r\ et r^', suivant lesquelles R et R' sont coupées par le plan de l'infini, sont, à chaque instant, tangentes au point à l'infini sur l'axe du mouvement hélicoïdal.

Mais nous avons vu que ce point peut être considéré comme le centre instantané de rotation du plan à l'infini. Le plan à l'infini se déplace donc de telle façon que les courbes r^ et r' roulent l'une sur l'autre. Les surfaces R et R' caracté-

risent le mouvement du système; en les donnant, on s'impose en même temps la nature du mouvement. On les désignera sous le nom de surf aces polaires ou surfaces des axes. Elles remplissent, dans le mouvement dans l'espace, le même rôle que les courbes polaires dans le mouvement plan et que les cônes polaires dans le mouvement autour d'un point fixe. Cependant, tandis qu'on peut se donner d'une manière complètement arbitraire les courbes polaires et les cônes polaires, le choix des surfaces R et R' n'est pas abso-

(') Ce théorème est dû à Poncelet. Foi/' Re s al, Cinématique pure, p. vi et vu; Bour, Cinématique, p. i38, et Mannheim, Géométrie descriptive, 2* éd., p. 3Ho.

L'existence de cette surface fut énoncée par Cauchy dans le Mémoire cité page 9^. Bour indiqua ses propriétés {Journal de l'École Polytechnique, Cahier 29, p. 36).

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. lOI

lument libre, car il faut que le paramètre de distribution soit le même le long de deux génératrices correspondantes.

De là il suit que les deux surfaces réglées seront à la fois soit des surfaces réglées ou des surfaces développables, ou des cylindres.

Si elles sont toutes les deux cylindriques, elles ne déterminent pas le mouvement du système d'une manière univoque. La raison en est la suivante : le pas du mouvement bélicoïdal dépend du rapport entre l'angle des plans centraux et la distance des points centraux. Mais la distance des points centraux devient indéterminée dans le cas des surfaces cylindriques; donc le pas du mouvement hélicoïdal peut prendre n'importe quelle valeur.

8. Jusqu'ici nous avons toujours considéré comme immobile l'espace 1' dans lequel a lieu le mouvement de 2. Mais imaginons un observateur qui soit solidaire du système mobile; il verra l'espace 2' se mouvoir par rapport à lui. On désignera encore ce mouvement de 2' dans H, sous le nom de mouvement inverse, pendant que le mouvement de 2 dans li' sera le mouvement direct on primaire.

Comme le caractère des deux mouvements est indépendant de notre propre position, soit dans 2, soit dans 2', il s'ensuit que pour les deux mouvements, direct ou inverse, on aura à chaque instant des mouvements hélicoïdaux coïncidants tant pour la position de l'axe que pour la valeur du pas. Il s'ensuit ainsi que le mouvement de l'espace 2' consiste dans un roulement accompagné d'un glissement de la surface R' sur la surface R.

De même que chaque point A de II décrit une trajectoire située dans 1', inversement, chaque point R' de 2' décrit une trajectoire située dans 2. Nous arriverons plus tard à établir certaines relations réciproques qui ont lieu pour les trajectoires de certains groupes de points de 1 et 2'. Ici nous nous bornerons à énoncer un théorème important pour nos recherches ultérieures.

Les notations seront celles qui ont été employées dans les deux Chapitres précédents, et nous considérerons d'abord deux positions quelconques du système 2o et 2,.

Si BJ) est un point du plan normal a^, BJ, est à égale distance de Aq et A,. Donc Bq et B', sont aussi à égale distance de Ao, et le plan normal (3'^' passe par A. Donc :

Si le plan normal cC* d'un point A de là passe par an point W de lé^, le plan normal (S"" du mouvement inverse passe par A.

De même, pour le mouvement continu :

Si le plan normal à la trajectoire d'un point A de ^ passe par un point B' de ^' dans le mouvement inverse, le plan normal à la trajectoire de B' passera par A (^).