V. — Le complexe linéaire

1. L'existence d'un système focal à chaque instant du mouvement d'un système à trois dimensions doit être considérée comme fournissant le moyen de développer sans difficulté la théorie du mouvement de ce système. Dans ce numéro, nous apprendrons à connaître de nouvelles et importantes propriétés du système focal.

A partir de maintenant, d'ailleurs, nous nous bornerons à considérer des positions infiniment voisines du système; ce n'est qu'exceptionnellement que nous reviendrons à la considération des systèmes 2o, li et du système correspondant 2^.

2. Deux droites conjuguées quelconques ^ et ^^ du système focal ne se rencontrent pas, ou bien alors elles coïncident. Car, si g- est une droite quelconque, un plan s passant par cette droite aura son foyer E^ sur g^. Si donc E^ n'est pas sur ^, les deux droites ne se rencontrent pas. Mais, si E^ est sur g, E^, considéré comme point F de 2, est tel que la tangente à sa trajectoire est perpendiculaire sur s, et, par conséquent, aussi sur g.

Donc g est perpendiculaire aux trajectoires de tous ses

(') Voir ScHŒNFLiES, Comptes rendus, juillet i885.

MOUVEMENT d'UN SYSTÈME INVARIABLE. Io3

points (IV, 3), les plans normaux cC de tous ses points A passent par ^, et cette droite coïncide avec sa conjuguée g^.

Une droite de ^ qui est perpendiculaire aux trajectoires de tous ses points coïncide avec sa conjuguée dans le système focal et réciproquement .

Dans tout plan £, il existe donc une infinité de droites qui sont à elles-mêmes leurs conjuguées; elles forment un faisceau dont le centre est le foyer de £.

Si, de plus, A est un point quelconque, et qu'on veuille chercher les droites de celte espèce qui passent par A, nous remarquerons que chacune d'elles est normale à la trajectoire du point A; elles sont donc dans le phm normal à la trajectoire de ce point, et toute droite de a' qui passe par A est à elle-même sa conjuguée.

D'où il suit que :

L' ensemble des droites du système 2, qui sont à elles-mêmes leurs conjuguées, forme à chaque instant un complexe linéaire.

Comme chaque droite de ce complexe est située dans le plan normal de chacun de ses points, elle est normale à la trajectoire de tous ses points. Nous l'appellerons rayon normal ou plus brièvement normale^ et nous désignerons dorénavant par / une droite de cette espèce.

3. Toute droite qui rencontre deux droites conjuguées g et g"^ appartient au complexe linéaire.

Désignons, en effet (par anticipation), une pareille droite par /. Le plan normal du point {gl) passe par {gl) et par g^. De même, le plan normal de {g'^l) passe par {g^l) et par g. Par conséquent, la droite d'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire la droite conjuguée de /, se confond avec /.

A l'aide de ce théorème, on peut faire voir que deux couples de droites conjuguées, par exemple, [g^ g^'\ et [/?, A^], sont toujours sur un hyperboloïde. Car si / est une droite quelconque qui rencontre g^ g^ et A, elle est à elle-même sa conjuguée, et, comme / et A ont un point commun, il faut que les droites / et hy conjuguées de / et A se rencontrent aussi.

Donc g, g^j h et îi^ sont bien rencontrées par la même droite.

k. Faisons passer par g un plan a parallèle à ^^, et par g^ un plan (3 parallèle à g. Les deux plans sont parallèles entre eux. Le foyer du plan passant par g est son point d'intersection avec g^' ; il est donc à l'infini, et, comme le plan normal de tout point à l'infini est parallèle à l'axe instantané du mouvement hélicoïdal, le plan a est parallèle à x. La môme chose a lieu pour le plan j3 mené par g^. Construisons maintenant la perpendiculaire commune à ^ et g'% elle est perpendiculaire aux deux plans, et rencontre par suite la droite de l'infini qui est perpendiculaire à x. Mais elle est en même temps un rayon / d'un complexe linéaire, et coupe la conjuguée de cette droite de l'infini, c'est-à-dire l'axe x.

Donc :

La perpendiculaire commune à deux droites conjuguées g et g^ rencontre l'axe instantané et lui est perpendiculaire. Un plan qui est parallèle à deux droites conjuguées est aussi parallèle à l'axe.

Imaginons donc un plan quelconque perpendiculaire à x; il rencontrera deux droites conjuguées g et g"^ de telle façon que les trois points d'intersection avec g, g^ et x soient sur une même droite.

En démontrant les théorèmes précédents, nous ne nous sommes à vrai dire occupés que du système focal formé par 2 et 2^; mais il est visible que ces propriétés subsistent d'une manière analogue pour le système focal formé par 2'" et 2^ Nous aurons plus tard à faire usage de cette remarque.

5. Le mouvement continu d'un système à trois dimensions devra être considéré comme déterminé à chaque instant, si nous connaissons le système focal qui caractérise l'instant considéré du mouvement. Le système focal instantané et le complexe linéaire qui lui est associé sont déterminés par la connaissance de deux couples de droites conjuguées.

Pour le démontrer, montrons que l'on peut construire l'axe

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. Io5

du mouvement hélicoïdal et le plan normal de chaque point au moyen de deux couples de droites conjuguées. Soient^, g"' et /i, h^ ces droites. Déterminons les perpendiculaires communes à ^ et ^^, d'une part, à A et li^ de l'autre. La perpendiculaire commune à ces deux droites sera l'axe instantané du mouvement hélicoïdal.

Si, de plus, nous voulons construire le plan normal oC* d'un point A, nous mènerons par A deux droites dont l'une rencontre à la fois h et H\ l'autre g et g"' ; chacune de ces droites est normale à la trajectoire du point A, comme étant un rayon du complexe. Donc elles déterminent le plan normal a^ de A.

Nous pouvons construire d'une manière analogue le foyer de tout plan £, c'est-à-dire le point dont ce plan est le plan normal. Nous joindrons entre eux les points où s rencontre g et g^\ de même les points d'intersection avec h et 1i*, Les droites ainsi obtenues appartiennent au complexe, et leur point d'intersection est le foyer du plan.

6. Le système focal et le complexe linéaire sont également déterminés quand on donne cinq rayons de ce complexe. Soient /, m, /«, p, q ces rayons. Tout rayon du complexe qui rencontre une droite g rencontre aussi sa conjuguée. Si nous déterminons les deux droites qui sont rencontrées à la fois par /, m, ai, />, ce seront deux droites conjuguées g et ^^; de même, les deux droites rencontrées à la fois par w, n^p^ q seront deux droites conjuguées. Les deux couples déterminent le système focal. Ce cas est donc ramené au précédent.

Il peut arriver que le couple des droites g et g^ ne soit pas réel. On peut obtenir alors un couple de droites conjuguées de la manière suivante. Considérons le système réglé auquel appartiennent /, m, q. Si a est une droite quelconque de l'autre système, et qui, par suite, coupe l^ m, p, (P appartiendra aussi au premier système. Mais de là il suit que toute droite du système /, m, q appartient au complexe linéaire. La même chose a lieu pour le système de génératrices déterminé par n,p,q.

Maintenant traçons une droite g qui rencontre chacun des

systèmes en deux points réels; g sera une droite réelle rencontrée par quatre rayons du complexe; donc elle formera avec g^ un couple de rayons conjugués du système focal.

De là il suit que nous pourrons toujours construire deux couples réels de droites conjuguées {^g, g^W^hyW^ lorsque cinq rayons du complexe linéaire seront donnés. On pourra alors, au moyen de ces couples de droites, effectuer les constructions comme il a été dit plus haut.