VI. — Les surfaces engendrées par les droites et les plans

du système.

1. De même que chaque point du système parcourt une trajectoire, de même chaque plan engendre une surface développable. La ligne de contact du plan et de son enveloppe s'appelle, comme on le sait, sa caractéristique : c'est la droite d'intersection de deux plans consécutifs.

Pour développer les propriétés des caractéristiques, commençons par revenir aux systèmes 2o, ^i, 2'". Nous voyons que la droite e'" du plan z"^ est celle qui deviendra à la limite la caractéristique du plan s; c'est la raison pour laquelle nous lui avons déjà donné ce nom plus haut (II, 2). Nous avons démontré que les cordes de tous les points de e"^ sont dans le plan s'" lui-même, que e'" et e^ se coupent à angle droit, et que e"^ est coupée par ^o el ^i en deux points homologues Eo et E,.

Le point E"^, qui leur correspond, est le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer E"^ ==:F'" sur e'". De là il suit que e^ est elle-même la corde d'un de ses points, à savoir, de celui qui est le pied de la perpendiculaire abaissée sur elle du foyer de e''^. En passant à la limite :

La caractéristique d' un plan jouit de la propriété que les tangentes aux trajectoires de ses points sont toutes dans ce plan. La caractéristique elle-même est tangente à la trajectoire d'un de ses points, à savoir, de celui qui est le pied de la perpendiculaire abaissée sur elle du foyer. La caractéristique et la droite qui lui est conjuguée sont à angle droit l'une sur l'autre.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 107

2. La caractéristique est la seule droite d'un plan s pour laquelle les tangentes aux trajectoires de ses points soient dans ce plan. Car s'" ne renferme qu'un couple de droites correspondantes ^o et e^. Donc, en dehors de sa caractéristique, £ ne contient aucune autre droite telle que sa conjuguée lui soit perpendiculaire.

Si donc d et d'' =z e sont deux droites conjuguées qui se coupent à angle droit, et si par d nous faisons passer un plan ô normal à ^, il s'ensuivra immédiatement que d est la caractéristique de 0. Le point E oii ô est coupé par e est son foyer, car tout plan passant par d a son foyer sur la droite e.

Si maintenant par e nous faisons également passer un plan £ normal à dy il s'ensuivra de même que e sera sa caractéristique, et que le point D, où il rencontre d, est son foyer. Les plans ô et £ se coupent suivant une droite qui passe par E et qui est perpendiculaire sur d et e.

Donc d est tangente à la trajectoire de D, et e est tangente à la trajectoire de E. Il s'ensuit :

Si d et e sont deux droites conjuguées dont les directions sont à angle droit l'une sur Vautre, chacune d'elles sera la caractéristique du plan mené par cette droite perpendiculairement à l'autre. Chacune de ces deux droites rencontre le plan passant par l'autre qui lui est perpendiculaire au foyer de ce plan, et elle est tangente à la trajectoire de ce point.

Comme D et E sont les points de ces deux droites qui sont les plus rapprochés l'un de l'autre, on peut dire :

Si d et e sont deux droites conjuguées dont les directions sont rectangulaires, chacune d'elles sera tangente à la trajectoire de celui de ses points qui est à la distance minimum de l'autre.

On a démontré plus haut que la droite qui joint les deux points D et E rencontre à angle droit l'axe du mouvement hélicoïdal. Le foyer d'un plan quelconque est donc toujours sur la droite qui passe par son intersection avec Faxe et fait un angle droit avec celui-ci.