Soient encore g et g"' deux droites conjuguées quel

Io8 CHAPITIIE m.

conques du système focal. Nous construirons la perpendiculaire au plan e qui s'appuie sur g et ^^ : ce sera un rayon / du complexe linéaire. Soit L son point d'intersection avec s; L sera un point de la caractéristique e de £. Car, /étant normal à £, la tangente à la trajectoire de L est dans s; c'està-dire que :

Si Von projette deux droites conjuguées sur un plan quelconque, leurs projections se couperont en un point de la caractéristique de ce plan.

Considérons en particulier le cas où l'une des deux droites conjuguées g"^ est perpendiculaire sur s, alors toute perpendiculaire à £ qui rencontre g doit être considérée comme une droite /du complexe, car toutes ces droites passent parle point à l'infini sur g^. Donc la projection de g sur £ est la caractéristique du plan, et il s'ensuit que :

Si g est une droite dont la conjuguée est perpendiculaire sur le plan £, la projection de g sur £ sera la caractéristique de ce plan.

Si la droite g^ s'éloigne à l'infini, g devient un diamètre, et, comme tous les diamètres sont parallèles à œ^ il s'ensuit que :

La caractéristique de tout plan est parallèle à la projection sur ce plan de V axe instantané.

Comme toutes les droites g^ perpendiculaires sur £ passent par un seul et même point à l'infini, leurs conjuguées seront dans un plan, celui qui est perpendiculaire sur s, et passe par la caractéristique de £. L'une de ces droites est e elle-même. Et, en effet, nous savons déjà que e est conjuguée de la droite perpendiculaire à £ qui passe par le foyer. De plus, il existe parmi elles une infinité de diamètres : ce sont les conjuguées de droites rejetées à l'infini et perpendiculaires sur £. D'après la nomenclature indiquée plus haut (III, 4), on peut aussi les nommer diamètres adjoints aux plans perpendiculaires sur £. 11 s'ensuit que :

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. lOQ

La projection d'un diamètre quelconque, adjoint à un plan perpendiculaire sur s, est la caractéristique de s.

Si, par la caractéristique d'un plan s, on mène un plan perpendiculaire au premier, il contiendra tous les diamètres adjoints aux plans perpendiculaires sur e.

Si Y] est un plan parallèle à l'axe instantané .r, sa caractéristique peut encore être obtenue plus simplement; car, la droite conjuguée de œ étant la droite de l'infini perpendiculaire sur œ, l'axe lui-même est la droite adjointe à un plan perpendiculaire surri, c'est-à-dire que la caractéristique d'un plan Y), qui est parallèle à l'axe du déplacement instantané, est la projection de cet axe sur y].

4. En dehors des trajectoires décrites par les points et des surfaces développables engendrées par les plans, nous considérerons encore les surfaces réglées décrites par les différentes droites du système.

Pour établir rigoureusement leurs propriétés, nous reviendrons au cas de déplacements finis. Soient donc Iq et 2i deux positions données arbitrairement du système à trois dimensions; les systèmes adjoints^"' et 2'' forment un système focal auquel on peut appliquer tous les théorèmes obtenus au paragraphe précédent.

Nous conviendrons expressément, pour l'instant, que les droites gQ et ^,, qui représentent une même droite g dans deux positions différentes du système, ne se rencontrent pas. Si, de plus, A, B, ... sont des points de .^, le plan passant par g'", la corde AqAi se confondra avec le plan tangent en A à la surface engendrée par g, lorsque le déplacement deviendra infiniment petit. En même temps, la normale en A'" à ce plan deviendra la normale à la surface en A.

Nous pourrons construire ces normales de la manière suivante :

Par g"' faisons passer un plan quelconque a, qui coupera g"" en A^. A^^ sera le foyer de ce plan. Si de A^ nous abaissons la perpendiculaire A^B'"sur g'", ce sera une droite du complexe linéaire. La corde BqBi du point B"^ est donc perpendiculaire sur /'"; et, inversement, /"' est normal au plan passant par g'" et BqBi.

I lO CHAPITRE III.

Donc, pour obtenir l'ensemble des droites qui deviennent à la limite des normales à la surface engendrée par ^, il nous faudra abaisser des différents points de g^ des perpendiculaires sur g''\ Elles formeront un paraboloïde équilalère. Chacune de ces génératrices est parallèle aux plans perpendiculaires sur ^'", et comme, de plus, elle appartient au complexe, elle rencontre aussi le diamètre w^ adjoint à ces plans. En passant à la limite :

Les normales à la surface réglée engendrée par une droite du système forment à chaque instant un paraboloïde hyperbolique équilatère qui contient la droite ^^, conjuguée de g, et les diamètres u, adjoints aux plans perpendiculaires sur g.

5. D'après cela, si A est un point quelconque de g et que, par A et w, nous fassions passer un plan [A«], il contiendra la normale à la surface au point A. Le plan tangent à la surface au point A est donc le plan mené par ^perpendiculairement sur [Aw].

Cela va nous permettre de déterminer immédiatement le plan central et le point central sur g. Désignons par G^ le point à l'infini sur g, le plan central est parallèle au plan [««G^], c'est-à-dire que c'est le plan mené par g parallèlement à u. Mais ce plan est aussi parallèle à g"^. 11 s'ensuit que :

Le plan central de la surface engendrée par g est, à chaque instant, parallèle à la droite conjuguée de g et à l'aœe du déplacement.

Comme le plan central est parallèle à ^, nous obtiendrons sa caractéristique en projetant x sur ce plan. Le point où g coupe la caractéristique est le point pour lequel la tangente à la trajectoire est dans le plan central lui-même, c'est-à-dire qu'il est le point central de g. Donc :

IjC point central de la surface engendrée par g est le pied de la perpendiculaire commune à cette droite et à l'axe du déplacement.