Nous avons expressément supposé jusqu'ici que ^o

MOUVEMENT d'lN SYSTÈME INVARIABLE. I I I

^^1 ne se coupent pas; mais le cas contraire peut arriver. Alors la droite mobile décrit à l'instant considéré un élément de surface développable. Dansce cas, les définitions données plus haut du point central et du plan central perdent leur signification; mais nous conviendrons d'appeler toujours point central celui qui est à la plus courte distance de la droite conjuguée, et, par suite, de l'axe du déplacement.

Comme le fait voir le théorème démontré en dernier lieu, c'est une définition qui est valable pour toutes les droites du système.

Soient d^ et d^ deux droites de 2^ et ^i qui se coupent. Elles seront aussi coupées par leur médiane; les trois droites sont dans un plan qui, considéré comme faisant partie de l'", sera désigné par ô'". Comme è"^ contient d"\ Oq passera par d^ et ôi par d^; il s'ensuit que d'"^ est la caractéristique du plan è"\ En passant à la limite, la droite d deviendra la caractéristique du plan è, et, par conséquent, la tangente à la trajectoire d'un point D, et nous pourrons conclure de là que le point central d'une pareille droite est le point pour lequel la tangente à la trajectoire est la droite elle-même.

Si l'on sait qu'une droite d'un système décrit une surface développable, elle fait à chaque instant partie de cette classe de droites d. Le point que nous venons de désigner sous le nom de point central est, dans ce cas, le point de contact avec l'arête de rebroussement de la surface développable.

7. Aux théorèmes précédents nous ajouterons quelques constructions élémentaires qui en découlent.

Nous définirons encore le mouvement au moyen de deux couples de droites conjuguées \gg^\ ^t \hh^\.

Pour trouver la caractéristique d'un plan, il nous suffira de projeter g,g^\ h et h'' sur £, de déterminer les points d'intersection de ces couples de droites et de les joindre entre eux.

Si A est un point d'une droite g et qu'il s'agisse de construire la normale à la surface décrite par g, nous ferons passer par A un plan perpendiculaire à g] nous déterminerons le foyer de ce plan de la manière qui a été indiquée, et nous le joindrons au point A. Cette ligne de jonction est la normale cherchée.

S'il s'agit de déterminer le point central sur la droite gy nous construirons les plans normaux de deux points quelconques de ^; ils se coupent suivant g^, et la perpendiculaire à ^ et ^^ rencontre g au point central.