VII. — Le complexe des tangentes aux trajectoires

1. Toute corde AqAi réunit deux points correspondants de 2o et 2i.

Leur ensemble forme, par conséquent, un complexe tétraédral de rayons dérivant des espaces congruents \ et l^.

Ce fait subsiste pour des positions infiniment voisines du système. Donc :

L'ensemble des tangentes aux trajectoires des points appartenant à un système à trois dimensions constitue à chaque instant un complexe tétraédral de rayons G^^^

Ce complexe est identique avec l'ensemble des caractéristiques de tous les plans du système ou avec l'ensemble des droites qui décrivent à l'instant considéré des éléments de surfaces développables. Car nous avons démontré (V, 2) que toute tangente <if à la trajectoire d'un point D est, en même temps, la caractéristique d'un plan à^ et jouit de cette propriété que <io et d^ sont dans un même plan.

Le tétraèdre fondamental du complexe formé par Iq et 2, se réduit à l'axe du déplacement correspondant et à la droite de l'infini qui lui est perpendiculaire. Car ce sont les seules droites qui soient communes aux systèmes 2o etl^i. La même chose a lieu pour le complexe des tangentes aux trajectoires. On peut donc s'attendre à rencontrer dans l'étude de ce complexe des formes géométriques d'espèce toute particulière.

Chaque instant du mouvement est complètement déterminé par le mouvement hélicoïdal instantané; la nature du complexe G^^^ ne dépendra donc que de lui. Dans les recherches qui vont suivre, nous aurons encore recours, quand cela sera nécessaire, à des positions arbitraires \ et2i du système.

2. Si d^ est une droite qui est coupée par la droite correspondante <ii, la médiane <i"' sera la caractéristique du plan

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. Il3

ô'" = [c?o«?i] de 2'". Il en résulte (I, 3, Chap. I) que les cordes de tous les points de d^ enveloppent une parabole qui a d"^ pour tangente au sommet et le foyer du plan comme foyer. Si nous passons à des positions infiniment voisines 2o et ^i, il s'ensuivra que :

Les tangentes aux trajectoires qui sont situées dans un plan quelconque è enveloppent à chaque instant une parabole qui admet comme tangente au sommet la caractéristique du plan et comme foyer le foyer du plan.

On peut encore énoncer ce théorème de la façon suivante :

Si d est une droite quelconque du complexe G^^^, les tangentes aux trajectoires de d enveloppent une parabole qui admet cette droite comme tangente au sommet et dont le foyer est au foyer du plan qui ad pour caractéristique .

3. Si ^0 est une droite de 2 qui ne rencontre pas la droite correspondante gx, les cordes correspondantes seront les génératrices d'un paraboloïde. Celui-ci contient aussi la médiane g"^. Si G'" et Ci* sont les pieds de la perpendiculaire commune à ^'" et ^"^ et que /'" soit la droite de jonction de ces points, /'" sera un rayon du complexe linéaire qui est adjoint au système focal formé par 2'" et 2^ Elle sera donc perpendiculaire sur la corde GoGi passant par Gf , et, comme elle est perpendiculaire sur g"\ il s'ensuit qu'elle sera normale au paraboloïde au point G'".

Toute corde appartenant au paraboloïde est dans un plan perpendiculaire à g^. Nous pouvons donc prendre comme plan directeur de ces génératrices le plan passant par l'^ et perpendiculaire sur^'^

Le plan directeur du second système de génératrices est parallèle aux droites ^o et g^. Nous ferons passer un plan par pn g|^ gm g^ 1q considérerons comme un plan ^'" de 2'". Comme /'" est perpendiculaire sur l'axe du mouvement hélicoïdal, la caractéristique d""- de ô'" sera perpendiculaire à /'" et, par conséquent, parallèle à g"\ Mais ô'" renferme aussi <^„ el<^i, et, comme 2o, 2i, 2'" sont des systèmes en affinité col- S. " 8

I l4 CHAPITRE m.

linéaire, d^ sera parallèle à ^o et d^ parallèle à g^ c'est-à-dire que ô'" est le plan directeur du second système de génératrices.

Les deux plans directeurs se coupent suivant /'". Or on vient de démontrer que cette droite est la normale au paraboloïde au point G'". Donc elle est l'axe principal et G'" est le sommet du paraboloïde. Passons à la limite et observons que G'" devient le point central sur ^, il s'ensuivra :

Les tangentes aux trajectoires de tous les points d'une droite g qui n' appartient pas au complexe Q^^-K forment y à chaque instant^ l'un des systèmes de génératrices d'' un paraboloïde. Ce paraboloïde a pour sommet le point central et pour axe la perpendiculaire abaissée de ce point sur Vaxe du déplacement. Le plan directeur des tangentes aux trajectoires est perpendiculaire à la droite conjuguée g^ .

k. Chaque droite g est l'axe d'un faisceau de plans. Les deux faisceaux correspondants de 2o et I^i, dont les axes sont feo et gx, déterminent en général des droites appartenant à l'un des systèmes de génératrices d'un hyperboloïde. L'intersection de deux plans homologues So et s^ des deux faisceaux est une génératrice; à la limite, ce sera la caractéristique du plan £.

A l'aide des théorèmes établis plus haut au sujet des caractéristiques, il nous sera possible de reconnaître directement la nature ''spéciale de l'hyperboloïde sans avoir recours à la considération de deux systèmes 2o et 2i.

Nous conviendrons d'abord que la droite n'appartient pas au complexe des tangentes. Si e est encore la caractéristique d'un plan s du faisceau, le plan r\ passant par e et perpendiculaire sur £ renfermera tous les diamètres du système focal qui sont adjoints aux plans perpendiculaires à s (V, 3). Par conséquent, il contiendra certainement le diamètre u adjoint aux plans perpendiculaires sur g. Mais cela est vrai pour tout plan du faisceau g\ c'est-à-dire que les plans f\ qui sont menés par les caractéristiques des plans s perpendiculairement à ces plans passent tous par une même droite u. Toute caractéristique est donc l'intersection de deux plans

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. Il5

perpendiculaires l'un sur l'autre passant l'un par u, l'autre par^.

On peut démontrer que deux faisceaux de plans dont les éléments correspondants sont perpendiculaires Tun sur l'autre sont projectifs. Cela a déjà été fait pour le cas particulier où les axes des faisceaux se coupent (Chap. II, I).

Nous pourrions en déduire le théorème général, mais nous préférons en donner une démonstration directe. Soit Zg un plan quelconque passant par g. Par g nous faisons passer un second faisceau de plans £^ tel que s^ soit perpendiculaire sur Eg. Les deux faisceaux seront égaux. Un plan quelconque a normal à g coupe le faisceau des plans e'^ suivant le faisceau de rayons e'g et le faisceau de plans £„ passant par u suivant les rayons e„. Mais s^ est toujours parallèle à e„, donc e'g est aussi parallèle à e„. Ces deux faisceaux de rayons sont donc en situation perspective avec une même ponctuelle située à l'infini. Donc les faisceaux £„ et z'g ainsi que £„ et Eg seront projectifs. Pour tenir compte de ce que l'hyperboloïde considéré peut être engendré par deux faisceaux projectifs dont les plans correspondants sont perpendiculaires l'un sur l'autre, on l'appellera hyperholoïde orthogonal.

On pourra donc dire que :

Les caractéristiques de tous les plans qui passent par une droite quelconque g du système à trois dimensions forment en général, à chaque instant, les génératrices d' un hyperholoïde orthogonal. On peut engendrer cette surface au moyen de deux faisceaux de plans dont les plans correspondants sont perpendiculaires l'un sur l'autre. L'un d'entre eux a g pour axe, pendant que l'axe de Vautre est le diamètre u adjoint aux plans perpendiculaires à g {^),

5. De même que le cône orthogonal (Chap. II, I), Thyperholoïde orthogonal jouit aussi de la propriété d'avoir ses sections circulaires perpendiculaires à deux génératrices qui sont les droites g et u. Le plan a normal à g que l'on vient

(') Sur l'hyperboloïde orthogonal, \o\v les Mémoires cités à la p. 56.

Il6 CHAPITRE III.

de considérer coupe, en effet, le plan Zg suivant un rayon e^ perpendiculaire à e'g, et, comme e'^ est parallèle à e„, e„ et eg. sont aussi perpendiculaires l'un sur l'autre. Leur point d'intersection est un point de l'hyperboloïde. Maintenant e^ passe toujours par le point {zg) et e^ toujours par (s m)- Par conséquent, la courbe d'intersection du plan a avec l'hyperboloïde est un cercle, {zg) et {su) étant les extrémités d'un diamètre. Le fait analogue se produit pour les plans normaux à u. Donc :

L'hyperboloïde orthogonal est coupé suivant un cercle par tout plan perpendiculaire à g ou à u.

Pour tout plan du faisceau, on obtient la caractéristique en projetant sur lui le diamètre u. Nous considérerons deux plans particuliers, le plan /jl parallèle à ^ et le planv qui est perpendiculaire à celui-ci. La caractéristique m du plaujut. est parallèle à u, et la caractéristique n du plan v est parallèle à g. Donc les plans [gm], [nu] sont parallèles. D'ailleurs, les deux plans sont des plans tangents à l'hyperboloïde aux points (gni) et (nu).

Soit alors /la perpendiculaire commune a g ei h ce. Comme elle est dans un plan perpendiculaire à g, elle rencontre la droite de l'infini de ce plan, et, comme c'est une droite du complexe linéaire, elle rencontre aussi la conjuguée de cette droite de l'infini, c'est-à-dire le diamètre u. Les points (gm) et (nu) sont donc tt)usles deux sur /; donc /est un axe principal de l'hyperboloïde, celui qui est parallèle aux plans des sections circulaires. Donc :

La perpendiculaire commune à g et à u est un axe principal de Vhyperholoïde, celui qui est parallèle aux plans des actions circulaires.

L'un des sommets situés sur cet axe principal se confond donc avec le point central de g.

6. Quand l'axe g du faisceau de plans est à angle droit sur Taxe de déplacement, l'hyperboloïde se transforme en un paraboloïde équilatère; car la caractéristique d'un plan est

MOUVEMENT d'UN SYSTÈME INVARIABLE. II 7

parallèle à la projection de l'axe du déplacement. Donc les caractéristiques de tous les plans du faisceau sont perpendiculaires sur g. Le sommet du paraboloïde est encore le point central sur g. Inversement, il est visi'ble que si, dans un faisceau de plans, la caractéristique d'un plan est perpendiculaire sur l'axe g, g et r doivent être à angle droit, et alors les caractéristiques de tous les plans sont perpendiculaires sur g. Comme cela a lieu à tout instant du mouvement, nous obtiendrons incidemment le théorème suivant :

Si un faisceau de plans se déplace de telle façon que la caractéristique d'un plan soit toujours perpendiculaire à l'aœe du faisceau, cela aura lieu pour les caractéristiques de tous les plans du faisceau.

7. Si l'axe du faisceau appartient au complexe des tangentes, lequel cas a été exclu jusqu'ici, Thyperboloïde se réduit à un cône orthogonal. Désignons, en effet, une pareille droite par d, et soit D le pointa la trajectoire duquel elle est tangente. D sera le foyer du plan qui est perpendiculaire à d. Donc le diamètre u adjoint à ce plan passe également par D. Les droites ^ et a se couperont, et les faisceaux de plans dont elles sont les axes, engendreront un cône orthogonal dont le sommet sera en D.

Tout plan qui passe par <i a en commun deux droites avec ce cône : û? et sa caractéristique. De là il suit que le plan qui a d comme caractéristique, touche le cône suivant d. Mais tout plan passant par u coupe également le cône suivant une seconde génératrice, à l'exception de celui qui est perpendiculaire au plan principal que déterminent d et u. Ce plan est donc tangent au cône le long de w ; il contient d'ailleurs l'axe du déplacement.

Donc :

Si une droite d est tangente à la trajectoire d' un point D, les caractéristiques de tous les plans que l'on peut faire passer par cette droite forment à chaque instant un cône orthogonal. Les axes des faisceaux orthogonaux qui ^engendrent sont d et le diamètre u adjoint aux plans perpendiculaires sur d. Le sommet du cône est le point D. Le plan dont la ca-

Il8 CHAPITRE m.

ractéristique est d le touche le long de cette droite, et le plan tangent suivant u contient l'axe du déplacement.

On peut donner aussi ce théorème sous la forme suivante :

Toutes les droites du complexe G^^^ qui passent par un point quelconque I) forment un cône orthogonal. Les axes des faisceaux orthogonaux qui l'engendrent sont la tangente d à la trajectoire de D et le diamètre adjoint aux plans perpendiculaires à d.

Si enfin la droite ç est un diamètre, tout plan mené par v est parallèle à x, et sa caractéristique est, par conséquent, la projection de x sur ce plan. Chacune des caractéristiques est l'intersection de deux plans rectangulaires passant par les droites parallèles x et ç. L'ensemble de ces droites forme donc un cylindre de révolution ayant le plan [vx'\ pour plan diamétral.

8. Toute droite du système à trois dimensions décrit une surface réglée. Sur chacune d'elles se trouve à chaque instant un point remarquable, le point central. C'est (VI, 5) le pied de la perpendiculaire commune à la droite et à l'axe du déplacement.

Nous nous proposons de déterminer la surface lieu des points centraux de toutes les droites d'une gerbe de rayons.

Soit D le centre de la gerbe, et u le diamètre passant par ce point. Considérons le faisceau de plans dont l'axe est u. Soit [i un plan quelconque de ce faisceau. Il coupera la gerbe de rayons suivant un faisceau dont le centre est en D. Comme [A est parallèle à x, le point central d'une droite quelconque de ce faisceau est l'intersection de cette droite avec la projection m de X sur p. Mais m est la caractéristique du plan ,a. Donc toutes ces droites m sont sur un cylindre de révolution, comme il vient d'être démontré.

Par suite :

Les points centraux des surfaces décrites par les droites

MOUVEMENT d'lN SYSTÈME INVARIABLE. 1 I9

passant par un point D sont à chaque instant sur un cylindre de révolution qui contient Vaxe du déplacement instantané et qui a pour diamètre la distance du point D à cet axe.

Parmi les droites passant par le point D, on soumettra à une élude spéciale celles qui appartiennent au complexe du second ordre C^-^

Chacune d'elles est tangente à la trajectoire de son point central. On peut donc définir les points centraux de ces droites comme étant les points du système pour lesquels les tangentes aux trajectoires sont dirigées sur un même point.

Les droites du complexe C^^) qui passent parD forment un cône orthogonal ; leurs points centraux sont donc à Tintersection du cylindre avec ce cône. Mais les deux surfaces renferment le diamètre passant par D; elles ont donc encore en commun une courhe gauche du troisième ordre c^ Le plan \^xu\ est un plan diamétral du cylindre, tandis qu'il est tangent au cône orthogonal suivant u. Les deux surfaces se coupent donc orthogonalement le long de leur génératrice commune.

11 s'ensuit que :

Tous les points du système 2, pour lesquels les tangentes aux trajectoires sont dirigées sur un point JixeD de l'espace, sont à chaque instant sur une courbe gauche du troisième ordre c^. Celle-ci résulte de l'intersection d'un cône orthogonal et d'un cylindre de révolution qui ont en commun le diamètre u passant par D et se coupent orthogonalement le long de ce diamètre. Le plan qui touche le cylindre suivant u est un plan diamétral du cône, et le plan qui touche le cône suivant u est un plan diamétral du cylindre,

9. Tout plan normal à l'axe instantané coupe le cylindre suivant un cercle, et, comme u est l'une des deux génératrices du cône sur lesquelles les sections circulaires sont perpendiculaires, il coupera aussi le cône suivant un cercle. Les deux cercles passent par le même point de w, mais il n'y a que les autres points d'intersection qui appartiennent à la courbe c^ Deux d'entre eux sont les points circulaires de

l'infini, communs aux plans perpendiculaires sur x. Ceux-ci sont donc sur c% et il s'ensuit que :

La courbe gauche c^ contient les points circulaires de l'infini appartenant aux plans perpendiculaires sur l'axe du déplacement.

Le point réel que c^ a en commun avec le plan de l'infini est le point X^^ à l'infini sur l'axe du déplacement. Comme droite du cylindre de révolution, x est une corde de c^. Mais le plan [xu^ est un plan tangent au cône orthogonal; par conséquent, l'axe x ne peut être rencontré par aucune génératrice du cône en dehors de u. Il n'y aura donc pas d'autre point de c^ sur^, qui sera, par conséquent, asymptote à la courbe.

Nous obtiendrons le plan osculateur en un point P de c% en déterminant sa tangente et en menant, par cette droite, le plan tangent au cône projetant c^ de P comme centre. Le plan asymptote est donc celui qui contient l'asymptote et touche le cylindre de révolution.

Donc :

L'axe du déplacement est l'asymptote du cercle cubique; son plan asymptote est perpendiculaire au plan qui passe par Y) et par l'axe,

10. Tout plan a perpendiculaire à x rencontre le cône orthogonal suivant un cercle et une génératrice a en un point Aa.

Si <i est la tangente à la trajectoire du point D, la droite Dalla est le diamètre de ce cercle. Faisons se correspondre deux points Aa,Ba du cercle dont la ligne de jonction est perpendiculaire sur le diamètre Dalla- Tous ces couples de points forment une involution dont le centre est le point à l'infini de la droite perpendiculaire sur DaUa. Les points doubles de cette involution sont Da et Ua.

Par suite, les génératrices a et 6 du cône orthogonal font partie aussi d'une involution de rayons, et cela de telle façon que u et d soient les rayons doubles. Comme le cône est en situation perspective avec la courbe gauche c% il dé-

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 121

terminera sur elle une involulion de points qui aura comme points doubles D et le point à l'infini X^. On désignera deux points conjugués sous le nom de points conjugués du cercle cubique. Mais l'axe instantané x est une tangente de c^ ; par conséquent, l'involulion de points est projetée de œ par un faisceau de plans en involution. Les plans doubles sont le plan diamétral [^w] et le plan qui lui est perpendiculaire. Par conséquent, deux plans conjugués feront des angles égaux avec le plan diamétral.

Ainsi deux points conjugués A et B du cercle cubique c^ jouissent de cette propriété que les plans qu'ils déterminent avec ^ sont également inclinés sur le plan [:c m]. Nous savons que les génératrices a et 6 du cône, sur lesquelles sont situées A et B, sont également inclinées sur le plan [du] et, par suite, aussi sur le plan qui lui est perpendiculaire [.37«]. Nous en pouvons donc conclure que les points A et B sont également distants de D.

Appelons [xu] le plan principal et soit D le sommet du cercle cubique :

Deux points conjugués du cercle cubique sont à égale distance du sommet, et les plans qu'ils déterminent avec Vaxe du déplacement sont également inclinés sur le plan principal.

Ces théorèmes donnent une image tangible de la position du cercle cubique sur le cylindre.

11. Le cône orthogonal est projeté des deux rayons conjugués a ei b par deux faisceaux congruents de plans (II, 1, W). La même chose a lieu pour les points du cercle cubique.

Prenons les deux points conjugués A et B pour centres de gerbes, et considérons c^ comme résultant de l'intersection de ces gerbes. Nous aurons ainsi rapporté projectivement ces deux gerbes l'une à l'autre. Les rayons a et b, qui se coupent au point D, sont des rayons correspondants des deux gerbes.

Par suite, les deux faisceaux congruents de plans suivant lesquels c^ est projeté de a et de 6 sont des faisceaux corres-

pondants des deux gerbes. Les droites Ua et ui, des deux gerbes, parallèles à l'axe du déplacement, sont deux droites correspondantes, car elles passent par X^, et Pon peut projeter les génératrices du cylindre au moyen de faisceaux congruents de plans passant par ces droites. On pourra donc le faire aussi pour les points de c^.

Les deux gerbes jouissent donc de cette propriété que deux faisceaux de plans de l'une sont congruents aux faisceaux de plans correspondants de l'autre. Elles sont donc congruentes elles-mêmes, comme il est facile de le voir.

Donc :

Le cercle cubique est projeté de deux points conjugués par deux gerbes congruentes de rayons.

De là découle cette conséquence que le cercle cubique est projeté de chacun de ses points par un cône orthogonal.

12. Nous avons vu que le cercle cubique est le lieu des points centraux pour les droites passant par D qui appartiennent au complexe des tangentes. Ces droites sont les rayons e de la gerbe qui décrivent momentanément des éléments de surfaces développables. Pour chacun d'eux, les droites infiniment voisines e^ et e^ se coupent. Le cercle cubique résulte donc aussi de l'intersection de deux gerbes Do etDi.

Chacune de ses sécantes est alors la caractéristique d'un plan de la gerbe D. Il s'ensuit que :

Les caractéristiques de tous les plans qui passent par un point quelconque D de l'espace sont, à chaque instant, les sécantes d'un cercle cubique qui a D pour sommet.

Comme Je cercle cubique est projeté de deux points conjugués par des gerbes congruentes, il nous est permis d'en déduire que les théorèmes précédents subsistent sous une forme analogue pour des positions quelconques 2o et 2i des systèmes. Nous sommes donc ici en état de déduire de théorèmes obtenus dans le cas d'un déplacement

MOUVEMENT d'lN SYSTÈME INVARIABLE. 123

infiniment petit des théorèmes applicables au déplacement fini.

Soient alors Aq et Aj les centres de deux gerbes correspondantes de 1^0 et 11 ; déterminons l'axe du mouvement hélicoïdal, et construisons le cylindre qui passe par ^, Aq et Aj. Le plan diamétral de ce cylindre, qui contient ^, est le plan principal du cercle cubique. Si Xq et Xi sont les pieds des perpendiculaires abaissées de Ao et Ai sur^, A'^X'" passera par le sommet D du cercle cubique. Ainsi le cône orthogonal qui a D pour sommet est déterminé.

13. Aux points du système à trois dimensions pour lesquels les tangentes sont dirigées vers un point D correspondent par voie de dualité les plans qui ont leurs caractéristiques dans un môme plan s. Aux caractéristiques des plans passant par I) correspondent les tangentes aux trajectoires de tous les points de s. Pour étudier ces formes géométriques, il sera rationnel de partir encore de deux positions arbitraires du système, Iq et Ij.

Soient donc Sq et £i les positions successives d'un plan s de ^, les cordes de tous les points de s forment un système de rayons S' du troisième ordre et de la première classe, et lorsque Sq et £i se rapprochent indéfiniment, chacune des cordes deviendra la tangente à la trajectoire d'un point de s. De plus, £o et£i engendrent un faisceau de plans du troisième ordre, E% qui contient le plan de l'infini. Les rayons de S', c'est-à-dire les cordes Aq Ai, sont les axes de ce faisceau de plans. Celui-ci est identique avec l'ensemble des plans osculateurs à une parabole cubique. Lorsque le déplacement devient infiniment petit, chacun des plans se transforme en l'un des plans dont les caractéristiques sont dans £. Dans ce qui suit, on étudiera les propriétés spéciales du faisceau de plans E^ et du système de rayons qui en dépend.

Chaque plan de E^ passe par deux droites correspondantes de £o et £,. Le plan médian renferme les droites homologues eo et ^1 suivant lesquelles il coupe £o et £i. Il s'ensuit donc, en premier lieu, que £'" appartient au faisceau de plans E^

De plus, tout plan a de E^ est coupé par l'ensemble des plans suivant une parabole; car, le plan de l'infini étant un

des plans de E% la section conique, située dans a, a pour tangente la droite de l'infini.

ik. Soient maintenant Xo, Xi, X"" les points d'intersection de l'axe du mouvement avec £o> £i> £"'• Considérons sur Sq, £i, s'" les faisceaux de rayons dont les centres sont Xo, Xi et X"'.

On voit facilement (Démonstration, XI, 6) que les trois droites n^, n^, /i"' perpendiculaires sur l'axe du déplacement sont des rayons correspondants des faisceaux; et il en est de même pour les droites /?o, Pu p"\ qui leur sont perpendiculaires, c'est-à-dire pour les projections de œ sur Sq, g^, s'".

Les cordes, c'est-à-dire les rayons du système S% qui unissent les points correspondants de p^ et/?i forment un paraboloïde p^-' (VII, 3) qui renferme la droite p^ et dont le sommet est au point {œp"^) =: X"\ L'axe principal du para- JDoloïde est la droite /i"*, et les plans directeurs sont les plans

Il y a dans tout plan a de E^ une des génératrices du système auquel appartiennent />o>/^i et/>'" : c'est la droite /?a qui correspond à pQ et /?i. Toutes les droites pa. sont coupées par les cordes qui forment l'autre système de génératrices suivant des ponctuelles semblables, et sur deux droites /?a et/?p qui font des angles égaux avec le plan directeur [xn"'^'\ les ponctuelles sont même congruentes. On sait que la droite de l'infini du plan s'" est coupée par tous les couples /?a,/?Q suivant une involution de points dont les points doubles sont à l'infini sur p^"- et /^"^ Mais les génératrices /?« du paraboloïde projettent cette involution de telle manière sur ^, que les points doubles seront X'" et le point à l'infini X«, sur x. Deux points conjugués quelconques sont donc également distants de X'". Par suite :

Deux génératrices du paraboloïde |)^^^ qui sont coupées par les cordes suivant deux ponctuelles congruentes sont également inclinées sur le plan [^/i'"] et rencontrent l'axe du déplacement en deux points dont le milieu est X"^.

Le paraboloïde ^J^^^, qui est engendré par les ponctuelles congruentes n^ et /«i, a également le point X'" pour sommet. Tout plan a de E^ contient la génératrice /i» du système réglé

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 125

dont font partie «o et /if Comme n^ et n^ sont perpendiculaires sur ^, le paraboloïde est équilatère, et toute génératrice Ry, est perpendiculaire sur or. Le plan directeur des cordes situées sur 1^\^^ est [^/?'"]. On peut donc appliquer à deux génératrices du système /^a, qui sont coupées par les autres cordes suivant des ponctuelles congruenles, les mêmes conclusions qu'aux génératrices analogues />a et /?p de tJ|^î, c'est-à-dire que :

Deux génératrices du paraboloïde |3jf' , qui sont rencontrées par les cordes suivant des ponctuelles congruentes, sont perpendiculaires sur Vaxe du déplacement, le coupent en deux points également distants de X"', et font des angles égaux as^ec le plan [jc /?'"].

15. Le système de génératrices />a de 13'^^' et le système n^, de |);;' sont tous les deux perspectifs à la ponctuelle Xa. Donc les deux faisceaux de plans qui, de x, projettent les deux systèmes de génératrices sont projectifs. Mais ces faisceaux de plans sont dans cette situation particulière que trois des plans de l'un,

[^•/?o], Vocp.'l, [-3:*/?'"],

sont perpendiculaires sur les plans correspondants de l'autre,

[.r/io], [^/îi], [^/i'"].

Donc deux plans correspondants quelconques sont perpendiculaires Tun sur l'autre ;/?a est perpendiculaire sur/iaCt/^o sur no.

Donc les angles (^/>a) et {xp^ sont les angles des plans a et (3 avec x, c'est-à-dire que :

Deux plans de Y? qui coupent Vaxe du déplacement en deux points également distants de X'" font avec cet axe des angles égaux. Les projections de Vaxe sur les plans du faisceau sont des rayons correspondants de tous les plans.

Comme louteslesdroites/^asontparallèles au plan s'" et que p'"- est la projection de x sur £'", il s'ensuit encore que e'"

est le plan qui fait le plus petit angle avec a:. Il ne peut donc y avoir aucun plan réel de E^ qui contienne ^; c'est-à-dire que ^ est un axe impropre du faisceau de plans.

Observons encore que /?« et /?^, de même que /la et /ip, sont rencontrés par les rayons de S-^ suivant des ponctuelles congruentes.

Il s'ensuit que :

Deux plans de W qui font des angles égaux avec Vaxe du déplacement sont coupés par les rayons du système 'è^ suivant des systèmes plans congruents.

L'axe du déplacement a une position particulière par rapport au faisceau de plans E^ Nous le nommerons Vaxe principal de ce faisceau. De môme £'" sera appelé \ià plan principal. On peut aussi définir l'axe principal d'une manière tout à fait géométrique comme étant la ligne de jonction des deux points correspondants qui sont les plus rapprochés l'un de l'autre, et le plan principal sera le plan qui fait avec l'axe principal le plus petit angle. Nous avons déjà vu que les plans de E^ déterminent sur x une involution de points, dont les points doubles sont X'" et X^. Cette remarque donne encore naissance au théorème suivant :

Faisons correspondre deux à deux les plans de W qui sont rencontrés par les cordes suivant des systèmes congruents; tous ces couples formeront une involution dont les éléments doubles seront le plan principal s.^'^ et le plan de V infini. Toute corde Aq Ai est coupée par eux suivant une involution de points dont les points doubles sont A'" et le point à l'infini k^.

En nous basant sur les théorèmes précédents, il ne nous sera pas difficile de nous procurer une image tangible de la distribution des plans de E\

Car, si Xa et Xp sont deux points également distants de X'", les plans qui passent par ces points sont déterminés par la condition que d'abord ils doivent faire des angles égaux avec X, et que, en second lieu, les projections de x sur a et (3 sont également inclinées sur le plan [^/?'"], c'est-à-dire

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 12J

sur le plan mené par ^ perpendiculairement sur £"K De plus, £'" fait le plus petit angle avec a;, et les angles des plans a avec ^ augmentent d'une façon continue plus Xa s'éloigne de X"'. Le plan de l'infini doit être considéré comme étant le plus incliné, et perpendiculaire sur l'axe du déplacement.

Les plans de E^ sont deux à deux symétriquement situés par rapport aux plans [^/?'"] et e'"; c'est pourquoi nous nommerons E^ le faisceau symétrique de plans de troisième ordre.

16. Nous commençons maintenant l'étude du système de rayons formé par les cordes Ao Aj. Dans la suite, nous désignerons la corde AqAi par Sa. Soient Sa et s^ deux quelconques des cordes qui sont également inclinées sur l'axe du déplacement. Les plans Sq, £i, a, (3 de E^ déterminent sur elles des séries de points Ao,Ai,Aa,Ap, et Bo,Bi,Ba, Bp. Du caractère géométrique du mouvement hélicoïdal, il ressort que les projections sur ^ de AqAi etBoBi sont égales entre elles et égales à XoXi. Mais a et (3 sont des systèmes plans congruents pour lesquels ^ est Taxe du déplacement : donc les projections de

AaAp, BaBp sont égales entre elles et égales à XaXp.

Si maintenant nous observons que toute corde Sa est coupée par les couples de plans a, (3 en deux points conjugués d'une involution, qui a A,„ et A^ comme points doubles, et que Sa et Si, font des angles égaux avec œ, il s'ensuit que les ponctuelles déterminées par les plans du faisceau E^ sur^^ et ^^ sont congruentes, c'est-à-dire que :

Toutes les cordes du système de rayons qui font le même angle avec V axe principal, sont rencontrées suivant des ponctuelles congruentes par les plans du faisceau W,

Nous pourrons nous servir de ce théorème pour représenter simplement sur une gerbe de rayons le faisceau de plans et le système de rayons qui lui correspond.

Par chaque point de l'espace, il passe, en général, trois rayons Sa. Cela a donc lieu aussi pour tout point situé à l'infini P„. Comme £„ est un plan de E% deux de ces rayons sont dans £^. Il n'y a donc qu'une corde située à distance finie

passant par P^, c'est-à-dire parallèle à une direction donnée.

Par un point quelconque 0' de l'espace, faisons maintenant passer une gerbe de rayons s'a; chaque corde Sa aura sa parallèle dans s'a, et inversement. Si nous faisons abstraction des rayons situés dans s^, il s'ensuit que le système de rayons S^ pourra être représenté d'une manière univoque par la gerbe de rayons, de telle façon qu'à chaque rayon Sa corresponde le rayon s'a de la gerbe, qui lui est parallèle, et inversement.

On peut aller plus loin encore. La projection du segment AqA'" sur ûo est, en effet, pour toute corde Sa, égale au segment X^X'".

Rapportons alors la ponctuelle suivant laquelle chaque corde Sa est coupée par les plans a, (3, . . . sur le rayon correspondant s'^, de façon qu'au point A'" vienne correspondre le point 0' et, par conséquent, au point X'" de ^ le point 0' de œ'. Alors à tous les points Aa, Ba, • . . d'un plan a correspondent les points A», Ba, • . . d'un plan a' qui passe par Xa et qui est perpendiculaire sur x'. A l'ensemble des plans a, (3, ... de E^ correspond donc un faisceau de plans a, (3, . . . perpendiculaires sur a:'

Soit maintenant ^a une droite quelconque de a; les cordes Sa qui la rencontrent forment un paraboloïde qui a en commun avec £^ la droite ^'". Les rayons correspondants s'^ forment par conséquent un faisceau plan de rayons. Chaque point Aa de ^a est à la fois sur Sa et sur a. Tout point de l'intersection du faisceau de rayons avec a' correspond donc à un point de gay c'est-à-dire qu'à chaque droite ga correspond dans a' une droite g-'^. Mais à chaque point à l'inQui de a correspond un point à l'infini de a\ Il s'ensuit que les plans a et a' constituent des systèmes plans en affinité.

17. Considérons maintenant le faisceau de rayons de a dont le centre est Xa. Il lui correspond dans a' un faisceau homologue dont le centre estXa. Soient Vp^^ et f)^^ les paraboloïdes correspondant aux droites /?a et AZa.

[œn"^] est le plan directeur des cordes situées surP^^^ et [ûcp'"] celui des cordes de Vn~^' Ces deux plans sont perpendiculaires l'un sur l'autre. La même chose a lieu par conséquent pour les plans parallèles de la gerbe 0'. Ils couperont

MOUVEMENT d'UN SYSTÈME INVARIABLE. 120

donc ol' suivant deux rayons perpendiculaires l'un sur l'autre, p'rL et /^a, fl'^ii correspondent aux droites rectangulaires /?a et /^a, c'est-à-dire que pour chaque couple de plans a et a' les couples de rayons TOa^^a» /^a'^a sont des couples correspondants de rayons à angle droit. Si nous considérons, au contraire, deux autres rayons de a' perpendiculaires l'un sur l'autre, les rayons correspondants de a ne peuvent pas être à angle droit, car alors les faisceaux a et a' seraient égaux entre eux. Comme d'ailleurs les faisceaux de a', |3', . . . qui ont leurs centres sur jp' sont égaux entre eux, il faudrait aussi que tous les faisceaux de a, [3, . . . le fussent, ce qui ne peut pas avoir lieu.

Toutes les cordes qui font le même angle avec l'axe principal ont comme correspondantes dans 0' les génératrices s'a, d'un cône de révolution dont l'axe est x\ Celui-ci coupe cf! suivant un cercle dont le centre est X'^. Dans le plan qui lui correspond par affinité, ce cercle aura comme courbe correspondante une ellipse dont le centre est Xa, et dont les axes principaux sont /?a et /la- Nous allons faire voir que /la est le petit axe et p^ le grand axe de l'ellipse.

Considérons d'abord l'ellipse située dans s'". Toutes les cordes Sa, qui font des angles égaux avec l'axe principal, sont à égale distance de cet axe. Soit alors P"^ l'extrémité de l'axe dirigé suivant/)'", N'" l'extrémité de l'axe dirigé suivant /i'"; soient enfin Sp et s^ les cordes qui passent par ces points, n^, est perpendiculaire sur x^ ai Pa. forme avec œ un angle aigu. Mais N"' est le point de s^ qui est à la plus petite distance de Xf et P'" est le point analogue sur Sp. On a donc, en effet, N'«X'«<P'"X''^, c'est-à-dire queN'«X"' est le petit axe, et p/nX'« est le grand axe de l'ellipse.

De là on peut aussi conclure le théorème pour les autres plans de E^ et il s'ensuit que :

Toutes les cordes qui sont également inclinées sur l'axe principal coupent chaque plan a du faisceau E^ suivant une ellipse dont le grand axe est sur pr^ et le petit axe sur nr^.

Les grands axes de toutes ces ellipses forment le paraboloïde ^-p\ et les petits axes le paraboloïde Pj,-'. Les centres de ces ellipses sont sur l'axe principal de E^.

l3o CHAPITRE in.

Les cordes Sa elles-mêmes sont sur une surface réglée \\ du quatrième ordre. A chaque cône de révolution K' de 0', qui a a^' pour axe, correspond une pareille surface. Tous :es cônes découpent sur a' des cercles concentriques. Les extrémités des diamètres situés sur pa et /la forment des séries congruentes de points. Les extrémités des axes de toutes les ellipses suivant lesquelles a est coupé par les surfaces R formentdes ponctuelles correspondantes, qui, par conséquent, sont semblables entre elles.

Donc :

Dans chaque plaîi du faisceau symétrique de plans W, les axes des ellipses suivant lesquelles ce plan est coupé par les surfaces réglées R sont dans un rapport constant.

18. Le plan perpendiculaire à l'axe du déplacement ne fait pas partie des plans du faisceau ; il a pourtant, par rapport à celui-ci, une signification spéciale que nous voulons encore mentionner.

Désignons par^a la droite suivant laquelle le plan a touche le faisceau E^ Si g'"- est une droite quelconque du plan médian £'", on obtiendra la corde Sa du paraboloïde V^f^ situé dans a, en menant par le point d'intersection de g^. et /a la seconde tangente à la parabole située dans a.

Cela aura lieu aussi pour £^. Si donc t^ est le rayon de contact de s^, l'axe de l^f^ situé dans ce plan sera la tangente différente de t^y que l'on peut mener de {g^ t^) à la parabole située dans e^. Le point d'intersection des deux droites à l'infini sur l)^^' est donc sur t^ , c'est-à-dire que l'axe principal de Pp^ passe toujours par un point de t^.

Donc :

Le plan perpendiculaire à l'axe principal du faisceau symétrique de plans contient le rayon de contact t^ du plan de l'infini qui appartient au faisceau.

Enfin déterminons encore le point de contact du plan de l'infini. Pour cela, considérons le paraboloïde V^n^ correspondant à la droite n"K Comme du point à l'infini {n^ t^) on ne peut pas mener de tangente différente de t^ à la pa-

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l3l

rabole du plan s^, il faut que le point («^ t^) soit le point de contact du plan.

Donc :

Le plan à l'infini de Y? a, comme point de contact, le point oà t^ est coupée par un plan perpendiculaire à n"^.

19. Si nous appliquons les théorèmes précédents à un système qui se meut d'une manière quelconque, nous finissons par arriver aux résultats suivants :

Tous les plans de 2, dont les caractéristiques sont dans un plan quelconque z de l'espace, forment un faisceau symétrique de plans du troisième ordre, qui admet s comme plan principal et l'axe du déplacement comme axe principal. Les tangentes aux trajectoires de tous les points de s forment un système particulier de rayons du troisième ordre et de la première classe. Toutes les tangentes qui sont également inclinées sur l'axe du déplacement rencontrent s suiçant une ellipse dont le centre est sur x.

Le cercle cubique c^ et le faisceau E* sont des formes réciproques dans le système focal formé par 2 et i'', c'est-à-dire que les plans normaux de tous les points de c^ forment un faisceau symétrique de plans. Si nous considérons, en effet, le cercle cubique dont le centre est en D, et si nous nommons encore s le plan normal â^ de D, la perpendiculaire abaissée de D sur x est dans le plan c, et c'est la droite de ce plan que nous avions désignée par n. Si A et B sont deux points conjugués de D et «a et n^ les perpendiculaires abaissées de ces points sur JT, /z^ et n^ sont également inclinés sur le plan [x n]. 11 s'ensuit que ces perpendiculaires forment le paraboloïde p^ et que le point {x n) z=\ en est le sommet. De plus, A et B sont à égale distance de l'axe de déplacement; donc les plans normaux a^, (3^ qui passent par n^^ et n^ font des angles égaux avec x; enfin, A et B sont aussi à égale distance du sommet du paraboloïde : donc les points Xa et X^i où a' et [3^ rencontrent l'axe sont à des distances égales de X; et de là il suit que le faisceau des plans a^, (3^ possède exactement les propriétés qui définissent E% c'est-à-dire :

l32 CHAPITRE III.

Les plans normaux de tous les points du cercle cubique forment un faisceau symétrique de plans de troisième ordre^^ ^ et les foyers des plans d' un pareil faisceau forment toujours un cercle cubique (^).