VIII. — Le complexe des axes de courbure

1. Dans ce qui suit, nous considérerons trois positions arbitrairement choisies du système, Ho» ^i» 22- Nous désignerons par 2^1 le système formé par le milieu des cordes correspondant à ^0 et 2i, et 2^2 sera le système analogue pour 2i et ^2.

Les systèmes formés par les plans normaux seront désignés par ^0 1 et là\^. L'axe du mouvement hélicoïdal correspondant à 2i et li^ sera ^oi ou x'^^ selon qu'on le considère comme appartenant à 2o ou 2i; x^^ ou x\^ sera l'axe du déplacement pour 2i et ^2. Comme chacun des systèmes IJ^ et ^'(2 ^st en correspondance réciproque avec 2, les deux systèmes sont en collinéation. Ils engendreront par conséquent un complexe tétraédral de rayons qui est formé par l'ensemble des droites d'intersection des plans correspondants. Deux plans correspondants a^i et oC[^ se coupent suivant une droite ka passant par le centre du cercle circonscrit au triangle Aq Ai A2 et perpendiculaire au plan de ce triangle. Appelons-la axe central du point A, il s'ensuivra que :

Les axes ce/itraux des points d'un système à trois dimensions forment un complexe tétraédral de rayons.

2. On peut démontrer que ce complexe ne contient, en général, ni points principaux ni plans principaux réels. Les plans principaux du complexe sont les plans de lé\^ qui se confondent avec leurs correspondants dans l.\^. Si a)^j et aja forment un couple de pareils plans, il faut que Ao se

(') De là il faut conclure que la parabole cubique dont les plans osculateurs forment le faisceau E' est d'une nature spéciale. Considérons, en effet, une ellipse cubique quelconque appartenant au système S et dont le point réel à l'infini est le point X», le faisceau réciproque formé par les plans normaux renfermera aussi le plan de l'infini; mais il ne peut pas être identique avec celui qu'on a considéré dans le texte.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l33

confonde avec A2. En général, cela n'aura pas lieu, car les deux espaces congruenls Iq et I.2 n'ont pas de point uni à distance finie.

Si Ao se confond avec A2, les deux systèmes 1q et 2, peuvent être considérés comme deux positions d'un corps rigide qui tourne autour d'un point fixe. Alors il y aura aussi un axe commun passant par le point A (Chap. II). Chaque point Bq de cet axe se confond avec B.2; donc aussi B"\ avec B ^2 ^^ ^l^ avec (3^2' c'est-à-dire que les deux systèmes collinéaires ont en commun un faisceau de plans, par suite aussi une ponctuelle. Si donc le complexe a un plan principal réel, il en a une infinité qui forment un faisceau de plans.

Si de plus deux autres plans correspondants yl ^ et y\ ^ de I^o et ^2 se confondent, ces plans n'appartenant pas au faisceau dont il vient d'être question, il s'ensuivra que Cq et C2 se confondent. Mais alors lli et 1\^ ont tous leurs points et leurs plans correspondants unis, et le complexe des droites k devient indéterminé.

Nous arrivons par suite au théorème suivant :

Le complexe des axes centraux ne possède^ en général, ni points principaux, ni plans principaux réels; s'il a des plans principaux réels, ceux-ci forment un faisceau de plans.

Il existe encore un cas d'exception dont il faut faire mention : c'est le cas où le plan de l'infini est un plan principal pour 2^1 et 2'^ 2- Ce plan est toujours le plan normal à l'infini sur l'axe du déplacement. Si donc il doit être un plan principal pour les systèmes i^^ et i^2» ^^ f^ut que les axes des deux déplacements successifs soient parallèles, ou qu'ils se confondent. Inversement, il est clair que, si les deux axes sont parallèles, le plan de l'infini est un plan qui se correspond à lui-même dans les deux espaces collinéaires 2';ji et 1\ 2 : c'est donc aussi un plan principal du complexe engendré. Si les axes x'^^ et x\^ des déplacements consécutifs ne sont pas parallèles, le plan normal du point à l'infini sur ^01 est pour le premier déplacement le plan de l'infini; mais, pour le deuxième déplacement, le plan normal du point à l'infini sur ^01 est, comme le plan normal de tout point à l'infini, parallèle di x\^.

l34 CHAPITRE III.

Il était nécessaire de faire une mention spéciale de ce cas d'exception, parce qu'il est important et que nous le retrouverons plus loin.

3. Le complexe de rayons formé par ka peiiï être facilement rapporté projectivement au système 2, et cela, en adjoignant à chaque point A de 2 le rayon ka du complexe qui est l'intersection des plans a^J^ et d\^. Mentionnons, parmi toutes les conséquences qui s'en déduisent, les suivantes :

Les axes centraux qui correspondent aux points d'une droite forment, en général, l'un des systèmes de génératrices d'un hyperboloïde; car ils s'obtiennent par l'intersection de deux faisceaux projectifs de plans, dont les axes sont les droites i^\^ et g\^, réciproques à ^^ Les droites ka correspondant aux points d'un plan quelconque z sont, en général, les sécantes d'une courbe gauche du troisième ordre; car elles s'obtiennent par l'intersection de deux gerbes coUinéaires dont les sommets sont les foyers des plans sj" et £"2-

De plus, les droites ka qui passent par un point quelconque de l'espace forment, en général, un cône du second ordre. Celui-ci est engendré par deux faisceaux projectifs de plans dont les axes g\^ et g\^ se coupent au point considéré; c'est pourquoi les points de 2 qui correspondent à ces droites ka sont sur la droite g réciproque de g\^ et g\^.

Les axes centraux contenus dans un plan ô de l'espace enveloppent, en général, une conique et les plans de lé\^ qui coupent les plans correspondants de 1^[^ suivant ces axes forment un faisceau de plans du troisième ordre. Désignons, en effet, par z\^ le plan ô considéré comme faisant partie de 2'^^. Il engendrera avec £'^2 un faisceau de plans du troisième ordre qui contient £)i, et £^2* Ce faisceau ne se décomposera pas dans le cas général, car il faudrait alors que £^, q\z\^ eussent un élément uni, point ou droite, ce qui n'a pas lieu en général. Si l'on considère le faisceau de plans comme faisant partie de 1^\<^, et que l'on désigne alors par '(\\.^ le plan £'^,, il lui correspondra dans le système D^ , un faisceau déterminé par les plans 'r\\ , et £^ ^ . Deux plans correspondants de ces faisceaux se couperont alors suivant une droite ka du plan z\^.k un faisceau de plans contenant les deux plans £j< et yîq, correspond,

MOUVEMENT d'lN SYSTÈME INVARIABLE. l35

dans le système i, une courbe gauche du troisième ordre, qui passe par les points E et H dont les plans normaux sonts'^, et ril^; les points dont les axes centraux sont dans le plan d l'orment donc une courbe gauche du troisième ordre qui passe par G et H.

Cette courbe passe encore par un troisième point que l'on peut facilement désigner. Il n'y a pas que les deux plans a^^ et (x]^ qui passent par ÂTa, mais le plan a^,,, perpendiculaire sur AoAo en son milieu, passe aussi par celte droite. L'ensemble des plans a^^ forme un système ]S'^ 2 collinéaire avec 2'^, etl^jj et le faisceau de plans du troisième ordre dérive des trois systèmes £'^2, £20 et £oj. Si donc nous désignons le plan el^, c'est-à-dire le plan d, considéré comme faisant partie de I^q par 9'^o, il faudra que la courbe gauche du troisième ordre passe aussi par le point F de 1 dont le plan normal est cpjo dans le système l^^,

11 en résulte que :

Les points du système ^,pour lesquels les axes centraux sont dans un plan quelconque à de l'espace^ forment une courbe gauche du troisième ordre. Celle-ci passe par les trois points de i qui ont le plan è pour plan normal dans les trois systèmes 1\.,, 1\q,

Comme le faisceau de plans du troisième ordre qui correspond à la courbe gauche dans le système ll^ est engendré par les trois systèmes plans en collinéation £'^^, yj^,, o^i, il s'ensuit que la courbe gauche peut être engendrée par deux quelconques des trois gerbes collinéaires dont les sommets sont les points E, H et F de 2.

k. Si pour le plan è on choisit le plan de l'infini, les droites ka situées dans ce plan forment un faisceau de rayons du second ordre, le plan de l'infini ne se correspondant pas, en général, à lui-même. Les points correspondants A de 2 seront sur une courbe gauche du troisième ordre. Mais, pour chaque point de cette courbe, les deux plans normaux correspondants seront parallèles; il est donc tellement placé que Ao, Al, A2 sont en ligne droite. Désignons par x^o ou x[q l'axe du déplacement qui correspond aux positions ^o 6t ig et

l36 CHAPITRE III.

observons que le plan de l'infini est le plan normal du point à l'infini sur l'axe, que, par conséquent, F, H et E sont les points à rinfini sur les trois droites ^12, -3720» -^od H s'ensuivra :

Tous les points A du système invariable pour lesquels Ao, Al, A2 sont en ligne droite, forment en général une courbe gauche du troisième ordre. Celle-ci passe par les trois points à Vinjini sur les trois axes du déplacement x^^^ ^20 -^oi 7"^ correspondent aux groupes 2^ ^2, 2^2 ^0 ^^ ^0 -^i*

Cette courbe sera donc généralement une hyperbole gauche : on l'appellera courbe des inflexions de ^ et on la désignera par il^^.

La courbe des inflexions «^,2 P^sse aussi par les quatre points principaux du complexe formé pari'^j et 1^2, car pour ces quatre points principaux le plan normal oC'^^ est identique avec a'^g, et, par suite, toute droite de ce plan peut être considérée comme axe de courbure; en particulier, cela sera vrai pour la droite de l'infini. D'ailleurs on voit directement que, pour tout point principal, CoCst identique avec Ci et que, par suite, Co, Cl, C2 sont en ligne droite.

Aussi longtemps que cette courbe ne se décomposera pas, il ne peut y avoir sur une droite quelconque que deux points A pour lesquels les trois positions Aq, Ai, A2 sontenlignedroite. Pour une telle droite, les deux paraboloïdes formés par les cordes Ao Ai et Aj A2 de ses différents points ont deux génératrices communes, d'où l'on peut conclure en passant que la courbe d'intersection de ces paraboloïdes se décompose en quatre droites. L'ensemble des droites de cette espèce forme un système de rayons du premier ordre et de la troisième classe, le système des sécantes de la courbe il^^.

Comme on l'a fait voir plus haut, les axes centraux des points d'une droite quelconque g constituent l'un des systèmes de génératrices d'un hyperboloïde. Si la droite ^ a un point en commun avec la courbe des inflexions, Ihyperboloïde dégénère en paraboloïde. Si g renferme deux points de la courbe des inflexions, c'est-à-dire, si g est une sécante de cette courbe, deux droites k sont à l'infini, c'est-à-dire que deux couples de plans normaux correspondants des faisceaux ^01 et g\^ sont parallèles. Donc g^^ et g\^ sont elles-mêmes

MOUVEMExNT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 187

parallèles; les droites /: forment une surface cylindrique, qui peut être hyperbolique, elliptique ou parabolique suivant que g est une sécante propre, impropre ou une tangente de ij^.

o. Les résultats qui viennent d'être acquis ne sont plus applicables lorsque le plan de l'infini se correspond à luimême dans i'^i et l^g» c'est-à-dire, lorsque les deux axes^oi et ^12 sont parallèles. On a démontré, en effet, que la courbe gauche pouvait être regardée comme le résultat de l'intersection de deux gerbes collinéaires de rayons, dont les sommets sont les points à l'infini des deux droites ^oi et ^12. Mais, tandis qu'en général Xq^ et x^^ ne se coupent pas, on obtient dans ce cas les points A de la courbe des inflexions au moyen de deux gerbes collinéaires de rayons dont les sommets sont les points à l'infini sur deux droites parallèles. Le lieu de ces points situés à distance finie se réduit donc à une droite, parallèle à l'axe du déplacement.

Mais, inversement, on peut faire voir que si la courbe gauche /2i2 se décompose, il faut que les axes des deux mouvements hélicoïdaux soient parallèles; car si il^^ se décompose, il existe une droite g pour tous les points de laquelle Aq, A,, A2 sont en ligne droite. Mais les cordes de tous les points d'une droite de 2 forment, en général, l'un des systèmes de génératrices d'un paraboloïde hyperbolique; dans le cas considéré, celui-ci renferme trois positions ^o> ^15^2 de la droite g^ et ces trois droites sont coupées par toutes les génératrices suivant des ponctuelles congruentes. Mais cela ne peut pas se présenter pour un paraboloïde proprement dit; car deux génératrices qui sont rencontrées par les génératrices de l'autre système suivant des ponctuelles congruentes sont également inclinées sur le plan directeur des génératrices de ce système, et il ne peut y avoir que deux pareilles droites. C'est pourquoi les lignes de jonction des points homologues de ^0 et gx sont toutes dans un plan, et il en résulte qu'elles sont parallèles entre elles; autrement il n'y aurait que deux points de l'espèce considérée sur g. Mais toute droite pour laquelle les cordes A^Ai sont toutes parallèles est parallèle à l'axe du déplacement; il faut donc que^o soit parallèle à l'axe ^01 luimême. Si l'on observe maintenant que les cordes AqAi sont

l38 CHAPITRE III.

idenliques en direction avec les cordes A1A2, il s'ensuivra de même que g^ est parallèle à l'axe ^12» c'est-à-dire que les deux axes sont parallèles.

Il en résulte donc que :

S'il existe une droite telle que pour chacun de ses points A, Ao, Al, A2 soient en ligne droite, les deux axes ^01 ^t Xi^, autour desquels se font les deux mouvements hélicoïdaux, sont parallèles entre eux et inversement, si les axes x^^ et x^^ sont parallèles, il existe une pareille droite.

6. Tandis qu'il y a une infinité de points pour lesquels trois positions consécutives sont en ligne droite, il n'y aura pas, en général, de point à distance finie pour lequel A3 sera aussi sur la même droite. Si, en effet, ^3 est la troisième position du système, il correspond à Du^aj^sune courbe gauche ij 23 lieu des points A pour lesquels Ai, A2, A3 sont en ligne droite. La courbe gauche il^^ est le résultat de l'intersection de deux gerbes collinéaires dont les centres sont à l'infini sur ^01 et ^12- De même «5,3 provient de l'intersection de deux gerbes collinéaires dont les centres sont à l'infini sur ^12 et x^^. Ces deux courbes n'auront donc, en général, en commun que le point à l'infini sur ^12; elles n'auront d'autre point commun que dans le cas où trois rayons correspondants des trois gerbes collinéaires se coupent en un seul et même point, ce qui n'arrivera pas en général.

7. Si les positions 2o>2i>22 se rapprochent indéfiniment, l'axe central ka se transformera en axe de courbure de la trajectoire de A. Les points de la courbe /012 deviendront les points du système qui passent par des points d'inflexion de ces trajectoires. La courbe il^^ se transforme en une parabole cubique que nous désignerons par i^.

Nous obtenons ainsi pour le mouvement continu d'un système les trois théorèmes suivants :

Les axes de courbure des trajectoires de tous les points de là forment à chaque instant un complexe tétraédral de rayons. Les points principaux et les axes principaux sont imaginaires.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. iSg

Lorsqu'un système à trois dimensions se déplace, il existe à chaque instant une infinité de points qui passent par des points d'inflexion de leur trajectoire. Ils forment en général une parabole cubique i^ qui contient le point à l'infini de l'axe instantané et les points principaux du complexe tétraédral. Si les surf aces polaires sont cylindriques, i^ se réduit à une droite (^).

Les conséquences qui se déduisent du premier de ces deux théorèmes sont tout à fait analogues à celles que nous avons énoncées dans le cas de positions distinctes des systèmes. Il paraît donc superflu de les énoncer encore une fois.

8. Il existe également un complexe d'axes centraux k], et une courbe des inflexions i^' dans le cas du mouvement inverse de ^' dans l'espace ^. Les deux systèmes ont une relation réciproque. Si B' est en effet un point de la droite A-^, le plan normal (3'^\ passe par A, puisque A^ est dans a\^ (IV, 8), et comme A^a est aussi dans oC\^,\Q\i\din (3^2 passe aussi par A. Le point A est donc sur l'axe central AJ, du point B' lors du mouvement inverse. Cela a lieu pour tout point B' de k^. Désignons alors par h', ka considérée comme droite de ^', il s'ensuit que les axes A:^ de tous les points de ka^=^h' forment un cône. Ainsi, tandis que les axes centraux d'une droite quelconque forment en général un hyperboloïde, un axe de courbure se distingue par ceci, c'est que l'hyperboloïde se réduit à un cône; pour un déplacement infiniment petit, nous arrivons donc à cette conclusion :

Le complexe des axes de courbure du mouvement primitif et celui du mouvement inverse ont entre eux une correspondance réciproque : chaque axe ka est une droite de lé' pour les points de laquelle les axes de courbure forment un cône, et la même chose a lieu pour les axes k'i, considérés comme étant des droites de là.

(') Everelt reconnut le premier la signification exacte de la courbe des inflexions : Kinematics of a rigid hody {Quarterly journal, t. XIII, p. 39).

l4o CHAPITRE m.

La courbe des inflexions de 2' est donc le lieu des sommets des cônes qui correspondent à des droites situées à l'infini dans 2, et de même, la courbe des inflexions de 2 contient les sommets des cônes qui correspondent à des droites à l'infini dans 1'.

De plus, chaque sécante de i^ appartient au complexe des axes de courbure A:', car les axes de courbure de ses points forment un cylindre. De même, toute sécante de la courbe des inflexions i'^ est une droite du complexe k dans le mouvement direct.

Si nous considérons l'axe de courbure ka comme une droite h' de 2', A est le sommet du cône correspondant. Si nous désignons Taxe A-^ par ^ en tant que droite de H, B' est le point de 2', sommet du cône correspondant à g-=ik',j c'està-dire que :

Si g est une droite de ^ pour les points de laquelle les axes de courbure forment uncône^ le sommet du cône sera le point B' de 2' dont la trajectoire a comme axe de courbure la droite g lors du mouvement inverse (*).