IX. — La correspondance cubique et les points à courbure

stationnaire.

1. Soient \, lii, ^2, ^3 quatre positions quelconques du système, et 2^1, lé\^y 2'^3 les systèmes de plans normaux correspondant aux cordes AoAj, A1A2, A2A3. Trois plans correspondant au môme point A se coupent en un point A' de U, qui est le centre d'une sphère passant par les points Aq, Ai, A2, A3. Mais les plans normaux qui, dans le mouvement inverse, répondent auxcordes AJ, Aj, A^ Ag, Ag A3, se coupent au point A, c'est-à-dire que A est le centre de la sphère qui passe par A' A' A' A'

Faisons correspondre deux pareils points A et A' de 2 et 2', les deux espaces ainsi rapportés Tun à l'autre auront une correspondance univoque. A chaque point de D correspond,

(') Voir ScHŒNFLiES, Journal fur die reine und angewandte Math., t. XCVIII, p. 267,

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l4l

en généra], un point de 1', et inversement. Nous allons reconnaître plus loin quel est le genre de cette correspondance.

Si les points A de 2 sont sur une droite ^, les centres A^ des sphères correspondantes seront sur une courbe gauche du troisième ordre. Elle résulte de l'intersection de trois faisceaux projectifs de plans, dont les axes sont les droites gl^, ^i2> ^2 3- Inversement, aux points A' de 1' qui sont sur une droite correspondent dans 1 les points A d'une courbe gauche du troisième ordre. Car chacun de ces points A est l'intersection des plans correspondants a^', , a]\, a^'3 des faisceaux projectifs qui ont ^^^'1, ^^'2, ^^^3 pour axes.

Si les points A de ^ sont sur un plan s, les points A' de 1' formeront une surface du troisième ordre. Elle est engendrée par l'intersection de trois gerbes collinéaires, qui ont comme centres les foyers de s'^j, e'^^^ e'^^. Inversement, à tous les points A' d'un plan s' de 2' correspondent les points d'une surface du troisième ordre de 1 ; car les plans normaux a^'^, ^12» ^23 qui, dans le mouvement inverse, sont associés aux points A' de li', forment également trois gerbes en collinéation.

La correspondance qui existe entre les deux espaces 2 et 1' s'appellera par suite une correspondance cubique (^). Nous arrivons ainsi au théorème suivant :

Si l'on fait correspondre à tout point A de ^ le point A' de lé' oà se coupent les plans normaux a^j, oC[^y a\^, A sera en même temps le point d'intersection des trois plans normaux <^oi> '^12» ^2 3 ^^' point A' dans le mouvement inverse. Les systèmes ^ et 1' , ainsi rapportés V un à Vautre, sont en correspondance cubique.

2. Au plan à l'infini s^ de i' correspond aussi, dans le système 2, une surface du troisième ordre ; on la désignera par F5i23 ou encore par FJ3. Chacun de ses points se fait remar-

(') Voir ScHŒNFLiES, Journal fur die reine und angewandte Math., t. XCVII, p. 274. Mehmke la découvrit d'une manière indépendante {Civilingenieur, t. XXIX, p. 58i). La correspondance cubique a été étudiée à fond par Nôtiier et Gremona {Math. Annalen, t. III, p. 552 et Annali di Mat., 2« série, t. V, p. i3i). Voir aussi Sturm {Math. Annalen, t. XXII, p. 480).

l42 CHAPITRE III.

quer par celte propriété que le centre de la sphère qui passe par Ao, Al, As, A3 est à l'infini.

Les quatre points Aq, A,, A2, A3 sont donc dans un plan. Les courbes des inflexions «J^g ^t r]2 3 sont situées sur la surface FJ3. Car, A étant un point de il^^, Aq, A^, A2 sont en ligne ^droite et, par conséquent, Ac, Ai, As, A3 sont dans un plan, et de la même manière, B étant un point de i\^^, Bi, B2, B3 sont en ligne droite, et Bo, Bi, Bg, B3 dans un plan.

Il existe aussi dans 2' une surface analogue FJ3 qui, dans le mouvement inverse, correspond au plan e^ de 2. Nous obtenons donc le théorème suivant :

^0) -^i, ^sj ^3 étant quatre positions quelconques du système à trois dimensions, il existe une infinité de points A appartenant à ce système, et Jouissant de cette propriété que Aq, Ai, As, A3 sont dans un plan. Leur ensemble forme une surface du troisième ordre F03, sur laquelle sont aussi les courbes des infiexioTis i^^^ et i\^^. Il existe une surface correspondante pour le mouvement inverse dans le système 2'.

3. Considérons encore une cinquième position II^, tous les points A de 2 pour lesquels Ai, As, A3, A4 sont dans un même plan forment une surface du troisième ordre FJ^. Les surfaces FJ3 et F^^ renferment toutes les deux la courbe «5,3 î elles se coupent donc en outre suivant une courbe gauche du sixième ordre, que nous désignerons parcj^. Comme FJg contient la courbe c§^, la courbe c\^ sera sur FJ^. F14 contient donc cl^ et c\^, c'est-à-dire que chaque surface F-^ contient deux courbes c"^ de cette espèce.

On démontre que, pour chaque point A de la courbe cj^, les cinq positions Aq, Ai, As, A3, A4 sont dans un même plan. Car Ao, Al, As, A3 sont dans un plan, ainsi que Ai, As, A3, A4; les deux plans ont en commun les trois points Ai, As, A3, et comme ceux-ci ne sont pas, en général, sur une droite, les deux plans se confondent.

Ceci n'arrivera pas nécessairement lorsque Ai, As, A3 sont en ligne droite. Alors les deux plans seront, en général, différents l'un de l'autre, et se couperont suivant une droite A1A2A3.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. I^S

Donc :

Si l'on donne cinq positions arbitrairement choisies cVun système à trois dimensions, il existe une infinité de points A pour lesquels Aq, Ai, A2, A3, A4 sont dans un même plan. Ces points forment, en général, une courbe gauche du sixième ordre cj^, qui, avec «îgs» constitue V intersection des surfaces F-^ et F^

h. Considérons encore une sixième position du système Dg, il existera une surface F^^ de 2 pour laquelle les points A jouissent de cette propriété que A2, A3, A4, A5 sont dans le même plan. Les trois surfaces FJ3, FJ^, F^^ se coupent en vingt-sept points. Pour chacun de ces points, quatre positions consécutives sont dans le même plan, et, lorsque le point ne sera ni sur i\^^^ ni sur i\^^, les plans

[Ao, Al, A,, A3], [Al, A,, A3, A4], [A,, A3, A4, A5]

se confondent, c'est-à-dire que six positions consécutives du point seront dans un même plan. Si, par contre, A est un point de «5,3, les plans

[Ao, Al, A2, A3] et [Al, A,, A3, A4]

ne se confondent pas nécessairement, leurs trois points communs étant en ligne droite ; et si A est un point de «13 4, la même chose aura lieu pour les plans

[A,, A2, A3, A4] et [A2, A3, A4, Ag].

Les surfaces FJ3 etFJ^ contiennent toutes les deux la courbe i\^^. Celle-ci coupe la surface F23 en neuf points qui sont sur les trois surfaces. De même FJ^ et F^^ contiennent la courbe «234 et les neuf points d'intersection avec F03 sont aussi des points communs aux trois surfaces. Mais les courbes /^23 ^^ «23^ ont un point commun, qui est le point à l'inflni de la droite ^23; ce point appartient donc aussi bien à l'intersection de «^2 3 avec FiJ- qu'à celle de «234 avec FJg. Les deux groupes de neuf points chacun ne représentent donc que dixsept points distincts; il reste donc dix points d'intersection, qui ne sont ni sur i\^^, ni sur «234, et il s'ensuit :

l44 CHAPITRE III.

Si l'on donne arbitrairement six positions du système 1, il existe, en général, dix points K pour lesquels Ao, Ai, A2, A3, Av, A5 sont dans un même plan.

Ces dix points sont en même temps les points d'intersection des deux courbes c§^ et c\^. Deux courbes consécutives de cette espèce se coupent donc, en général, en dix points. Parmi eux sont tous les points du système invariable qui sont forcés de se mouvoir dans un plan fixe.

5. Passons au cas de positions infiniment rapprochées du système, tout plan [Ao, Ai, A2, A3] deviendra un plan osculateur stationnaire, c'est-à-dire ayant avec la trajectoire de A un contact du troisième ordre. Les courbes i^ et c^ seront les courbes d'intersection de deux surfaces F^ consécutives. Nous arrivons donc aux théorèmes suivants :

Si un système 'L se meut d'une manière arbitraire dans V espace, il existe à chaque instant une infinité de points dont les trajectoires ont, avec leur plan osculateur , un contact du troisième ordre. Ils forment une surface du troisième ordre sur laquelle est la courbe des inflexions i"^ , Sur cette surface, il existe une courbe du sixième ordre c^, dont les points sont tels qu'ils ont un contact du quatrième ordre avec leur plan osculateur ; enfin dix des points de cette courbe présentent cette particularité, que les plans osculateurs de leurs trajectoires ont avec elles un contact du cinquième ordre.

L'enveloppe des surfaces F^ se décompose en deux surfaces de signification cinématique différente ; l'une est le lieu de toutes les courbes des inflexions et contient les points qui décrivent des trajectoires à tangente stationnaire ; Vautre est le lieu des points dont les trajectoires ont, au cours du mouvement, un contact de quatrième ordre avec leur plan osculateur. Sur cette surface, il existe d'ailleurs une courbe, lieu des points qui décrivent des trajectoires ayant, avec leur plan osculateur, un contact du cinquième ordre ; elle est l'enveloppe de toutes les courbes c^.

6. Il existe encore sur la surface FJ3 une autre courbe du sixième ordre qu'il est utile de mentionner. Parmi les points

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. F 45

A du système 1 situés sur FJ^, il en existe pour lesquels les quatre positions Ao, A,, A,, A3 sont, non seulement dans le même plan, mais encore sur le même cercle. Pour les points de cette espèce, il faut que les trois plans normaux correspondants a^'i, a^2' <^23 s^ coupent suivant une môme droite. Si e est un plan arbitraire de 1, les plans normaux de ses points forment trois gerbes de plans en collinéation, dont les sommets sont les foyers de £'"1, s'", et £'".5, lesquels ne se confondent pas en général. Mais on sait qu'il existe, en général, six droites suivant lesquelles se coupent trois plans correspondants des trois gerbes; donc le plan s contiendra aussi, en général, six points de l'espèce considérée. Il en résulte donc que :

Si l'on donne arbilrairenient quatre positions du système 2, il existe une infinité de points A tels que Aq, Ai, A2, A3 soient sur un cercle. Ces points forment une courbe gauche du sixième ordre qui est située sur la surface F^j.

Nous désignerons cette courbe par A-Jj^g ou encore par kl^. Il existe dans le système 2' une courbe analogue pour le mouvement inverse. Les points de ces deux courbes font une exception à la règle trouvée plus haut et qui dit que, dans la correspondance cubique, il correspond à chaque point d'un système un point déterminé de l'autre. Car les plans normaux a'^j, a^.,, al^ d'un point A de ^^3 se coupant suivant une même droite, au point A de 2, il ne correspondra plus un point, mais une droite, qui est l'axe de courbure de la trajectoire du point A. La même chose a lieu pour les points de la courbe k^'^ de i'.

Si ka est l'axe de courbure de ce point A, il s'ensuit inversement que, à tout point B' de A^, correspondra dans le système 1 le point A.

Mais à chaque plan z' de 2' correspondait, dans le système 1, une surface du troisième ordre; comme £' a au moins un point commun B' avec l'axe de courbure de tout point A de AJ3, il s'ensuit que tous les points de A §3 sont, sur cette surface du troisième ordre; c'est-à-dire que toute surface du troisième ordre de 1, qui, dans la correspondance cubique, correspond à un plan de 2', contient la courbe AJ3; de même S. 10

l46 CHAPITRE III.

Xrjg est sur toutes les surfaces de 2' qui correspondent aux plans de ^.

Les courbes A-Jg et kl'^ sont appelées les courbes fondamentales des systèmes qui se correspondent cubiquement, 1 et 1'.

7. Comme les points A de ^^3 ^ont définis par ce fait que les trois plans normaux «oi, cc\^, al^ passent par la même droite, un point de 1 appartiendra à la courbe si deux de ses plans normaux coïncident. Tout plan ajj qui se confond avec le plan correspondant a\^ est un plan principal du complexe ©5,^/2 formé par les axes centraux /:« correspondant aux deux systèmes 2oi et 2^^. Ce complexe contient, en général, quatre plans principaux imaginaires ; donc les quatre points imaginaires de 1 qui ont ces plans principaux comme plans normaux sont sur la courbe kl-^.

Il existe en tout quatre groupes de quatre points imaginaires qui sont sur kl^; car, pour tout point A de cette courbe, non seulement a^^, a\^, a^^ passeront par une même droite ka, mais aussi al^, a^.5, a\^ perpendiculaires sur A0A2, A0A3, A, A3 en leurs milieux.

Mais, au moyen des six systèmes

yv vv sv yv vv y

on peut former quatre complexes

il existe donc, en effet, quatre groupes de points imaginaires sur ^-«3.

Considérons encore une cinquième position du système, 2^, et soit /rj^ la courbe formée par les points A de 2 pour lesquels A^, As, A3, A4 sont sur un cercle; elle contiendra les seize points imaginaires de 1 qui correspondent aux plans principaux imaginaires des complexes

Les deux courbes ont donc, en commun, les quatre points imaginaires qui correspondent aux plans principaux du complexe G',\^3 dans 2, et il s'ensuit que :

MOUVEMENT d'UN SYSTÈME INVARIABLE. 1^7

fjCS deux courbes k^.^ et k\^ se coupent en général en quatre points imaginaires, correspondant aux plans principaux du complexe S^^'j formé par les axes centraux.

La propriété analogue a lieu pour les courbes kl\ et k\',^ de ^' dans le mouvement inverse.

8. Pour des positions infiniment voisines des systèmes, les points des courbes kl^ et AJg jouissent de cette propriété que les cercles de courbure de leurs trajectoires auront un contact du troisième ordre avec ces courbes ; nous obtenons donc le théorème suivant :

Si un système invariable se déplace d' une manière quelconque dans l'espace, il renferme à chaque instant une infinité de points pour lesquels le cercle de courbure de la trajectoire est surosculateur à cette trajectoire. Ces points forment une courbe gauche du sixième ordre. Les deux courbes sont les courbes fondamentales de la correspondance cubique instantanée qui a lieu entre les espaces i et 1,' ; la courbe k^ est donc sur F^, de même la courbe k'^ est sur F;.

Comme deux courbes consécutives k^ n'ont, en commun, que quatre points imaginaires, il n'existe pas, en général, de point à distance finie tel que son cercle de courbure ait, avec la irajecloire, un contact du quatrième ordre.

9. Comme on l'a vu plus haut, les centres de courbure, qui correspondent à tous les points d'une droite g, forment une courbe gauche du troisième ordre que nous désignerons par k"^.

Si la droite g rencontre la courbe k^ une fois, la cubique gauche k^ se réduit à une conique, ou plutôt se compose de cette conique et de Taxe de courbure stationnaire du point de rencontre (^),

Si la droite g rencontre la courbe k^ en deux points L et M,

(') Voir Thevenet, Thèses présentées à la Faculté des Sciences, 1886, p. 46 et 47.

les centres des sphères osculatrices forment une droite g', composant avec les axes ki et k,n des points L et M la cubique gauche k^. A un point quelconque A de la droite g correspond un point A' de g' comme centre de la sphère osculatrice. Mais, comme nous l'avons mentionné plus haut, le point A est centre de la sphère osculatrice de A' pour le mouvement indirect; donc la droite g' rencontre deux fois la courbe k^' du système 2'. Ainsi, quand on fait abstraction des axes de courbure stationnaires tels que /t/ et k„i, on obtient le résultat suivant :

Les cordes des courbes k^ et k^' des systèmes i et i' se correspondent de telle manière que les centres des sphères osculatrices relatives aux différents points d'une corde de l' une de ces deux courbes forment eux-mêmes une corde de l'autre courbe.

Il peut arriver que la droite g rencontre la courbe k^ trois fois ; soient L, M, N les points de rencontre. Dans ce cas, les axes kl, k„i, k^ mis à part, la courbe k^ se réduit à un seul point S, ce qui exige que les axes k/, k^, k^ passent tous par S.

Soit maintenant A un point quelconque de la droite g ; les quatre positions Aq, Ai, Ag, A3 sont à la môme distance du point S. Par conséquent, pour le mouvement indirect, S comme point U de 1' appartient à la courbe k^' du système ^' et la droite g est son axe de courbure k'i . En considérant que les trois axes A-/, k,n, k^ concourent au même point de k^\ nous trouvons que par un point quelconque de k^' il passe les axes de ti-ois points de la courbe k^.

Les courbes A*' et k^' obéissant aux mêmes lois, il s'ensuit que la surface réglée formée par les axes de courbure des ditîérents points de k^ est composée de toutes les droites qui rencontrent trois fois la courbe k^' . Mais, comme nous ve nous de le démontrer, par chaque point de k^' il passe trois de ces droites; une quelconque d'entre elles est donc rencontrée par six autres. Il s'ensuit que la surface considérée est du huitième ordre. Donc :

Les droites rencontrant trois fois la courbe k^ sont les axes

MOUVEMENT d'lX SYSTÈME INVARUBLE. 1 49

de courbure stationnaires pour le mouvement indirect ; pour chacune d'elles, la courbe des centres des sphères osculatrices se réduit à un seul point appartenant à la courbe k^' du mouvement- i/idirect.

La surface réglée formée par les axes de courbure des points de la courbe k^ est du huitième ordre et contient la courbe k^' du mouvement indirect comme courbe triple.

Nous avons vu que les droites telles que les axes de courbure relatifs à tous leurs points forment un cône, constituent un complexe du second ordre, et que les axes de courbure sont les droites analogues pour le mouvement indirect. Nous désignons ces droites sous le nom de droites pivotantes (^). En effet, si S est le sommet du cône relatif à la droite, il est clair que la droite pivote autour du point S.

En faisant usage de cette définition, nous désignons les droites k^, k„i, - • • sous le nom de droites pivotantes stationnaires et nous avons le résultat suivant :

A chaque moment, il existe une surface gauche du huitième ordre composée de droites pivotantes stationnaires. Les sommets des cônes formés par les axes de courbure relatifs aux points de ces droites constituent la courbe k^' du mouvement indirect

10. Considérons enfin cinq positions arbitrairement choisies du système, 2^, ^i, 2,, Ij, l-, et les systèmes de plans normaux correspondant aux cordes AoAj, A1A2, A2A3, A3 A4, ces systèmes de plans normaux élant l^^j, 1\^, 2;%, 1\,^. Quatre plans homologues a\^, aj,, ol\^, a^^ forment un tétraèdre; mais il peut arriver qu'ils se coupent en un même point. A'. Si g est une droite quelconque de 2, les plans normaux de ses points formeront quatre faisceaux projectifs de plans pour les cinq positions consécutives de 2; les axes de ces faisceaux sont ^^1, g[^, 023» oli- Mais on sait qu'il existe, en général, quatre plans de chaque faisceau qui concourent en un même point avec les plans correspondants des trois autres. Il existe donc sur cette droite g, en général, quatre points de l'es-

(*) Voir TiiEVENET, loc. cit.

l5o CHAPITRE III.

pèce considérée, les quatre points qui correspondent aux quatre plans de chaque faisceau. 11 y a donc une infinité de pareils points, et leur ensemble forme une surface du quatrième ordre, que nous désignerons par FJ1234 ou F* 4. Chacun des points de cette surface est caractérisé par la propriété d'avoir cinq de ses positions consécutives sur une même sphère.

Le point A' est le point d'intersection des plans normaux al^y a^2J ^23' '^34? P^^' conséquent, les plans normaux de A' se couperont au point A lors du mouvement inverse. Le point A' est donc tel que, dans le mouvement inverse, ses cinq positions consécutives soient sur une sphère dont le centre est en A. D'autre part, A' est le centre de la sphère correspondant à A ; il s'ensuit donc que les centres des sphères qui appartiennent aux points A de FJ4 forment la surface FJ'^ dont les points restent dans le mouvement inverse sur une sphère pour cinq positions consécutives, et que FJ4 est le lieu des centres des sphères correspondant aux points A'.

La surface FJ^ contient les deux courbes A^g et k\^. Car si A est un point Arjg, Aq, Ai, A2, A3 sont sur un cercle; par conséquent, ces quatre points sont sur une même sphère avec Ag ; de même, si B est un point de ArJ^, les cinq points Bq, Bi, B2, B3, B4 sont sur une sphère, car Bi, B2, B3, B4 sont sur un cercle. La même chose a lieu dans le mouvement inverse. Nous arrivons donc au théorème suivant :

Si l'on donne arbit/'airement cinq positions du système, celui-ci contiendra une infinité de points A tels que A^, A^, A2, A3, A4 appartiennent à la même sphère. L'ensemble de ces points forme une surface du quatrième ordre F^^ qui renferme les courbes k^^ et k\^. Les centres des sphères correspondant aux points de ¥'1^ forment également une surface du quatrième ordre F^'^. Les deux surfaces se correspondent dans la transformation cubique qui lie les systèmes I1 et I1' . Dans le mouvement inverse, les deux surfaces échangent leur signification ( ^ ).

( ' ) ScHŒNFLiES, Joumal fiir reine und an g. Math., t. XCXVIII, p. 277,

MOUVEMENT d'UN SYSTÈME INVARIABLE. l5l

11. Soil ^5 une sixième position du système, et F^^ la surface, lieu des points A pour lesquels Aj, A2, A3, A4 sont sur la même sphère. Les surfaces FJ^ et ¥\.. contiennent toutes les deux la courbe AJ^, ; elles se couperont donc, en outre, suivant une courbe du dixième ordre AJ?. Comme FJ^ contient la courbe A-J?, la surface FJj contient encore une courbe analogue AJJ. F|^ contient donc les deux courbes AJJ et k\l, et la même chose a lieu pour toute surface de cette espèce.

Chaque point de AJJ jouira, en général, de cette propriété de rester sur la même sphère pour les six positions considérées du système. Si B est un point de Aî\, Bq, Bi, Bo, B3, B4 seront sur une sphère ; B^, B,, B„ B4, B5 également ; mais, Bi, B2, B3, B4 étant des points du même cercle, les deux sphères ne coïncideront pas en général.

Si A' est le centre d'une sphère répondant à un point A de k^l. A' sera l'intersection de cinq plans normaux ; par conséquent, A est également le point d'intersection des cinq plans normaux de A' dans le mouvement inverse; c'est-à-dire que A' est un point de la courbe AJ^' et A le centre de la sphère correspondante.

Il s'ensuit donc que :

Si ron donne arbitrairement six positions du système, celui-ci contiendra une courbe du dixième ordre AJg dont les points restent sur une sphère pour les six positions de 2. Les centres de ces sphères forment également une courbe gauche du dixième ordre A^g'. Les deux courbes se correspondent dans la transformation cubique qui relie les deux systèmes 21 et 21'. Dans le mouvement inverse, les deux courbes échangent leur signification.

12. Ajoutons enfin une septième position Dg» et considérons la surface F*^ dont les points ont la propriété de rester sur une sphère pour les positions A2, A3, A4, Ag, Ae- Les trois surfaces FJ4, FJ;^, Y\^ se coupent en soixante-quatre points.

Parmi ces soixante-quatre points, tous ceux qui ne sont pas sur AJ^ ou kl,, sont donc sur une sphère dans sept de leurs

l52 CHAPITRE III.

positions consécutives. Si, par contre, A est un point de k\,^y les deux sphères qui contiennent Aq, Ai, A2, A3, A4 ou A,, Ag, A3, A4, A5 auront en commun les cinq points d'un cercle, et par conséquent seront, en général, différentes l'une de l'autre; et, pour des raisons analogues, il en sera de même pour les points de k\^.

Les surfaces FJ^ etFJ^ renferment toutes les deux la courbe k\i^. Celle-ci coupe FJg en vingt-quatre points qui sont sur les trois surfaces. De même FJg etF^g contiennent la courbe k\^; leurs vingt-quatre points d'intersection avec Fj^ font également partie des soixante-quatre points d'intersection des trois surfaces. Mais k\^ et kl- ont, en commun, quatre points imaginaires; chacun d'eux est donc aussi bien l'un des points d'intersection de k\^ avec F^^, qu'un des points d'intersection de ^2 6 ^vec FJ^. Les deux groupes de vingt-quatre points chacun ne forment donc, en général, que quarante-quatre points distincts; il reste donc vingt des soixante-quatrcpoints d'intersection qui ne sont ni sur k\^^ ni sur k\^^^ et il s'ensuit que :

Si Von donne sept positions du système, il existe, en général^ vingt points A gui sont sur une même sphère pour les sept positions du système.

Ces vingt points sont, en même temps, les points d'intersection des courbes kH et k\l. Tout point du système invariable qui est forcé de se mouvoir sur une sphère fait partie de ces points.

Il existe également vingt points de cette espèce pour le mouvement inverse. Les vingt points de 2 et les vingt points de 1' se correspondent dans la transformation cubique. Chacun de ces points A' est le centre de la sphère correspondant au point A; de même A est le centre de la sphère sur laquelle se meut A' dans le mouvement inverse.

13. Si enfin nous passons encore au cas de positions infiniment voisines du système, la sphère passant par Ao, Ai, A2, A3, A4 deviendra une sphère osculatrice stalionnaire de la trajectoire de A, laquelle sphère contient cinq positions infiniment voisines de A. Nous arrivons donc au théorème suivant :

MOUVKMENT d'UN SYSTÈME INVARIABLE. l53

Si un système invariable se déplace d'une manière quelconque dans l'espace, il existe, à chaque instant, une infinité de points dont les trajectoires ont un contact du quatrième ordre avec leurs sphères osculatrices. Ces points forment une surface du quatrième ordre F''. Les centres de ces sphères osculatrices forment également une surface du quatrième ordre F^'.

Sur la surface F^, // existe une courbe du dixième ordre k'^^ dont les points décrivent des trajectoires ayant avec leur sphère osculatrice un contact du cinquième ordre. Les centres de ces sphères forment également une courbe du dixième ordre K^*^' qui est sur Y'*'. Enfin, vingt points A de la surface sont tels que leurs trajectoires ont avec leurs sphères osculatrices un contact du sixième ordre. Les centres de ces sphères sont sur la courbe K^^'. Les surfaces F* et F*', ainsi que les courbes k^^ et k^^' et les points A et A', sont des éléments correspondants dans la transformation cubique qui lie les deux espaces i et 'L' . Dans le mouvement inverse, les surfaces, les courbes et les points échangent leurs significations.

L'enveloppe de toutes les surfaces F^ qui correspondent aux différentes positions de 2 se décompose encore en deux surfaces de caractère cinématique différent. L'une d'elles est le lieu de toutes les courbes k^ et contient les points de 2 dont les trajectoires ont, au cours du mouvement, un cercle de courbure stationnaire ; l'autre est le lieu des courbes k^^ et se compose des points du système dont les trajectoires ont un contact du cinquième ordre avec leurs spbères osculatrices. Sur cette surface, il existe d'ailleurs une courbe, lieu des points qui décrivent des trajectoires ayant avec leurs sphères osculatrices un contact du sixième ordre : c'est l'enveloppe de toutes les courbes k^^.

Les éléments essentiels qui servent à la détermination de la trajectoire d'un point A du système sont la tangenle, le plan osculateur, le plan normal, l'axe de courbure et la sphère osculatrice.

Il ne peut pas, en général, y avoir de point dont la trajectoire ait un plan normal stationnaire ; car il n'existe pas de point du système qui se trouve en repos à un instant

quelconque. Il s'ensuit que, dans ce qui précède, nous avons résolu la question qui consiste à déterminer le lieu des points dont les trajectoires ont, à un instant quelconque, des propriétés stationnaires.