Nous nous proposons d'établir ici les principaux théo

(') Les premières recherches sur les degrés de liberté dans le mouvement ont été faites par ScHONEMANN,yl/o«a^s6e/-. der Berliner Acad.; iSo5, et Journal f. Math.^ t. XG, p. 44)- Les théorèmes deSchonemann furent retrouvés par Mannheim : Étude sur le dépl. d'une figure de forme invariable {Journal de l'École Polytechnique, Cahier 43, p. 77). C'est Bail qui, le premier, donna une étude détaillée des six degrés de liberté {Transactions of the R. Jrish Acad., t. XXV, p. i83. Voir aussi Halphen, Bulletin de la Société mathématique de France, l. II).

MOUVEMENT d'lN SYSTÈME INVAHIABLE. 1 55

rèmes qui concernent la liberté du mouvement d'un système. Nous avons déjà démontré plus haut qu'il ne peut exécuter qu'un seul mouvement si l'on donne à chaque instant cinq des rayons du complexe linéaire qui caractérise le déplacement; c'est alors le premier degré de liberté. Soient /, m, n, p, q cinq rayons du complexe. Chacun d'eux jouit de la propriété d'être normal à la trajectoire de chacun de ses points. Si donc L, M, N, P, Q sont des points quelconques sur /, m, n, p^ q, la trajectoire de L sera sur une surface qui a / pour normale; de même pour M, etc. Il nous est donc permis de nous donner à chaque instant cinq surfaces sui' chacune desquelles doit se mouvoir un point du système; il s'ensuit que :

Tous Les points d' un système i décrivent des trajectoires déterminées dès que cinq d' entre eux sont assujettis à rester chacun sur une surface donnée. Le degré de liberté du système est le premier.

On peut modifler de bien des manières cette condition imposée à cinq points de se déplacer sur cinq surfaces. Au lieu, par exemple, de dire qu'un point A de 2 se meut sur une surface <I>^, on peut aussi prescrire qu'une surface <^(b) de 1 passe toujours par un point fixe B'. Car, dans le mouvement inverse, le point B' de 2' restera toujours sur une surface ^(6). Les deux conditions sont donc équivalentes. De même, nous pouvons convenir qu'une surface ^(a)» appartenant au système 2, sera constamment tangente à une surface <^[a) de l'espace fixe, car cette condition revient à dire que la normale commune aux deux surfaces est en même temps normale à la trajectoire tlu point de contact.

Comme les droites /, m, /i, p, q ne sont soumises qu'à la condition de faire partie d'un complexe linéaire, nous pourrons admettre que deux d'entre elles, / et m, par exemple, se coupent. Mais L et M étaient des points quelconques de / et m ; faisons-les coïncider tous deux avec le point d'intersection (/m), on aura ainsi déterminé deux normales en ce point. Le point {Im) décrit donc, à l'instant considéré, un élément déterminé de courbe.

Si donc nous prescrivons qu'un point du système décrira

l56 CHAI'ITRK III.

une certaine courbe, cela est équivalent à l'obligation pour deux points de se mouvoir sur des surfaces. La même cbose aura lieu pour la condition que l'on impose à une courbe du système, une droite, par exemple, de passer par un point fixe.

3. Si, à chaque instant, on ne donne que quatre rayons du complexe, c'est-à-dire les normales aux trajectoires de quatre points du système, il n'y aura que quatre points assujettis à rester sur des surfaces données et le mouvement du système n'est plus déterminé.

En effet, si /, m, n, p sont les normales momentanées aux quatre points L, M, N, P, la normale à la trajectoire d'un cinquième point Q peut encore être prise arbitrairement, et ce n'est qu'une fois ceci fait que tout pointa décrira, à partir de la position considérée, un élément de courbe. Comme q est quelconque, il s'ensuit que, si quatre points du système sont assujettis à rester sur des surfaces fixes, il existe encore la possibilité d'une infinité de mouvements dans lesquels chaque point décrit une trajectoire.

Dans tous ces mouvements, /, m, n,p restent des normales, et les droites g et g-^ qui rencontrent /, m, n, p sont des droites conjuguées. C'est pourquoi, toute droite qui coupe ^ et g^ est normale aux trajectoires de ses points pour tous les mouvements possibles. L'ensemble de ces droites forme un système de rayons du premier ordre et de la première classe qui a ^ et ^^ pour rayons directeurs, et qui est complètement déterminé par les quatre rayons /, m, n, p.

Par le point Q, il passe un rayon s du système; quelle que soit donc la manière dont l'on choisira la normale ^ à la trajectoire Q, le plan normal [^.ç] renfermera toujours la droite s.

Donc, pour tous les mouvements possibles que peut exécuter 1 à l'instant considéré, le point Q restera sur une surface dont la normale est s. Cela a lieu pour toute position du système.

Ainsi, lorsque quatre points du système sont assujettis à rester sur des surfaces fixes, chaque point Q du système décrira une surface. Cette surface prendra le nom de surface trajectoire du point Q. Nous pourrons donc énoncer le théorème suivant :

MOUVEMENT d'un SYSTÈME INVARIABLE. J OJ

Si (juatre points du système sont assujettis à rester sur des surfaces fixes, cela aura lieu pour chaque point. Les normales aux surfaces trajectoires des points de ^ forment, pour char/ ue position du système, un système de rayons déterminé par les normales des quatre points, et, par conséquent, rencontrent toutes deux droites fixes.

k. Dans la position du système pour laquelle ces droites sont ^ et ^"^j le théorème n'est pas applicable aux points de ces droites/.. Tous leurs points se font en effet remarquer par ceci : c'est que, par chacun d'eux, il passe une infinité de rayons du système, c'est-à-dire de normales, qui forment un faisceau de rayons. Quelle que soit la manière dont on choisisse la normale q d'un cinquième point Q, les points de g et de g-^^ auront toujours chacun le même plan normal, qui est le plan de ce faisceau. Le plan normal de tout point de g passe par g^y et le plan normal de tout point de g^ passe par g; c'est-à-dire que dans tout mouvement admissible de 2, g tourne autour de g^ et g^' autour de g. Il s'ensuit que :

Si léQ est une position quelconque de 2], et g et g^^ les droites rencontrées par toutes les normales du système, les points de g et g"^ ne peuvent se déplacer que sur des courbes à partir de ^0* Chacune des deux droites tourne autour de l'autre.

Si donc A est un point quelconque de g ou de ^^, sa surface trajectoire présentera, en général, pour la position considérée, un nœud biplanaire. Si un point de ^ est sur une telle droite pour toute position du s^^slème, il décrira une courbe pendant tout le cours du mouvement.

5. Les théorèmes précédents sont susceptibles d'un autre mode d'exposition qui reste applicable même lorsque g et g'^ sont imaginaires. Le mouvement de 2 dans lequel tout point décrit une courbe est, en général, défini à chaque instant par un complexe linéaire, et cela de telle façon, que tous les rayons du complexe qui passent par un point quelconque Q de 2 forment le plan normal de Q. Soit maintenant donnée une position quelconque de 2, nous considérons tous les complexes qui ont en commun les

l58 CHAPITRE III.

quatre rayons /, m, n^ p et, par suite, le système de rayons que déternninent ces quatre droites. Chacun de ces complexes définit un mouvement de 2 au cours duquel Q décrit une courbe déterminée. Mais, pour toutes ces courbes, le rayon q du système de rayons qui passe par Q est une normale à la trajectoire de Q. Les tangentes à toutes les trajectoires de Q sont donc dans le plan tangent à une surface quelconque qui admet q comme normale, c'est-à-dire que, dans tous les mouvements de i qui sont possibles, /, m, n, p étant des rayons normaux, le point Q se déplacera, à l'instant considéré, sur une surface admettant q comme normale.

Comme, à partir de la position 2o, le système peut exécuter un nombre simplement infini de mouvements, on dit que son degré de liberté est du second ordre.

En nous servant de cette dénomination, nous pourrons déduire le théorème suivant de ce qui précède :

Si le degré de liberté que possède an système est du second ordre, les plans normaux aux trajectoires d'un point Q qui n'est ni sur g ni sur g^ forment un faisceau de plans, et les tangentes à ces trajectoires un faisceau de rayons, et cela pour tous les déplacements possibles.

Si £ est un plan quelconque de là qui ne passe ni par g ni par^^, il renfermera toujours un rayon s du système de rayons, qui est la ligne de jonction des points où s est coupé par g et g"^. Le foyer de s sera donc sur s pour tous les déplacements admissibles. Si, de plus, nous projetons les deux droites g et g^ sur £, le point de rencontre des deux projections est un point de la caractéristique de e (VI, 3), et il s'ensuit que :

Dans toute position du système, les foyers d' un plan s sont sur une droite pour tous les déplacements possibles, et leurs caractéristiques forment un faisceau plan de rayons.

6. Toutes les droites d'un système de rayons qui rencontrent une certaine droite h forment, en général, un hyperboloïde ; cela a donc lieu aussi pour les normales aux surfaces trajectoires des points d'une droite h de 2. Soit, maintenant, £ un plan quelconque perpendiculaire sur /;, il y a deux plans

MOUVEMENT d'un SYSTÈME INVARIABLE. I Sq

tangents à l'hyperboloïde qui passent par la droite à l'infini sur £, c'est-à-dire qui sont perpendiculaires sur h.

Chacun d'eux contient une droite appartenant au système de génératrices formé par les normales. Il existe donc deux points de h pour lesquels les normales sont perpendiculaires sur h ; cette droite est donc dans le plan tangent aux surfaces trajectoires, et il s'ensuit que :

l^es normales aux surfaces trajectoires de tous les points d' une droite h forment, en général, un hyperboloïde. Il existe, en général, deux surfaces trajectoires admettant h comme tangente.

7. Pour déterminer la surface formée par les plans tangents à toutes les surfaces trajectoires, imaginons que 1 commence à se déplacer suivant deux des manières possibles. Dans chacun de ces déplacements, les tangentes aux trajectoires des points Q de h forment un des systèmes de génératrices d'un paraboloïde, perspectif avec la ponctuelle Ji. Les deux tangentes aux trajectoires de Q nous fournissent le plan tangent à la surface trajectoire de Q. L'ensemble de ces plans forme un faisceau de plans du troisième ordre qui contient le plan de l'infini. Comme h ne touche que deux surfaces trajectoires, il n'y a que deux plans de ce faisceau qui passent par h, c'est-à-dire que h est un axe du faisceau de plans. 11 s'ensuit que :

Les plans tangents aux surfaces trajectoires de tous les points de h forment un faisceau de plans du troisième ordre qui renferme le plan de l'infini. La droite h est un axe de ce faiscea u .

8. Le second système de génératrices de l'hyperboloïde dont il a été question plus haut est formé par des droites qui rencontrent les normales aux surfaces trajectoires de tous les points de h. Chacune d'elles doit donc être conjuguée de h pour l'un des mouvements possibles du système. En effet, pour tout mouvement que peut prendre A, les normales de tous ses points passent par une même droite : donc cette droite est sur l'hyperboloïde; de même l'inverse est vrai. On peut énoncer ce fait de la manière suivante :

l6o CHAPITRE m.

Toutes les droites conjuguées d' une droite h de ^ par rapport à tous les mouvements possibles, forment l'un des systèmes de génératrices d\in hyperholoïde. Vautre système de génératrices est composé des normales aux surfaces trajectoires des points de h.

Comme Thyperboloïde contient g, g"^ et h, il existe un mouvement possible, pour lequel h est autoconjuguée, de môme un mouvement où h est conjuguée à g^ un autre où elle est conjuguée à g'^.

9. A chaque mouvement que peut prendre le système 2 à partir de la position 2o, correspond un complexe linéaire. Son axe principal est l'axe du mouvement hélicoïdal infiniment petit que définit ce complexe. On doit se demander quelles sont les propriétés de l'ensemble de ces axes principaux, c'està-dire des axes des mouvements hélicoïdaux infiniment petits que peut exécuter le système 2 à partir de la position ^o-

L'ensemble de ces axes instantanés est identique, au point de vue géométrique, avec les axes principaux de tous les complexes linéaires qui contiennent les quatre normales /, m, n, p, ou le système de rayons que déterminent ces normales.

Nous désignerons les deux droites qui sont rencontrées par /, m, n, p et qui, par conséquent, sont des droites conjuguées pour tous les mouvements de 1 par g et g^, et k sera leur perpendiculaire commune. Si x est un des axes instantanés, X sera perpendiculaire sur k (IV, k). De plus, les droites du système de rayons qui rencontrent x forment un paraboloïde équilatère, car tout rayon normal qui rencontre œ est perpendiculaire sur celte droite.

Soit maintenant £ un plan quelconque qui passe par g, et soit E son point d'intersection avec g"^. Le plan contient une infinité de rayons s du système de rayons qui forment un faisceau dont le centre est E et coupe le paraboloïde suivant un seul rayon de ce faisceau passant par E. L'axe instantané peut donc être défini comme étant une di'oite perpendiculaire à la fois sur a; et sur le rayon s que nous venons de déterminer. Cela a lieu pour tout axe instantané. Inversement,

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. l6l

il faut que tout axe qui est perpendiculaire sur k et sur un raj'on normal s soit un axe principal du complexe linéaire, c'est-à-dire un axe instantané ; car, si X est le point d'intersection de œ et de 5, et que t soit une droite passant par X et perpendiculaire à x, il existera toujours un complexe linéaire, et un seul, dont feront partie les cinq rayons /, m, n,p, t. Mais ce complexe jouit de la propriété que g q\ g^ sont deux droites conjuguées et que x est son axe principal.

10. Nous obtiendrons, par suite, tous les axes instantanés en construisant toutes les droites qui sont perpendiculaires à la fois sur k et sur un rayon s du faisceau situé dans £. Pour obtenir la perpendiculaire commune à A^ et à 5, nous construisons un plan quelconque parallèle à ces deux droites; puis par k Qi s nous mènerons deux plans x et o- perpendiculaires sur ce premier plan. L'intersection de ces deux plans x et g nous fournit la perpendiculaire commune cherchée.

Si maintenant K est un point quelconque de k, menons par K des rayons s' parallèles à s ; alors les plans [ks''\ formeront un faisceau de plans projeclif aux rayons 5, et chacun de ces plans est un plan x. De plus, par le centre E du faisceau de rayons, menons une droite k' parallèle à k^ les plans [k' s^ formeront un faisceau de plans perspectif au faisceau de rayons. Menons maintenant par s un plan perpendiculaire au plan \k's^ : ce sera un plan o-, et l'ensemble de ces plans enveloppe un cône du second ordre, qui est le cône complémentaire d'un cône orthogonal. L'ensemble des plans o- forme donc un faisceau de plans du second ordre perspectif avec le faisceau de rayons s.

Le faisceau de plans du premier ordre formé par les plans X, et le faisceau de plans du second ordre formé par les plans (7, engendrent la surface des axes instantanés ; celle-ci est donc du troisième ordre, et admet la droite k comme droite double.

Les droites g et g^ sont également sur la surface ; car, si

nous considérons encore le plan s et le faisceau de rayons

qu'il contient, et dont le sommet E est sur g^^ il existera

toujours un rayon du faisceau qui est perpendiculaire sur^^.