S. II

102 CHAPITRE ni.

C'est pourquoi ^^ jouit de la propriété d'être perpendiculaire sur k et sur un rayon s, La même chose a lieu pour g. Il s'ensuit donc que :

Pour toute position du système ^, l'ensemble des axes instantanés correspondant aux mouvements possibles forme une surface réglée du troisième ordre, qui contient g et g^\ et qui a, comme droite double, la perpendiculaire commune à g et g^ . Tous les axes instantanés sont perpendiculaires sur cette droite double.

On désignera cette surface sous le nom de cvlindroïde (conoïde de Pliicker). On peut la définir d'une manière purement géométrique, comme étant la surface lieu des axes principaux de tous les complexes linéaires qui ont en commun le même système de rayons de la première classe et du premier ordre (^).

11. Le plan £ qui passe par g et rencontre g^ en E coupe encore la surface suivant une conique; cette conique est formée par les points suivant lesquels les rayons s du faisceau situé dans £ sont rencontrés par les droites x de la surface, lesquelles sont perpendiculaires sur ces rayons. Projetons la seclion conique, le faisceau de rayons, et les dçoites x de la surface sur plan n perpendiculaire à k. Si s^ est la projection d'un rayon quelconque s et ^i la projection de la droite x qui est perpendiculaire sur ce rayon, s^ et x^ seront également perpendiculaires l'une sur l'autre. Tous les rayons ^i passent par la projection Ei du point E, toutes les droites x^ passent par le point d'intersection Hi de k et de y).

Les points ^i, x^ forment, par conséquent, un cercle dont le diamètre est, la ligne HiEi, et ce cercle est la projection de la conique que £ a en commun avec la surface. Mais g ne diffère pas des autres droites de la surface ; de plus, chaque plan qui contient une droite du cylindroïde est un plan tan-

(') La signification cinématique du cyJindroïde fut reconnue par Bail {Transactions of the Royal Irish Acad.,t. XXV, p. i6i). La dénomination de cylindroïde vient de Gayley.

MOUVEMENT d'iLN SYSTÈME INVARIABLE. l63

gent de la surface ; nous arrivons donc au théorème suivant :

Tout plan tangent au cylindroïde a en commun avec lui une ellipse, en dehors de la droite de contact. La projection de cette ellipse sur un plan perpendiculaire à la droite double est un cercle qui passe par un point de la droite double.

12. Nous avons déjà fait remarquer que toutes les droites du système de rayons qui rencontrent une droite x du cyliiidroïde forment un paraboloïde équilatère, c'est-à-dire que chacune d'elles est perpendiculaire sur x; mais chacun de ces rayons est normal à la surface trajectoire du point où il rencontre x, par suite x est tangent à cette surface. Tandis donc qu'une droite quelconque du système 2 n'est tangente qu'aux surfaces trajectoires de deux de ses points, toute droite x est tangente aux trajectoires de tous ses points. Comme les normales à toutes les surfaces trajectoires forment un paraboloïde équilatère, les plans tangents formeront un faisceau de plans dont l'axe est x. Nous arrivons ainsi à une nouvelle propriété cinématique du cylindroïde :

Chaque droite x du cylindroïde est tangente aux surfaces trajectoires de tous ses points. Les plans tangents à toutes ces surf aces forment un faisceau de plans dont l'axe est x.

13. Si l'on ne donne que trois normales pour déterminer le mouvement du système, si donc on se donne pour une position quelconque 21o les droites /, m, /i, rayons normaux de trois points L, M, N, 2 pourra, à partir de la position 2o, exécuter tous les mouvements pour lesquels le complexe caractéristique contient les trois rayons /, m, n; mais, si un complexe linéaire contient les droites /, m, /«, toutes les droites du système réglé R^ déterminé par /, m, n appartiennent au complexe.

Les génératrices R^ seront donc des rayons normaux pour tous les mouvements possibles de 2. Si donc A est un point quelconque de R% la génératrice q qui passe par ce point est normale à sa trajectoire pour tous les mouvements possibles; mais, si A est un point quelconque du système 2, nous

l64 CHAPITRE III.

pourrons définir un des mouvements de 2 en nous donnant encore deux droites quelconques aelb passant par A, comme droites du complexe ; avec /, m, n, elles détermineront un complexe linéaire, par conséquent, un mouvement déterminé de 2. Le plan [ab] est le plan normal du point A, et, comme a et b ont été pris tout à fait arbitrairement, on peut choisir tout plan passant par A comme plan normal de ce point. Le point A peut, par suite, se mouvoir dans toutes les directions ; il s'ensuit que :

Si trois points L, M, N du système sont forcés de rester sur des surfaces fixes, et siléQ est une position quelconque de 'L, un autre point du système pourra se déplacer à partir de sa position actuelle, dans une direction quelconque. Il faut en excepter les points appartenant au système réglé que déterminent ly nxy /i, normales des points L, M, N. Chacun d'eux reste sur une surface ; la normale à cette surface est la génératrice du système réglé qui passe par le point.

On dit, dans ce cas, que la liberté dont jouit le système est du troisième degré.

\h. Si g et h sont deux droites du second système de génératrices de l'hyperboloïde déterminé par /, m, n, et si p est une droite quelconque, non située sur cet hyperboloïde, qui rencontre g et A, /, m, n, p seront des rayons normaux pour un nombre infini de mouvements de 2. Les droites g et h seront des droites conjuguées pour tous ces mouvements.

Il s'ensuit donc que :

Deux droites g et h du second système de génératrices de V hyperboloïde déterminé par /, m, n sont des droites conjuguées pour un nombre infini de déplacements possibles que peut subir le système à partir de la position ^q. Dans tous ces mouvements, chaque point de 2 décrit des éléments de trajectoires qui sont chacun sur une surface fixe.

15. Si l'on ne se donne que deux rayons normaux, / et m, on dit que le système possède le quatrième degré de liberté. Dans chaque position 2o le système peut se déplacer suivant

MOUVEMENT d'iN SYSTÈME INVARIABLE. l65

un nombre triplement infini de manières. Tous les points des deux rayons normaux sont forcés de rester sur des surfaces fixes. Les rayons / et m déterminent un système de rayons dont ils sont les rayons directeurs. Deux droites g et h de ce système peuvent être considérées comme des droites conjuguées pour une infinité de mouvements.

Si l'on ne donne qu'un rayon /, le système possède le cinquième degré de liberté; à partir de chaque position 2o, il pourra se déplacer suivant un nombre quadruplement infini de manières; mais les points de / restent pendant tous ces mouvements sur une surface. Deux droites qui rencontrent / sont conjuguées dans une infinité de déplacements de 1.

Enfin, si le système est complètement libre, on dit que son degré de liberté est le sixième. Pour ce cas, nous arrivons à cette conclusion, que deux droites quelconques de l'espace peuvent être choisies comme droites conjuguées, et qu'alors il y a encore place pour une infinité de déplacements.

XL — Relations métriques.

1. Dans ce qui suit, nous considérerons encore deux positions du système choisies arbitrairement et le mouvement hélicoïdal qui leur correspond.

La position particulière qu'occupe l'axe de ce mouvement par rapport aux systèmes ^o et 2^1 donne naissance à une série de formules et de relations métriques qui relient entre eux les éléments correspondants des deux espaces. On va en développer quelques-unes ; elles se déduisent, pour la plupart, des propriétés géométriques du mouvement hélicoïdal.

Deux points correspondants Ao, Ai sont à égale distance de l'axe du déplacement ; les perpendiculaires abaissées de Ao et Al sur cette droite la rencontrent en des points correspondants Xo et Xi, et les plans qui passent par Ao et œ d'une part, par Ai et x de l'autre, sont des plans correspondants «0 et «1. L'angle que «o et ai font entre eux nous donne la quantité dont a tourné le système, tandis que la longueur XqXi est égale à la composante de translation du mouvement. On peut mettre ce dernier résultat de la manière suivante sous forme d'un théorème :

Les projections de toutes les cordes sur Vaxe du déplacement sont égales entre elles, et égales à la composante de glissement.

Soit kjn le milieu de la corde AqAi, le plan a^ mené par A'" rencontre l'axer au point X'", et A'"X'" est perpendiculaire sur x.

Nous désignerons par r la distance de A'" à ^, c'est-à-dire la longueur A'"X"'. L'angle de rotation sera 2^, et le glissement correspondant 2U.

Projetons maintenant {fig. 17) Ao et Aj sur le plan passant par A,„X,„ et perpendiculaire à X, et soient c^l^o et X^ les projections de ces points, on aura

yn

et

A (cAdoX'^Xi)— 2I2

Donc, le triangle A'"X, A| nous fournira les deux relations

(0 (iÂ^ÂT)' ^ r^ tang^i^ + U^

tang(AoAi, x) — rtangi^ : U.

2. Deux droites correspondantes ^0 et gx sont à égale distance de l'axe du déplacement et font des angles égaux avec lui. Les deux points de x qui sont les plus rapprochés de ^0 et g^ sont deux points correspondants Xo et Xi ; de même, les points de g^ et ^1 pour lesquels la distance à x est minimum sont des points correspondants Go et Gi de ces droites. La longueur XqXi donne encore la composante de glissement, pendant que l'angle des droites XoGo et XjGi détermine l'angle de rotation.

Soit g'"- la médiane pour g^ et ^j. Par un point 0 de x, nous mènerons trois droites 90, gi> 9"^ parallèles à g^, g^^ g"'. Comme ^0, gx, g^"' sont trois génératrices d'un paraboloïde, i1o> ^u g'^^ soJ^l dans un même plan, el comme g"^ fait des angles égaux avec g^ et g^ (I, 4), 9'" bissecte l'angle (fiojh)-