MOUVEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE
De plus, l'angle des deux plans [^^Ho]» [^^ih] ^st l'angle de rotation 2^2; nous avons donc
sin(|-9oin) = sinl2 sin(c,o^')j tang(çj'".r) — cos£2tang(j^o-'^)»
et, par suite,
(3) sin[|(^o^i)]= sin£"2 sinf^o-^)»
(4) tang(^'"^) ;= cosî2tang(^o'^)«
Ces équations montrent que les angles {gogi) et {g'"^) ne dépendent que de Q, et de l'angle (^o-^)- l's ont donc la même valeur pour toutes les droites de 1 qui sont parallèles entre elles.
3. La perpendiculaire commune k à g'"- et g" jouit de la propriété de couper l'axe x et d'être perpendiculaire sur cette droite (V, k). Elle rencontre g'"- au point G'" qui correspond à Go et Gi, et x au point X'".
Soit G^ son point d'intersection avec ^^, et désignons de plus la longueur G^'X'" par r, et G'^X"' par p.
Les points G'" et G^ peuvent être situés tout aussi bien du même côté, par rapport à X'", que de côtés différents. Aussi longtemps qu'il ne s'agira, comme ici, que d'un couple de droites conjuguées, il sera permis de regarder toujours r comme étant positif. Mais nous conviendrons que les directions positives de /• et de p sont opposées ; c'est-à-dire que p devra être considéré comme positif lorsque G'" et G^ sont de côtés différents par rapport à X'", et comme négatif quand ils seront du même côté. Dans ces conditions, la valeur de G'"G'' sera toujours égale à r -h p.
11 reste aussi à fixer le signe des angles que g'"" et g^ font avec X, Il nous est encore permis de considérer toujours l'angle de g"^ avec x comme étant positif. Si maintenant, par un point quelconque de x, nous menons des parallèles t)'" et i)^ à g"^ et g'^, l'angle de g^ avec x sera considéré comme positif, si X est entre g'" et 9^, et négatif si cela n'a pas lieu. Dans cette hypothèse, f\{g"' g^') sera toujours égal à la somme des angles que g"^ et g^ font avec^'.
l68 CHAPITRE III.
4. Comme A est un rayon du complexe linéaire, qui appartient au système focal formé par 2"^ et 2^', k est perpendiculaire sur la corde Go G'" du point G'". Si, par X'", nous menons des parallèles à ^^ et à la corde GoGj, ces droites seront dans un même plan avec œ, et il s'ensuit que les angles que la corde et g^ font avec œ sont complémentaires. Si nous appliquons maintenant l'équation (a) au point G"S il s'ensuivra, comme
tang(GoGi, x) = ctg(^^^) :
(5) r tang(^^^) = U : tangl2.
Mais g"^ et g^ sont des droites conjuguées du système focal ; c'est-à-dire que g'"- est l'intersection des plans normaux de tous les points de g^, si nous considérons g^ comme étant une droite A'" de 2'".
Par conséquent, on a aussi
ptang(^'"^) -=U:tang£^; il s'ensuit
(6) /• : p =r tang(^'"^) : tang(^''^-).
Les dernières équations peuvent être appliquées aux droites gQ et g^ elles-mêmes. Désignons, en effet, par r^, la distance de gQ à X, c'est-à-dire la longueur GqXo, on a
r = /•() cos 12.
Des équations (4) et (5), on déduit alors
(7) /•otang(,^^^) =:ptang(é'-o^) = U : siniî, c'est-à-dire
(8) ro:p = tang(^o^):tang(^^^).
De sorte que, finalement, les formules (6) et (8) nous donnent le résultat suivant
(9) To : /• : p = tang(^o-^) : tang(i>-'«^-) : tang(^^^).
MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 1 69
Il s'ensuit donc que :
Les distances à l'axe du déplacement d' une droite quelconque du système, de sa médiane et de la droite conjuguée, sont entre elles comme les tangentes trigonométriques des angles que ces droites font avec l'axe,
11 a été démontré plus haut (I, k) que les projections de toutes les cordes des points de la droite g sur g'^ ont une longueur constante. Pour en obtenir la valeur, il nous suffira donc de considérer la corde d'un quelconque des points de g ; nous choisirons la corde GqGi du point G"'.
Imaginons que nous ayons dessiné, pour la corde GoGi, la même figure que celle qui a été tracée pour la droite AqAj, et appelons maintenant CJo et (fi les points analogues à Xq, A>i. .La projection de la demi-corde G'^Gi est égale à la projection du contour G'" (/iGi. Mais, comme g"" est dans le planG"^Çj*tGi, la projection de G'"(Ji sur g'" a pour valeur
G,„gisin(^'«^),
et celle de ÇiGi est égale à
Çi,G,cos{g"^x).
Par conséquent, nous obtenons, pour la valeur de la projection de la demi-corde sur g"\ l'expression
(10) r tang^sin(^'"^) -h U cos(^'"^).
Ceci représente donc la valeur de la projection d'une corde quelconque de g sur g'".
5. Deux plans correspondants £o et £i font des angles égaux avec l'axe du mouvement hélicoïdal, et les points où ils rencontrent cet axe sont deux points correspondants Xo et Xj.
Les projections de x sur Eq et ci sont deux droites correspondantes/?o eipi des deux plans. La longueur XqXi donne encore la composante de glissement, pendant que les plans [xpq] et [•3:^pi] déterminent l'angle de rotation.
Imaginons une droite quelconque go, perpendiculaire sur £0, par exemple, celle qui passe par Xo, la droite correspon-
dante g^ de 2i sera aussi perpendiculaire sur £,, el passera parle point X^. Mais l'équation (3) est applicable à ^0 ^^gu et
Mgogi)— A(£o£i),
?>m{g(,x) =cos(£o^); il s'ensuit
(11) sin(-5-eo£i) = sini2cos(£o'3?).
L'angle de deux plans correspondants de 2o et 2^ est donc maximum lorsque les plans passent par l'axe du déplacement hélicoïdal.
6. Le point où le plan médian £^ rencontre x est le point X'". De plus, on voit facilement que la projection de œ sur s'" est la médiane/?'" de /?o et p^.
En effet, considérons d'abord les droites /« et l^ de £0 et e^ qui passent par Xo et Xi et sont perpendiculaires à l'axe du déplacement, la droite /'" qui passe par X'" est également perpendiculaire à œ. Mais les plans [^/o]> [-^A]» [^/'"] sont des plans correspondants de 2o, 2i, lé'"- ; de plus, le faisceau de plans de 2'" qui a x pour axe est congruent aux faisceaux de plans correspondants de 2o et de 2,, par conséquent les plans perpendiculaires à [^/o]> [<^A]) [«^^'"J? de ces trois faisceaux, sont aussi des plans correspondants. Mais, de là, il suit que /?o, />i, />'" sont des droites correspondantes, car ce sont les droites d'intersection de ces trois plans avec les plans correspondants £0, £1, e"\
L'équation (4) a lieu aussi pour p^ et/>"^; mais les angles que ces droites font avec l'axe mesurent en même temps l'inclinaison de l'axe sur £0 et £'", et nous avons alors
(12) tang(£'".27) := cos£2tang(£o.^).
L'angle que £"' fait avec x est donc toujours plus petit que l'angle que fait £0 avec cette droite. Il faut en excepter le cas où £ passe par œ ou lui est normal, car alors la même chose a lieu pour £"^
7. Nous faisons suivre ces considérations de la solution du problème qui consiste à construire l'axe du mouvement hé-
MOUVEMENT d'lN SYSTÈME INVARIABLE. [7I
licoïdal lorsque deux positions arbitraires 1^ et Ix du système sont données.
Soient alors Aq, Bq, Cq, Ai, Bj, Ci les positions correspondantes de trois points de 2, il doit être possible, au moyen de ces données, de construire l'axe du déplacement.
La construction au moyen de laquelle on y arrive, indiquée par Chasies, est la suivante :
Par un point quelconque 0 de l'espace, menons les droites OA', OB', OC égales et parallèles aux longueurs AoAi, BoBj, CoCj. Alors le plan A'B'C est perpendiculaire à l'axe du mouvement, car les projections de OA', OB', OC sur toute droite normale au plan A'B'C sont égales entre elles. Mais les plans ABC, AiB^Ci font des angles égaux avec l'axe et le coupent en deux points correspondants Xo, Xi ; si nous projetons alors les triangles ABC, AiBjCj sur le plan A'B'C, ils détermineront deux systèmes plans congruents, et le point double X' de ces systèmes coïncide avec la projection de Xo et de Xi, c'est-à-dire que ce point appartient à Taxe du déplacement.
Si le cas se présentait où les cordes AoAj, BoBi, CqCi sont parallèles au même plan, OA', OB', OC seraient dans un plan, et la construction indiquée ne serait plus applicable. Mais alors les plans normaux menés en A'", B"", C"' se coupent en un pointa l'infini, par conséquent le plan e"' = [A"'B'"C'''] est le plan normal d'un point à l'infini, et, par suite, parallèle à l'axe du déplacement. Donc les plans AqBoCo, AjBiCi sont aussi |)arallèles à cet axe, et leur intersection donne la direction de a:.
Nous arrivons à une seconde construction en nous servant des propriétés du système focal formé par !'"■ et 2^.
Posons en effet
{BC) = a, (CA)^b, (AB)=c.
Les plans normaux menés par B"^ et C" sur BoBj, CoCi se couperont sur la droite a^ conjuguée à a"^ ; et la droite k^ perpendiculaire commune à a'" et a' rencontre l'axe du déplacement et lui est perpendiculaire. La même chose a lieu pour les droites 6'«, è^ et leur perpendiculaire commune k^y ainsi que pour c"\ c^ et k^.
yjl CHAPITRE III.
L'axe X est donc perpendiculaire sur A-^, k,,, kc et peut être construit en déterminant une droite perpendiculaire sur deux de ces perpendiculaires communes. Cette construction a été également donnée par Chasles (^),
8. Transportons maintenant les résultats précédents au mouvement instantané d'un corps qui se déplace d'une manière quelconque dans l'espace ; les composantes de translation et de rotation deviendront infiniment petites, mais nous avons vu plus haut que le quotient U : ^ prend à chaque instant une valeur limite bien déterminée, qui est le paramètre du mouvement hélicoïdal instantané. Celui-ci sera, en général, fini et différent de zéro. Nous le désignerons par/?.
Les grandeurs /• et p se rapportent de nouveau au système focal formé par 2 et 1^ et représentent les distances de deux droites conjuguées ^ et ^^ à l'axe du déplacement.
Le plan z^ vient à la limite coïncider avec £, et la corde Ao Al devient la tangente à la trajectoire du point A.
Si nous la désignons par t^ l'équation {9.) nous donnera immédiatement
(i3 ) tang(^^') ^=. T'.p.
Elle détermine la tangente à la trajectoire de chaque point si l'on connaît l'axe et le paramètre du mouvement instantané.
L'équation montre que l'angle {tx) augmente avec la distance du point à l'axe.
De plus, les équations (5) et (6) donnent
(i4) rtang(^''^) = ptang(^^) ~p
et
(i5) r:p = tang(^^):tang(^^a:),
c'est-à-dire que :
Les distances de deux droites conjuguées à l'axe du mou-
(') Comptes rendus, t. LU, p. 487-
MOUVEiMENT d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 178
vement hélicoïdal instantané sont entre elles comme les tangentes trigonométriq ues des angles que ces droites font avec l'axe.
9. Si, en particulier, les droites conjuguées sont perpendiculaires l'une sur l'autre, si donc chacune d'elles est tangente à la trajectoire d'un point ou caractéristique d'un plan, on arrive encore à des relations plus simples. Nous désignerons, comme (VI) plus haut, deux droites conjuguées de cette espèce par d et e, et par ô et s les plans dont elles sont les caractéristiques. D et E seront les points à la trajectoire desquels ces droites seront tangentes. Enfin le point où DE rencontre l'axe du déplacement sera X. Maintenant on a
{diU^{d.r) tang(e^) = i ;
Fiî
par conséquent l'équation (i4) se transforme et devient
(16) DXcotg(<i^) = EXcotg(e^)=/),
c'est-à-dire que :
Pour chaque droite de ^ qui est tangente à la trajectoire d'un point, le produit de sa distance à l'axe instantané par la cotangente de l'angle qu'elle fait avec l'axe a une valeur constante. Celle-ci est égale au paramètre du mouvement hélicoïdal instantané.
174 CHAPITRi: III.
Le point D est le foyer de £ et E est le foyer de è ; de plus, d est perpendiculaire sur s et e sur à : par conséquent
cotg(<i^) =: tang(£.'r) et cotg(e^) = tang(5^),
et il vient
(17) DXtang(£.^) — EX tang(Oor;) r-/?,
c'est-à-dire que :
Si £ est un plan quelconque de 2, le produit de la distance à l'axe de son foyer par la tangente trigonométrique que le plan fait avec Vaxe est une quantité constante . égale au paramétre du mouvement hélicoïdal instantané.
Enfin, nous mentionnerons encore l'équation
