I. — Génération des congruences linéaires

50. Parmi les assemblages de droites que l'on désigne sous le nom de congruences (n*' 3), le plus simple que l'on ait à considérer est la congruence dont l'ordre et la classe sont tous deux égaux à l'unité. Une pareille congruence, que nous appellerons congruence linéaire, est par conséquent telle que, parmi les droites qui la composent, il n'y en a qu'une passant par un point quelconque et une seule également située dans un plan quelconque.

En partant de cette définition, nous allons démontrer très simplement que les droites d'une congruence linéaire rencontrent deux mêmes droites^ non situées dans un même plan (^).

51. Nous ferons usage d'une remarque qui s'applique utilement dans d'autres circonstances semblables, et qui consiste en ce que, si des surfaces algébriques d'un même degré, en nombre simplement infini, sont telles que, par tout point pris arbitrairement, il en passe une et une seule, ces surfaces forment un faisceau ponctuel (^).

En effet, ces surfaces sont définies par une même équation, renfermant un paramètre variable et la substitution, dans cette

(^) La démonstration exposée ici a déjà fait, de notre part, l'objet d'une Note insérée dans le Bulletin de la Société mathématique de France (t. XIX, p. 58-6i).

(^) Une remarque analogue s'applique à des courbes algébriques situées dans un même plan.

équation, des coordonnées d'un point arbitraire devant donner lieu à une valeur unique de ce paramètre : celui-ci doit entrer linéairement dans l'équation.

Nous allons maintenant démontrer deux théorèmes préliminaires sur les congruences linéaires.

52. Les droites d'une congruence linéaire, qui rencontrent une même droite fixe arbitraire, forment une surface du second degré.

Par la droite fixe D faisons passer un plan quelconque. Ce plan contient une droite de la congruence et une seule, qui fait partie de la section, par le plan, de la surface engendrée. Cette section est complétée par la droite D, qui est une ligne simple de la surface, puisque par chaque point de D il passe une droite et une seule de la congruence. La surface est donc coupée suivant deux droites par un plan quelconque passant par D : c'est, par conséquent, une surface du second degré.

53. Les diverses surfaces du second degré, engendrées par les droites d'une congruence linéaire qui s' appuient sur des droites d'un même plan ^concourant en un même point, contiennent un même quadrilatère gauche.

Considérons un faisceau de droites D, concourant en un même point p et contenues dans un même plan ny. Chaque droite D donne lieu à une surface du second degré g engendrée par les droites de la congruence qui la rencontrent. Par tout point «, pris arbitrairement, passe une des surfaces a et une seule. Par ce point, en effet, passe une droite L et une seule de la congruence, à laquelle correspond une des droites D, celle qui joint le point /? à la trace de L sur le plan G7, et à cette droite D correspond une des surfaces cj, la seule qui passe par le point a. Donc, en vertu d'une remarque faite plus haut (n° 51), les surfaces a forment un faisceau ponctuel.

D'autre part, toutes ces surfaces a ont en commun deux droites de la congruence : celle qui passe par le point p et celle qui est contenue dans le plan cj, puisque ces deux

droites rencontrent toutes les droites D. L'intersection commune des surfaces <j comprend ainsi deux droites, qui, appartenant à la congruence, ne peuvent être dans un même plan. Par suite, d'après une proposition bien connue, le complément de cette intersection est formé de deux autres droites A et A^, réelles ou imaginaires conjuguées, s'appuyant sur les deux premières, c'est-à-dire formant avec elles un quadrilatère gauche.

54. Il n'y a qu'un mot à ajouter, pour déduire de ce qui précède ce théorème capital :

Les droites d'une congruence linéaire s' appuient sur deux mêmes droites.

En effet, toutes les droites de la congruence, qui servent à engendrer les surfaces o- (n° 53), rencontrent les deux droites A et A', ces droites A et A' étant, sur chaque surface C7, des génératrices d'un système autre que celui des génératrices formées par les droites de la congruence. 11 est d'ailleurs facile de voir que toutes les droites de la congruence concourent à engendrer les surfaces o-. Considérons, en effet, une quelconque de ces droites L; elle est rencontrée par une droite D passant par le point/? et située dans le plan nr, et cette droite D sert à engendrer une surface <j qui contient L. Donc toute droite L de la congruence s'appuie sur les deux droites A et A'.

Nous donnerons aux droites A et A' le nom de directrices de la congruence linéaire. De la méthode même que nous avons suivie pour les trouver, il résulte qu'elles ne sont pas toujours réelles; elles peuvent être imaginaires conjuguées.

55. Étant données les deux directrices A et A' d'une congruence linéaire, rien n'est plus simple que de construire la droite de celte congruence qui passe par un point donné ou celle qui est contenue dans un plan donné. Le premier problème se résout, par exemple, en faisant passer deux plans respectivement par les droites A, A' et par le point : l'intersection de ces deux plans est la droite cherchée.

Pour résoudre le second problème, on prend les traces de

A et A' sur le plan donné. En joignant ces traces, on a la droite demandée.

Chacune de ces solutions est unique et bien déterminée, à moins que le point donné n'appartienne à une des directrices ou que le plan donné ne passe par une de ces droites. 11 est clair, en effet, que par tout point de l'une des directrices, de A par exemple, passent une infinité de droites de la congruence ; ce sont les droites issues de ce point et rencontrant A'.

De môme, tout plan qui contient A renferme une infinité de droites de la congruence : ce sont les droites qui sont situées dans le plan considéré et passent par le point de rencontre de ce plan avec A'. Les points de A et de A' sont donc des points singuliers et les plans passant par A ou A' des plans singuliers, relativement à la congruence linéaire.