II. — Intersection des complexes et congruences

linéaires.

56. 11 est facile de voir que les droites communes à deux complexes linéaires forment une congruence linéaire.

En effet, les droites de chacun des deux complexes linéaires, qui passent par un point quelconque, sont dans un plan contenant ce point. La droite d'intersection des deux plans est la seule droite commune aux deux complexes qui passe par le point. Donc la congruence formée des droites communes aux deux complexes est du premier ordre.

Pareillement, les droites de chacun des deux complexes, situées dans un plan quelconque, passent par un point de ce plan. La droite qui joint les deux points ainsi obtenus est la seule droite commune aux deux complexes qui soit contenue dans le plan. Donc la congruence considérée est de la première classe.

57. La proposition que nous venons d'établir peut s'énoncer sous cette forme : L'intersection de deux complexes linéaires est une congruence linéaire.

Ce n'est d'ailleurs qu'un cas particulier d'une proposition plus générale, qui se démontre de la même manière et qui

peut s'énoncer ainsi : L'intersection complète de deux complexes, dont les ordres respectifs sont m et n, est une con- ^ruence d'ordre mn et de classe mn.

58. Revenons aux deux complexes linéaires. Soient A et A' les directrices de la congruence linéaire formant leur intersection. Les droites qui joignent un point quelconque de l'une des directrices A aux divers points de l'autre A' appartiennent à la congruence linéaire et, par suite, à chacun des deux complexes. Les directrices A et A' forment donc un couple de droites conjuguées par rapport à chacun de ceux-ci. On peut donc dire que deux complexes linéaires quelconques ont en commun un couple de droites conjuguées, d'ailleurs réelles ou imaginaires conjuguées.

59. Relativement à l'intersection de trois complexes linéaires ou d'une congruence et d'un complexe linéaires, on a le théorème suivant :

Les droites communes à trois complexes linéaires, ou à un complexe et à une congruence linéaires, forment une surface gauche du second degré.

Le premier cas du théorème se ramène immédiatement au second, puisque les droites communes à deux des trois complexes linéaires appartiennent à une congruence linéaire (n®56). Or, les droites communes à un complexe et à une congruence linéaire sont les droites de ce complexe qui rencontrent les deux directrices de la congruence et ces droites forment une surface du second degré (n° 27).

La démonstration précédente semble en défaut lorsque les directrices de la congruence sont imaginaires; mais le principe de continuité permet d'étendre immédiatement le théorème à ce cas spécial.

60. Nous allons compléter ce qui concerne ces questions d'intersections, en démontrant deux autres propositions et d'abord celle-ci :

Quatre complexes linéaires ou deux complexes et une con-

CONGRUENCES I.INÉAIUES. 2.\g

gruence Linéaire, ou encore deux congruences linéaires, ont en commun deux droites, réelles ou imaginaires conjuguées.

Les deux premiers cas se ramènent immédiatement au troisième, en observant que les droites communes à deux complexes linéaires forment une congruence linéaire (n° 56).

Deux congruences linéaires ont d'ailleurs deux droites communes, parce qu'il existe, comme on le sait, deux droites réelles ou imaginaires conjuguées, qui rencontrent les quatre droites, formant par couples les directrices des deux congruences (' ).

61. Un complexe linéaire et un des systèmes de génératrices rectilignes d'une surface réglée du second degré ont en commun deux droites réelles ou imaginaires conjuguées.

En effet, soient A, B, C trois droites de la surface du second degré, ne faisant pas partie du système de génératrices rectilignes dont il est question dans l'énoncé précédent. L'ensemble des droites du complexe considéré, qui rencontrent la droite C, en rencontrent une autre D, conjuguée de C (n* 17). Les droites qu'il s'agit de déterminer, appartenant au système de génératrices rectilignes de la surface du second degré dont A, B et C ne font pas partie, doivent rencontrer A, B et C, et, appartenant au complexe, elles doivent s'appuyer sur D, puisqu'elles s'appuient sur C. Or il existe, comme on le sait, deux droites, réelles ou imaginaires conjuguées, qui remplissent ces conditions.

IIL — Faisceaux de complexes linéaires.

Conoïde de Pliicker.

62. Considérons quatre droites projectivement indépendantes H, K, L, M, c'est-à-dire telles qu'elles n'appartiennent pas à une môme surface du second degré et que deux quel-

(*) Nous appliquons encore ici le principe de continuité, dans l'hypothèse où les directrices de l'une au moins des congruences seraient imaginaires.

25o CHAPITRE II.

conques d'entre elles ne soient pas dans un même plan. Il existe alors un couple unique de droites A et A', réelles ou imaginaires conjuguées, qui rencontrent les quatre droites H, K, L, M. Si les droites A et A' sont réelles, on peut les prendre pour directrices d'une congruence linéaire, dont font partie les droites H, K. L, M. C'est, comme on le voit, la seule congruence linéaire qui contienne ces quatre droites. Donc, quatre droites, projectiv entent indépendantes, déterminent une congruence linéaire et n'en déterminent qu'une. Le raisonnement qui nous a conduit à ce théorème implique, il est vrai, la réalité des droites A et A'; mais le principe de continuité permet d'étendre immédiatement la conclusion au cas où A et A' sont imaginaires.

63. Les quatre droites H, K, L, M déterminent une infinité simple de complexes linéaires, admettant comme droites conjuguées les deux droites qui s'appuient sur H, K, L et M. On achève de déterminer l'un quelconque de ces complexes, en l'assujettissant à renfermer une cinquième droite prise arbitrairement (n°47). On voit ainsi que quatre droites projectiçement indépendantes déterminent une infinité simple de complexes linéaires, ayant en commun une congruence linéaire.

Les complexes linéaires qui contiennent ainsi quatre mêmes droites sont dits former un faisceau. Parmi eux, se trouvent deux complexes spéciaux, d'ailleurs réels ou imaginaires; chacun d'eux est formé de l'ensemble des droites qui s'appuient sur l'une des droites A et A'.

64. Cherchons le lieu des axes des complexes linéaires formant un faisceau, c'est-à-dire contenant une même congruence linéaire. Soit i2 la perpendiculaire commune aux deux directrices A et A' de la congruence, supposées réelles. Les droites A et A' étant conjuguées par rapport à chacun des complexes du faisceau (n''58),la perpendiculaire commune 12 à A et à A' rencontre à angle droit l'axe de ce complexe (n°21). Le lieu cherché est donc engendré par une droite s'appuyant constamment sur la droite 12, en restant parallèle à un plan co perpendiculaire à 12 : c'est un conoïde droit. On

lui a donné le nom de conoïde de PliXcker, qui le premier s'est occupé de celte surface (^).

65. Occupons-nous de définir plus complètement le mouvement de la droite qui engendre le conoïde. Considérons, à cet effet, l'axe U de l'un des complexes linéaires du faisceau. Les droites de la congruence linéaire qui rencontrent cet axe lui sont perpendiculaires (n° 17). Si donc on prend une droite G s'appuyant à la fois sur A et sur A', la perpendiculaire commune à 12 et à G sera l'axe U de l'un des complexes linéaires, c'est-à-dire une des génératrices du conoïde de Plûcker.

Il est d'ailleurs manifeste que cette construction, appliquée aux diverses droites G de la congruence, fournira la série complète des axes des complexes linéaires renfermant cette congruence. En effet, on achève de déterminer un de ces complexes en l'assujettissant à contenir une droite quelconque L, ne rencontrant ni A, ni A' (n° 47). Or la construction de l'axe U du complexe, contenant la droite L et admettant A et A' comme droites conjuguées, est un problème dont la solution a été donnée plus haut (n° 49) et que l'on ramène à construire une perpendiculaire commune à 12 et à une droite G s'appuyant sur A et A'.

66. Un même axe U rencontre une infinité de droites de la congruence toutes parallèles à un même plan perpendiculaire à U. Par conséquent, pour déterminer la série complète de ces axes et engendrer le conoïde de Pllicker, qui en est le lieu géométrique, il suffit d'appliquer 'la construction qui a été indiquée (n°65) aux seules droites de la congruence issues d'un même point, d'ailleurs quelconque, de A ou de A'.

67. Il est facile de voir que les droites A et A' sont des génératrices du conoïde. En effet, par un point quelconque a de A, on peut mener une droite A perpendiculaire à A et s'appuyant sur A'. La droite A, étant la perpendiculaire com-

(') Quelques auteurs l'appellent cy/inc/roïc/e.

mune à 12 et à A, appartient au conoïde. C'est d'ailleurs une droite simple de cette surface, puisque par a il ne passe qu'une droite perpendiculaire à A et rencontrant A'.

La même démonstration, appliquée à A', montre que cette droite est également une droite simple du conoïde.

68. Proposons-nous de déterminer le degré du conoïde de Plûcker. Pour cela, cherchons le nombre des points d'intersection de cette surface avec une droite G s'appuyant sur A et sur A'. Le point où la perpendiculaire commune à i2 et à G rencontre G est le seul point où cette droite coupe le conoïde, en dehors de ceux qui sont sur A et A'. D'ailleurs, puisque A et A' sont des droites simples de la surface (n*^ 67), les points où G s'appuie sur A et A' sont des points simples de l'intersection. Le conoïde de Plïicker, étant coupé en trois points par la droite G, est du troisième degré.

69. On voit aisément que la droite Q, est une ligne double du conoïde. En effet, ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer (n° 66), on construit complètement le conoïde de Plûcker, en menant des perpendiculaires communes à 12 et aux droites qui unissent un point fixe quelconque « de A aux différents points de A'. Les pieds des perpendiculaires à ces droites, menées par un point i quelconque de 12, engendrent une circonférence dans le plan aA', et ces perpendiculaires engendrent elles-mêmes un cône du second degré ayant i pour sommet. Les génératrices d'intersection de ce cône avec un plan perpendiculaire en i à il sont les génératrices du conoïde qui passent en /, et elles sont bien au nombre de deux, comme il s'agissait de le démontrer pour établir que la droite 12 est une ligne double (^).

(') On trouvera, dans le Cours de Géométrie descriptive de M. Mannheim (•2* édition, p. 4^5-439), avec une étude plus complète du conoïde de Plûcker, l'indication bibliographique des principaux travaux auxquels cette surface a donné lieu.

IV. — Construction d'un complexe linéaire contenant cinq droites données.