Nous allons résoudre le problème suivant

Etant données cinq droites, dont deux quelconques ne sont pas dans un même plan, et dont quatre quelconques n'appartiennent pas à une même surface du second degré ^ construire le complexe linéaire qui les contient.

Soient H, K, L, M et N les cinq droites. Imaginons que l'on construise les deux droites D et D' rencontrant quatre de ces droites : K, L, M el N par exemple. Le problème se trouve alors ramené à un autre que nous avons résolu plus haut (n° 47). Mais il peut arriver qu'aucune des cinq manières d'associer par quatre les cinq droites données ne fournisse un couple de droites conjuguées D et D' réelles. Voici une autre solution qui s'applique à tous les cas.

71. Cherchons les droites du complexe qui passent par un point/? quelconque. Les quatre droites H, K, L et M déterminent une congruence linéaire dont toutes les droites appartiennent au complexe. Pour avoir la droite de cette congruence qui passe par />, construisons deux droites A et A' s'appuyant à la fois sur H, K et L. Ces droites A et A' peuvent être considérées comme droites conjuguées par rapport à un complexe linéaire contenant la droite M et, par suite, la congruence. Une construction linéaire déjà indiquée donne le plan polaire m du point p relativement à ce complexe (n*^ 47). Construisons pareillement deux droites B et B', s'appuyant à la fois sur H, K et M, puis le plan polaire ^ de/? par rapport au complexe linéaire contenant L et admettant B et B' pour droites conjuguées. L'intersection px des plans ts et ^ est la droite appartenant à la congruence déterminée par H, K, L, M et passant par p. On obtiendra de même la droite/?/ de la congruence déterminée par H, K, L et N. Le plan des deux droites/?^ et/?/ est le plan polaire du point /?, relativement au complexe défini par les cinq droites H, K, L,

M et N. Par suite, toutes les droites de ce plan qui passent par/> font partie du complexe.

On déterminerait, d'une manière analogue, le pôle d'un plan par rapport à un complexe linéaire dont on connaît cinq droites.

De la construction qui vient d'être exposée, on conclut que : Étant données cinq droites y projectiv entent indépendantes, il existe un complexe linéaire contenant ces cinq droites, et il n'en existe qu'un.