Ao

2. Soient maintenant A et B deux points de a qui, pour deux positions successives et arbitraires de ce système, «tq et o-j, occupent dans a' des positions Ao, Bq et Ai, B^ Si Co est la première position d'un troisième point quelconque C de o-, sa position Ci sera déterminée par la condition que les triangles AoBqCo, AiBiCi soient égaux. Et il doit être possible de transformer par un simple déplacement le triangle A^BoCo dans le triangle A,BiCi. Un seul point Ci satisfait à cette condition. Et comme ce qui vient d'être dit s'applique à tout point de o-, il s'ensuit que:

La position d'un système plan invariable qui se déplace dans son plan est complètement déterminée par la position de deux de ses points.

Comme, dansle cours de cet Ouvrage, nous ne considérerons que des systèmes invariables, c'est-à-dire tels que la distance de deux points reste la même pendant tout le déplacement, nous omettrons à l'avenir de faire ressortir spécialement l'invariabilité du système.

Élevons en A'", milieu de AoAi, la perpendiculaire «' sui' €ette droite, et en B'", milieu de BqBi, la perpendiculaire b^^

Fig. ..

et désignons par 0 le point de rencontre des droites d' et b'^

On a

AoO=AiO,

BoO=:BiO, AoBo=::AiB,.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 3

Les triangles AoOBo, AiOBi sont donc égaux, et

A(AoOAO -/\(BoOB,).

On voit donc que, par une rotation autour de 0, le point Ao arrivera en Ai, en même temps que le point Bo viendra en Bi- Et comme la position de a est complètement déterminée par la position de ces deux points, on peut dire :

Le déplacement d'un système plan dans son plan peut être obtenu par une rotation du système autour d'un point fixe (^).

On appellera ce point centre ou pâle de rotation. C'est le point réel commun aux systèmes congruents <Jq et <j^.

Ao Al sera la corde de x\, et la perpendiculaire a^' élevée en son milieu sera le rayon normal du point A.

Puisque, pour passer de la position Gq à la position a,, le système g tourne autour de 0, chacun de ses points C décrit un arc de cercle dont le centre est en 0. c^ passe donc par 0, et il s'ensuit que :

Les rayons normaux de tous les points du système passent par le centre de rotation.

Il peut arriver comme cas particulier que les rayons normaux a"^ et 6^ soient parallèles.

Alors leur point de rencontre est à ^'»- ^•

l'infini {fig- 2).

Les cordes AoA,, BqBj sont donc également parallèles, et comme AoBo = AiBi, elles sont égales entre elles.

Si CoCi est la corde d'un autre point quelconque C de <7, l'égalité des triangles AoBqCo, AiBiCi montre que CoCi est aussi égale et parallèle à AqAi, et BoB,,

(*) Ce théorème a d'abord été énoncé par Chasles {Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac, t. XXIV, p. 32i; i83o). Le Mémoire complet ne fut publié qu'en 1878 sous le titre : Mémoire de Géométrie sur la construction des normales à plusieurs courbes mécaniques {Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI, p. 208).

c'est-à-dire que toutes les cordes des points de g sont égales et parallèles entre elles. II suffit donc d'une simple translation qui est donnée en grandeur et en direction par AqAi ou BqBi pour faire passer le système g de a^ en <7^. A moins d'une mention spéciale, ce cas sera toujours exclu par la suite.

3. Considérons maintenant deux positions g^ et g^ d'une droite g de g. L'intersection de ^o et gx est la position de deux points distincts A et B de g^ suivant qu'elle est considérée comme faisant partie de g^ ou de g^ : appelons-la Bo en tant que point de ^o; et Aj en tant que point de gi. Soient

Fig. 3.

Ao la position de A sur goy Bi celle de B sur gi. Comme AoBo=:AiBi, les points milieux A,„ et B,„ sont les positions d'un même point de g que nous désignerons par Gq et G, ; la ligne qui les joint sera g'"; elle fait des angles égaux avec ^'^o

et

ôi-

Les cordes de tous les points de g enveloppent une parabole qui a go,giyg"^ pour tangentes. Les tangentes à une parabole déterminent sur deux tangentes fixes des ponctuelles semblables; si donc C est un point choisi à volonté sur ^, sa

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 5

corde CoCi sera divisée en deux parties égales par g"\ c'està-dire que C'" est sur^'". Mais on a démontré que la perpendiculaire abaissée de 0 sur CoCi passe par C". Donc, toute corde peut être considérée comme l'un des côtés d'un angle droit dont l'autre côté passe par 0 et dont le sommet est toujours sur g"\ On a donc le théorème :

Les milieux des cordes de tous les points d' une droite g sont sur une droite g"'' qui fait des angles égaux avec g^ et g^. Les cordes elles-mêmes enveloppent une parabole dont le foyer est au centre de rotation, et dont la droite g"^ est la tangente au sommet.

On appellera cette droite g"^ la médiane de g.

Projetons la corde CoCi sur g"\ La projection de CoC, est égale à celle du contour CoBoCi- Comme ^o^t^i font des angles égaux avec ^'", les projections de CqBo et de C,Bi sont égales et de sens contraires. Donc la projection de toute corde est égale à celle de BoBj, ou égale à GoGi^ c'est-à-dire que :

Les projections des cordes de tous les points d^ une droite sur la médiane sont constantes, et égales à la corde qui coïncide avec la médiane.

4. Les théorèmes précédents font voir qu'à chaque point Ao correspond un point A'", et à chaque droite ^o ni^e droite g"\ Mais l'angle de ^0 et de. ^'" est égal à-J A(GoOGi), c'est-à-dire qu'il est égal à la moitié de l'angle dont il faut faire tourner opour passer de la position o-q à la position ti. L'angle d'une droite avec sa médiane est donc constant. D'où il suit que deux droites .^o etAo se coupent toujours sous le même angle que leurs médianes g"^ et /?'".

Le système o^o, et celui a^^^ formé par les milieux des cordes, sont des systèmes semblables qui ont en commun le centre de rotation, lequel se correspond à lui-même.

5. Les résultats précédents sont indépendants des positions respectives de a^ et g^. Si ces positions deviennent infiniment voisines, les théorèmes énoncés plus haut donnent naissance à des propositions applicables à chaque instant au mouvement

d'un système plan dans son plan. La corde Ao Ai devient la tangente à la trajectoire, et d* devient la normale. Donc :

Lorsqu'un système plan se déplace d'une manière quelconque dans son plan, les normales aux trajectoires de tous les points passent à chaque instant par le même point.

Le système exécute à l'instant considéré une rotation infiniment petite autour de ce point. On l'appelle centre ou pôle instantané de rotation (^).

Nous pouvons dire encore que :

Les tangentes aux trajectoires de tous les points d'une droite g de (j enveloppent à chaque instant une parabole qui a le centre instantané pour foyer, et la droite g pour tangente au sommet.

6. Nous allons rattacher aux études précédentes, dans lesquelles on ne s'est occupé que des trajectoires des points, la recherche des enveloppes des droites et des courbes du système.

Nous commencerons encore par supposer données des positions (To, (7i, 0-2 du système. Conjointement, nous considérerons les systèmes semblables o-q", a'[\ définis plus haut, o-^" sera le système formé par les milieux A^" des cordes AqAi, o-j" celui des milieux de A^Ag. Désignons par Ooi le centre de rotation de o-Q et (7i. Par la considération de ces systèmes, nous pourrons démontrer en toute rigueur les théorèmes qui se rapportent au mouvement continu.

La raison en est que les propriétés de crj,", g"^ sont indépendantes des positions relatives de do, CTi, o-j, et subsistent pour un déplacement infiniment petit de o". Comme à la limite u'^

(*) C'est Bernoulli qui découvrit l'existence du centre instantané de rotation pour le mouvement le plus général d'un système plan dans son plan: De centra spontaneo rotationis {Opéra, t. IV, p. 265; 1742).

Descartes avait déjà énoncé plus de cent ans auparavant ce théorème que : lorsqu'une courbe roule sur une autre, les normales aux trajectoires de tous les points passent par le point de contact instantané {Œuvres de Descartes, édition Cousin, t. VII, p. 88; i638).

MOUVEMENT d'lN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 7

se confond avec Gq, on pourra déduire des propriétés invariables des systèmes a'^ et ci'" des théorèmes applicables à a lui-même à chaque instant du mouvement.

7. Soit encore gQ une droite de «Jo et g'^ et g^ les droites correspondantes de crj^ et ai- Les points où g^ et ^^ sont coupées par gf (I, 3) sont des points correspondants Gq, Gi (voir Jig. 3), et la perpendiculaire abaissée de Ooi sur ^"* passe par GJ*. La similitude des systèmes co, (j"\ g y, nous montre que les perpendiculaires abaissées de Ooi sur^o et g^ coupent ces droites en Go et Gi, et que les trois perpendiculaires sont des droites homologues des trois s^^stèmes. Ceci a lieu quelle que soit la position relative de ^^o et gv Si le déplacement de odevient infiniment petit, le point GJ* se confondra avec le point de contact instantané de la droite g^ et de l'enveloppe, et la perpendiculaire abaissée du centre de rotation sur g"^ devient la normale à l'enveloppe. Mais cette perpendiculaire passe toujours par (jt"\ c'est-à-dire que Ja perpendiculaire abaissée du centre instantané de rotation sur une droite du système coupe celle-ci au point où elle touche son enveloppe à l'instant considéré.

Le même théorème a lieu pour l'enveloppe d'une courbe quelconque K de a. Soient {fig. 4) Ko et Ki ses positions dans

c7o et cTi, et soit KJ^ la courbe correspondante de g^q. Par le centre de rotation, menons une normale p"^ à KJS et soit g"^

la tangente à KJ' au point d'intersection Go'. Construisons les points et les droites correspondantes de o-q et o-j. Alors ^'o touchera la courbe Ko en Go, et^i la courbe Kj en Gi. D'ailleurs Go et Gi sont les points d'intersection de ^o* ^^^^ g^

Les droites /?o et/?, sont des normales à Kq et Kj en Go et (i, et sont donc perpendiculaires sur ^o 6t^i. Ceci a lieu quelle que soit la position relative des systèmes 0*0 et a^ et, par conséquent, pour un déplacement infiniment petit. Si nous passons à la limite, g"^ deviendra la tangente à l'enveloppe de K, et GJ* sera le point de contact. Donc la normale à l'enveloppe de K passe par le centre instantané de rotation.

Par suite, on a le théorème :

LorsquUin syslème plan se déplace ci' une manière quelconque dans son plan, les normales menées aux enveloppes des droites et des courbes du système aux points de contact açec l'ençeloppée passent par le centre instantané de rotation.

8. Considérons maintenant toutes les droites passant par un point quelconque A de a. Le point oii chacune de ces droites touche son enveloppe est à l'intersection de cette droite et de la perpendiculaire abaissée sur elle du centre instantané. Le lieu de ces points est un cercle, car il est engendré par deux faisceaux de rayons 0 et A tels que deux rayons correspondants soient perpendiculaires l'un sur l'autre.

Donc :

Les points ou les droites d'un faisceau touchent leur enveloppe sont à chaque instant sur un cercle qui a pour diamètre la droite qui Joint le centre instantané au centre du faisceau.

IL — Les courbes polaires et l'inversion du mouvement.

1 . Supposons que le système a effectue successivement des rotations 20)0, 2&)i, 203.2, . . . autour de points 0', Q', R' donnés arbitrairement dans le plan fixe. De la position initiale o-o, il passe successivementauxpositionsa,, ct.,, 0-3, ... . Déterminons

Fig. 5.

MOUVKMENT d'uN SYSTÈME TLAN DANS SON PLAN. 9

dans la position initiale {Jig. 5) le point Q de telle manière que QO'— Q'O' et que A (QO'Q') = 2Wo, puis menons par Q la droite QT telle que A (TQO') = A (R'Q'O'). Dans le système mobile plaçons encore le point R de telle manière que RQ = R'Q' et que A (RQÏ) soit égal à 2&),, etc. Désignons encore le point 0' par 0 en tant que point de œ. Nous aurons ainsi obtenu dans g un polygone bien déterminé, OQRS, dont les côtés sont respectivement égaux à ceux de O'Q'R'S'. Si maintenant g tourne autour de 0' de l'angle 2030, Q viendra coïncider avec Q'; la rotation suivante 2&), effectuée autour de Q' amène R et R' en coïncidence, etc.

Le mouvement a donc lieu de telle façon que le polygone OQRS roule pour ainsi dire sur O'Q'R'S'.

'1. Les tbéorèmes précédents sont indépendantsdu nombre des systèmes considérés, et de leurs positions relatives. Ils ont donc lieu encore lorsque les systèmes (To, (Jy, c7., ... se

rapprochent autant qu'on voudra de façon que g se déplace d'une manière continue dans son plan. Les deux polygones se transforment alors en courbes. Le polygone O'Q'R'S' devient la courbe €' du plan fixe dont les points seront, dans le courant du mouvement, les centres instantanés de rotation ; le polygone OQRS deviendra le lieu des points du système mobile, qui, pendant le déplacement, coïncideront avec les centres instantanés de rotation. Le mouvement lui-même a lieu de telle façon que la dernière courbe, que nous désignerons par C, roule sur la courbe €' du plan fixe.

11 faut toutefois supposer que les centres de rotation ne tombent pas à l'infini, c'est-à-dire que le mouvement ne consiste pas en une simple translation, auquel cas tous les points du système décrivent à chaque instant des éléments parallèles de trajectoires. On peut dire alors que :

lO CHAPITRE I.

Tout mouvement d'un système plan dans son plan, qui ne consiste pas en une simple translation, peut être engendré par le roulement d'une courbe du plan mobile sur une courbe du plan fixe (*).

Chacune de ces courbes a été définie comme le lieu géométrique des centres instantanés de rotation; on les appellera les courbes polaires. Le théorème qui vient d'être démontré fait voir que la nature du mouvement dépend uniquement du choix des courbes polaires. On peut se donner celles-ci arbitrairement. Inversement, il est évident que le mouvement de 0- est déterminé à chaque instant quand on connaît les deux courbes polaires. Les deux polygones considérés plus haut représentent aussi deux courbes qui définissent un certain genre de mouvement pour g. Nous conviendrons toutefois de ne considérer à l'avenir que des mouvements tels que le centre instantané se déplace à chaque moment. En dehors des mouvements de translation nous exclurons donc encore ceux pour lesquels le centre de rotation reste le même pendant un temps fini.

Nous le faisons parce que dans ces deux cas les problèmes que nous avons à traiter perdent leur intérêt, et que certains d'entre eux cessent même d'exister.

3. Nous avons admis jusqu'ici que le sj^stème a se déplace dans le plan fixe u'. Imaginons maintenant un observateur invariablement lié au système c; pour lui le plan g' se déplacera dans le plan g. Le mouvement de cr' dans g sera appelé le mouvement inverse ou indirect. Au contraire, le mouvement de a dans g' sera le moxwQmenX primaire on direct. Ces mouvements ont des relations intimes; nous aurons donc souvent à les étudier simultanément (2).

(') Ce théorème est dû à Cauchy (1827), Exercices de Mathématiques, t. II, p. 75. ( Voir aussi les Œuvres complètes de Cauchy, II* série, t. VII.) Deux ans plus tard, Chastes le retrouva à son tour. Voir le Mémoire cité plus haut, p. 236.

(^) L'idée de considérer en même temps que le mouvement primitif le mouvement inverse est due à Chastes.

Il est vrai qu'il ne s'agissait pour lui que de faire remarquer un certain dualisme dans le tracé {Aperçu historique, p. 4o9)- L'utilité théorique de ces considérations fut aperçue d'abord par Aronhold {Principes de la Geo-

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. I I

Quanl aux notations qui se rapportent au mouvement indirect, nous ferons les conventions suivantes :

De même qu'on a désigné par cto, Ci, 0-2 les positions de a dans a'y les positions correspondantes de a' dans a seront o-J,, o-'ijO-g. C'est-à-dire que, soit, à un instant quelconque, o-,„ la position de g dans cr', la position de a' par rapport à g sera désignée par (j'^. De plus, nous sommes convenus de désigner par A, B, C des points déterminés du plan o- sans tenir compte de leur position dans g', et nous avons désigné par Aq, Ai, A.2 les positions que A occupera successivement dans g' . D'une manière analogue, les points du plan g' seront désignés par C, D', . . . quand il ne s'agira de les définir que comme points déterminés de g'. Et Ci, C^, C^, . . . seront encore les positions successives de C dans cr, C'" sera le point milieu de CJ, C',, et c'^ sera le rayon normal correspondant.

Par suite de ces conventions, nous verrons dans Ao, Ai, A"S. "^ 00, ô '" des points et des droites déterminés du plan g', et dans C'o, Cj, C'"', cS h'^, h'"' des points et des droites déterminés de G.

Si le mouvement est continu, tout point A de a décrira une courbe a' située sur g'. Dans le mouvement indirect de g' sur G la courbe a' passera toujours par le point fixe A. De même, si une courbe b de o- jouit de la propriété de passer toujours par un point fixe B' pendant la durée du mouvement, le point B' décrira sur g la courbe b lors du déplacement indirect. Ceci peut être utilisé pour obtenir un double tracé mécanique des courbes. Imaginons en effet un style fixé en A. Il tracera la courbe a', même lorsque, A restant fixe, nous déplaçons g' par rapport à g.

k. On vient de démontrer que le mouvement de g dans g' est obtenu par le roulement sans glissement d'une courbe C appartenant à g sur une courbe €' appartenant à g' . Mais, comme le caractère géométrique du mouvement est indépendant de notre position soit dans g' y soit dans o-, il est évident que le mouvement de g' dans g consiste en un roulement de

niétrie cinématique ^ in Verhandluiigen zur Beforderung des Gewerbefleisses, LI Jahrgang, p. 129).

la courbe <!!' sur C. Nous voyons donc que les deux courbes ont absolument la même signification géométrique et qu'il est légitime de leur donner la même appellation comme on l'a fait plus haut. On peut présenter des considérations analogues lorsque l'on envisage spécialement quelques-unes des positions du système a dans ct', cto, Ci ou o-,. Les positions correspondantes de a' dans o- devront, d'après ce qui a été dit plus haut, être désignées par o-q, g\^ a'.^. Pour amener le système cTo à coïncider successivement avec o-j, 0-2, nous avons fail (11, 1) rouler le polygone OQRS sur O'Q'R'S', de telle façon que (7 tourne successivement de 20)0, acoi, 2002, autour de 0',Q',1V,S', pendant que, par suite de ces rotations, Q, R, S viennent en coïncidence avec Q', R', S'. Nous allons encore utiliser ce principe, qu'il est indifférent pour la nature du mouvement que nous nous trouvions dans a ou dans g' . Le mouvement que g' effectue dans g doit donc consister dans un roulement du polygone O'Q^R'S' sur OQRS, c'est-à-dire que a' effectue successivement des rotations dont la grandeur est également 2 wo, 2 Wi, 2 wg, et ces rotations se font autour de 0, Q, R, . . ., pendant que Q', R', S', . . . viennent successivement en coïncidence avec Q, R, S.

5. Pendant le mouvement relatif des deux systèmes, chaque point A de g décrit une trajectoire située dans g\ de même chaque point B de a' parcourt une trajectoire située dans g. Les normales à ces trajectoires ont à chaque instant certaines relations entie elles; ce sont ces relations que nous allons étudier.

Pour les établir rigoureusement, nous partirons encore de positions arbitrairement données du système. Soient o-o,<Ti ces positions, Aq, A, les positions du point A de 3- et soit a^ le rayon normal correspondant. Soit de plus BJ, un point quelconque de c-'o situé sura^; il sera équidistanl de Aq et Aj. Mais cela doit être, soit que nous nous trouvions dans le plan o-', soit dans le plan g\ par conséquent BJ, et B, sont équidistants de Ao, c'est-à-dire que le rayon normal appartenant à B'o et R', passe par Aq.

Nous avons donc le théorème :

Si le rayon normal cC' d'un point A de g passe par un point

MOUVEMEiM d'l> SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. l3

H' de (j' , dans le mouvement indirect, le rayon normal b^ de ^' passera par k (^).

Et dans le cas d'un mouvement continu :

Si, à un moment déterminé, la normale à la trajectoire d'un point A de a passe par le point B' de a' , la normale à la trajectoire de B' dans le mouvement indirect passera par A.

Les paragraphes suivants vont nous faire connaître de nouvelles relations importantes qui ont lieu entre les deux mouvements (-).

III. — La correspondance quadratique et les cercles des inflexions.

1. Soient maintenant o-q, cti, 0-2 des positions arbitrairement choisies du s^^stème plan c-. Nous désignerons le centre de rotation de tjQ et o"! par Ooi, en tant que point de cti et par Oyj, en tant que point de c-, . De même le centre de o-j et g^ sera désigné par O12 ou Oj,.

Ai" sera le point milieu de AoAi, et A"' celui de Ai A,. Enfin (7'o et a\ sont les rayons normaux correspondants. Ces deux rayons normaux se coupent en un point A' de o-' qui est le centre du cercle passant par Aq, Ai, A2.

Si go est une droite quelconque de c7o, les rayons normaux a\ de ses points Aq forment un faisceau de rayons perspectif à la médiane gl'-, son centre étant 0'^^. De même, les rayons normaux a\ forment un faisceau de rayons dont le centre est O12, et qui est perspectif à la médiane g'[\ Les ponctuelles gl^ et g"^ sont semblables, étant semblables toutes deux à la ponctuelle ^'^i. Donc les deux faisceaux de rayons normaux sont |)rojectifs; ils engendrent une section conique située dans o-',

(') Comme, d'après la définition B' et a'^ sont des éléments bien déterminés de j', et que A et 6'' sont des éléments déterminés de u, la propriété (jue possède a^ de passer par B', et celle de b'' de passer par A, sont indépendantes de la position réciproque des systèmes; elles subsistent pour toutes les positions. C'est pourquoi on a supprimé les indices dans l'énoncé du théorème.

(*) Les propriétés du mouvement indirect ont été étudiées parM, Schœnflies {Comptes rendus, t. CI, p. i5o).

l4 CHAPITRE I.

et qui passe par les points fixes O'o, et 0\^. Le même raisonnement peut s'appliquer aux faisceaux de rayons normaux ayant Ooi et 02opour centres, et la conique qu'ils engendrent passe par Oéi et 0'^^. Mais ces deux coniques ainsi engendrées n'en font qu'une, puisque, dans les deux cas, ce n'est autre chose que le lieu des points de rencontre A^ des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle A0A1A2. Donc, la conique, lieu des points A', passe par les trois points fixes Ooj, O12 et O'^q. On remarquera, en outre, que, pour obtenir A', on peut se servir. aussi, à la place du rayon normal a{ de la perpendiculaire élevée sur le milieu de AoAo et qui passe par Ogo-

De même qu'on peut faire correspondre de cette manière à chaque point A de c un point déterminé A' de o-', l'inverse aura lieu aussi. On le démontre de la manière la plus commode en se servant de l'inversion du mouvement. De l'avantdernier théorème du paragraphe précédent, il résulte en effet, que Ao est le point d'intersection des rayons normaux a''^ et a'I appartenant à A' dans le mouvement indirect. On le reconnaît d'ailleurs directement en considérant que si A'^ est également distant de Ao, Ai, A,, inversement AJ,, A\, Aj sont à égale distance de Ao- La signification géométrique des points A et A' est donc tout à fait réciproque.

On en déduit immédiatement qu'aux points d'une droite h' de g' correspondent aussi dans a les points d'une section conique qui est engendrée par l'intersection des faisceaux de rayons normaux appartenant à h' dans le mouvement indirect. Cette courbe passe toujours par les points Ooi, O,,, O02, qui sont les centres de rotation du mouvement indirect.

Deux systèmes que l'on adjoint de cette façon l'un à l'autre sont dits être en correspondance quadratique, et les points O125 O20, Ooi, ou Oi2» O'goj O'oi sont les points principaux.

Nous sommes donc arrivé au résultat suivant :

Siy à chaque point A de G y nous faisons correspondre le point A' de g', oà se coupent les rayons normaux al et a\, le point A est en même temps le point de rencontre des deux rayons normaux a^' et a\ pour le mouvement inverse. Les deux systèmes ainsi obtenus sont en correspondance quadratique. Les

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. l5

points principaux de g' sont les trois centres de rotation directe; les points principaux de cr sont les trois centres de rotation indirecte.

2. La position de ces centres de rotation est déterminée par une loi simple à laquelle on parvient de la façon suivante :

Nous admettons, ce qui est toujours permis, que les points O'oi et Fig. 6. 0'i2> ainsi que les angles de rota- ^^» tion correspondants 2 cooi, 2^12? sont .^ / donnés arbitrairement, et que les {)^,^^ L systèmes plans occupent d'abord y,\>^/ /'\o;J les positions relatives (7o et (Tq. Dans "' \^^^'>C. y\ cette hypothèse (y?^. 6), OoietO'oi '\ /' /4%^ coïncident, et les points O12 et 0\^ "" ^^'^ sont situésde tellefaçon quel'on ait

Oo,o,2 = o;,o;, et a (o,,o;iO;,) =1-20)0,.

Le point O20 est le centre de rotation commun à g., et q-q ; on le détermine donc de telle façon que l'on ait en grandeur et en direction

A(Oi20oi02o) = Woi et /(OaoOiaOoi) = ÛC12.

Dans ces conditions le point O20 reviendra, en effet, à sa position primitive quand o- aura tourné d'abord autour de O'o,, puis autour de O'^g. C'est donc le point commun à o-q et <72, qui se correspond à lui-même, c'est-à-dire le centre de rotation pour ces deux positions du système.

On déterminera de la môme façon le centre de rotation O^,, du mouvement indirect. Mais les angles de rotation conservent la même grandeur 20001 et 20)12 (II, 4); O20 se trouvera encore sur la bissectrice de l'angle A (O12O01 O12), et l'angle A (O20O12O01) == 0)12, c'est-à-dire que O20 coïncide avec O^o-

Donc: Le triangle formé par les centres de rotation directe et celui formé par les centres du mouvement indirect sont des figures symétriques.

3. Comme, à chaque droite de l'un des systèmes qui ne passe pas par un des points principaux correspond dans l'autre système une section conique qui passe toujours par les points

l6 CHAPITRE I.

principaux, cela aura lieu aussi pour la droite de l'infini de chacun des deux systèmes. Mais chaque point A' de a' est le point de rencontre des rayons normaux a^ et a\ du point A; les points A de o- qui correspondent à la droite de l'infini de a' sont donc tels que pour eux al et a{ sont parallèles, et, par suite, Ao, Al et A2 sont en ligne droite. Il y a donc une infinité de points A du système g pour lesquels Ao, Ai, A2 sont en ligne droite, et leur ensemble constitue une conique qui passe par les points principaux.

Les choses se passent d'une manière analogue pour o-'.

A la droite de l'infini de g correspond une conique passant par les points principaux de g' et chacun des points B' de cette conique est tel que, pour lui, b^ et b\ sont parallèles, autremenl, que B'o, B'i, B2 sont en ligne droite.

4. La corde A0A1A2, qui contient les trois positions consécutives du point A, est une droite du système a'. Désignons-la par a'-, dans le mouvement indirect a' jouira de cette propriété que «'„, rt'i, «2 se coupent toutes les trois en A. Cela est vrai pour les cordes de tous les points A que nous avons considérés. Inversement, si a' est une droite du système u', qui, pour les trois positions du système, passe par un même point de or, ce sera une de ces cordes. De même, les cordes des points analogues B' de g' sont les droites du système a qui jouissent de la même propriété.

On peut facilement déterminer ces droites dans chacun des deux systèmes. Faisons-le pour a' . Soit donc SJ, le centre d'un faisceau quelconque de rayons de o-^, et S'^ le centre du faisceau homologue de (j\ ; les points d'intersection des rayons correspondants sont sur un cercle qui passe par SJ, et SJ. Sur ce cercle se trouve aussi le centre de rotation OJ,!, car, si /J, est le rayon du faisceau SJ,, qui passe par O^i, l\ passera aussi par O'oi. De même, les deux faisceaux correspondants de u\ et 0-2 dont les centres sont S'^ et Sj engendrent un cercle qui passe par S',, S'^ et 0\^.

Les deux cercles passent par Sj. Ils ont donc, en général, encore unpointcommun difTérent de S'i,et ce point est le point d'intersection de trois rayons correspondants «„, a\y a\ des faisceaux de rayons, c'est-à-dire que, par chaque point S'deo-',

MOUVEMENT d\n SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. IJ

il passe, en général, une droite a' telle que les trois positions «0» ^1' ^2 S6 coupent en un même point A de a. Ces droites forment donc un faisceau du premier ordre. La même chose a lieu pour a, et il suit de là que :

Toutes les droites de chaque système, qui pour trois positions arbitrairement choisies du système passent par un même point, forment un faisceau du premier ordre.

5. Soit R' le centre du faisceau de o-'. Par définition, chacune des droites qui composent le faisceau est une corde AoA, A2 d'un point A. Elle contient donc aussi A'J' et A"'. Si de O'oi nous abaissons une perpendiculaire sur AqA,, elle passera par A'". L'ensemble des points A^" forme donc un cercle qui résulte de l'intersection de rayons perpendiculaires entre eux. Les centres des deux faisceaux sont O^ 1 et R'; donc O'^ j R' est le diamètre du cercle que nous désignerons par ^v'l\^. Mais a et g'^ étant des systèmes semblables, les points A de a sont également sur un cercle qui passe par les points principaux. On l'appellera le cercle des inflexions du mouvement direct, «'012-

Les résultats correspondants s'appliquent aux points B' de (t'. Ils forment le cercle des inflexions du mouvement indirect , qui sera désigné par ^^'012' Les deux triangles formés par les points principaux sont des figures symétriques; donc les deux cercles ont môme diamètre, et l'on a le théorème :

Etant donnés trois couples de positions relatives quelconques des deux systèmes plans, il existe dans chaque système une infinité de points qui jouissent de cette propriété que, pour chacun deux, les trois positions consécutives appartiennent à une même droite. Ces points forment., dans chacun des systèmes, le cercle circonscrit aux points principaux. Les deux cercles ont même rayon.

6. Si les trois systèmes plans o-i, «To, 0-3 n'étaient pas égaux entre eux, comme ici, mais simplement en collinéation, tous les points de chaque système, pour lesquels les trois positions correspondantes Ao,Ai,A2 appartiennent à la même droite seraient sur une même courbe du troisième ordre. Cette courbe se décompose pour les systèmes égaux dont nous nous occu-

l8 CHAPITRE I.

pons et nous donne le cercle des inflexions et la droite de l'infini. Car, tout point de cette droite restant à l'infini pendant le déplacement, il est évident que cette droite fait partie de la courbe.

De môme, il existe pour trois systèmes collinéaires o-q, Ci, aa, une courbe de troisième classe, formée par les droites a pour lesquelles les trois positions a^, «i, a^ se coupent en un point. Pour des systèmes égaux, cette courbe se décompose en trois faisceaux de rayons, mais desquels l'un seulement est réel.

Nous déterminerons les deux autres faisceaux par les considérations suivantes: On sait que deux systèmes collinéaires superposés ont en général trois points unis et trois droites unies. Pour des systèmes égaux un point et une droite seuls sont réels, le pôle de rotation et la droite de l'infini. Imaginons le faisceau de rayons appartenant à cto, dont le centre est en 0; le faisceau correspondant de ci aura son centre également en 0. Les deux faisceaux étant égaux, ils ont deux rayons unis, et ce sont les droites isotropes. Chacun des points cycliques est donc un point des deux systèmes qui se correspond à lui-même.

Ce qui vient d'être dit est vrai pour des positions arbitraires du système, par conséquent pour un déplacement continu. Ainsi, pendant que le centre réel de rotation varie continuellement, les points unis imaginaires restent invariablement les mêmes pour toutes les positions du système. Donc :

Dans le mouvement d'un système plan dans son plan^ deux points, à savoir les points cf cliques, restent immobiles.

D'ailleurs ce théorème résulte de ce fait que tous les cercles du plan passent parles points c^xliques; ceci a donc lieu aussi pour les différentes positions Ko, Ki, Kg, . . . du même cercle K de cr.

Maintenant il s'ensuit aussi que tout rayon passant par un de ces points appartient à la catégorie de ceux qui passent par le même point pour trois positions consécutives du système. Par conséquent, la courbe de la troisième classe, dont il a été fait mention plus haut, se décompose en trois faisceaux.