Toutes les cordes A© Ai A^ passent par un même point du

MOUVEMEMT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN.

Fig.

cercle, comme on vient de le démontrer. Ce point esta l'autie extrémité du diamètre qui passe par Ooi {fig' 7). Considéré comme point de o-J", on le désignera par JJ'. A ce point correspond dans o- un point J du cercle des inllexions«'oi2> qui est celui dont la corde Jo Ji est bissectée par J'". Comme Jo'Ooi est un diamètre du cercle w^o'is» JqJi en * / est une tangente.

Le point JJ^ est également situé sur le cercle des inllexions<T^oi2?car Jo'estsurJoJi le pied de la perpendiculaire abaissée de Ooi sur cette droite. Mais J„Ooi est un diamètre du cercle «'012, donc il

faut que V'^ soit un point de ce cercle. Nous l'appellerons le centre des inflexions.

Donc : les cordes de tous les points du cercle des inflexions passent par un point de ce cercle qui est le centre des inflexions.

Le point analogue existe pour le mouvement inverse sur le cercle des inflexions ^v'^^^ de g'. C'est le point d'intersection des cordes de tous les points de w'^ 1 , ; on l'appellera le centre des inflexions du mouvement inverse. En nous servant de ces dénominations, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si l'on se donne trois positions des deux systèmes plans, le centre des ifflexions du mouvement inverse est le centre du faisceau formé par les droites a de rj pour lesquelles les trois positions «0, «j, a.^ sont concourantes. L' ensemble des points de concours forme le cercle des inflexions du mouvement inverse. Le centre des inflexions et le cercle des inflexions du mouvement direct ont même signification relativement à g' .

Les droites des deux faisceaux seront appelées droites de rebroussement.

8. Considérons en dehors des trois positions o-q, o-j, g-i une quatrième position 0-3; aux systèmes g^, co, 0-3 correspondra

également un cercle des inflexions qui passera par O23J O31, 0,2« Les deux cercles mpoi2 et ^^^123 ont donc en commun le point O12 et, en général, se couperont encore en un point A différent de celui-ci. Ce point est caractérisé par le fait que Aq, Al, A2, A3 sont en ligne droite, tandis que ceci n'a pas lieu, en général, pour le point O12. Le même raisonnement s'applique, pour a', au point B', autre que O'i,, en lequel se coupent les cercles «^012 ^^ ^^'123*

Donc : étant données quatre positions cxq, CTi, c,, (73 du système plan (7, il existe un point bien déterminé k. de ce système tel que Ao, Ai, A2, A3 sont en ligne droite. C'est le point d'intersection différent de 0^2 des cercles des inflexions (^^'012 et wp',23. Le point analogue existe dans a' pour le mouvement inverse.

La corde A0A1A2A3 en tant que droite a' de a' jouit de cette propriété que les quatre positions «„, a\, a'^^ a'.^ passent toutes par le point A. C'est la ligne de jonction des deux centres des inflexions du mouvement direct. De même, la ligne qui joint les centres des inflexions du mouvement indirect est celle qui, dans le mouvement direct, passe par le même point pour quatre positions consécutives de a.

En conséquence : Si quatre positions ao, cti, 0*2, (73 du système G sont données arbitrairement, il existe dans ce système une certaine droite qui, pour les quatre positions données, passe par le même point. Dans a' il existe une droite qui jouit de la même propriété relativement au mouvement inverse.

9. Concevons maintenant que les positions o-q, o-], g-i se rapprochent indéfiniment, nous obtiendrons des théorèmes que l'on peut appliquer à chaque instant au mouvement d'un système plan. Les points A' deviennent alors les centres de courbure des trajectoires décrites par les points A, et de même A deviendra le centre de courbure de la trajectoire décrite par A' dans le mouvement inverse. Chaque point du cercle des inflexions passe par un point d'inflexion de sa trajectoire. Les points principaux dans chacun des deux systèmes se rapprochent indéfiniment et, à la limite, ils coïncident avec le centre instantané de rotation. Enfin les droites O01O12 et OoiO', 2 se confondent avec la tangente commune aux courbes polaires.

MOUVEMEM d'un SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 2 1

Nous pourrons donc énoncer le théorème suivant :

Si un système plan se déplace dans un plan o"', et que A' soit un centre de courbure de la trajectoire décrite par K^ le point A sera le centre de courbure de la trajectoire décrite par k' dans le mouvement indirect. Si nous faisons correspondre ces points A et A', les systèmes a et o"' ainsi obtenus sont en correspondance quadratique. Les points principaux et les lignes principales des deux systèmes coïncident tous, les points principaux avec le centre instantané de rotation et les lignes principales avec la tangente commune aux courbes polaires.

Le lieu de tous les points des systèmes g ou g qui passent par des points d'inflexion de leurs trajectoires est, à chaque instantdumouvement, un cercle qui touche la tangente commune des courbes polaires au centre instantané de rotation. Les deux cercles ont même rayon et sont situés de part et d'autre de la tangente (^).

Nous désignerons ces deux cercles par (v et ^v' .

10. Le centre des inilexions if coïncide à la limite avec J; c'est le point autre que 0 où la normale à la courbe polaire coupe le cercle des inflexions w. Le point d'intersection de cette normale et de w' est le centre instantané des inflexions pour le mouvement inverse. Chaque droite passant par ce point, considérée comme droite de c, jouira en général de cette propriété que son enveloppe présente un point derebroussement au point de contact momentané. La même chose a lieu dans le mouvement indirect pour les droites de a' passant par J. Donc :

Les tangentes aux points d'inflexion passent à chaque instant par un même point qui est le centre instantané des inflexions. Il y a, à chaque instant, dans le système plan œ une infinité de droites qui touchent leur enveloppe en des points de

(') Le cercle des inflexions fut découvert par de la Hire. Voyez Traité des roulettes {Mém. de l'Acad.roy.deParis,p- 348; 1706). Bresse le définit comme le lieu des points pour lesquels l'accélération norniale est momentanément nulle {Journal de l'École Polytechnique, Cahier XXXV, p. 89).

rebroussement de cette courbe. Ces droites forment un faisceau de rayons dont le centre est le centre des inflexions du mouvement indirect. Le lieu des points de rebroussement est le cercle des inflexions de g' {^).

11. Le point A, qui est tel que Ao, A^jAa, A3 appartiennent à la même droite, se transforme pour deux systèmes infiniment rapprochés en un point qui passe par un point d'ondulation de sa trajectoire. C'est l'un des deux points où deux cercles des inflexions consécutifs se coupent. L'autre point d'intersection est le centre instantané de rotation. Mais celuici passe précisément par un point de rebroussement de sa trajectoire.

Donc :

L'enveloppe des cercles des inflexions se compose de deux parties dont la signification géométrique est bien différente. L'une d'elles est la courbe polaire du système; ses points jouissent de la propriété de décrire des trajectoires à points de rebroussement {première espèce'), la seconde est le lieu des points du système dont les trajectoires passent par des points d'ondulation (^).

De même, une droite du faisceau formé par les droites de rebroussement jouira, en général, de la propriété de passer par un même point pour quatre positions du système infiniment rapprochées. Car, si nous supposons tracée dans o- la courbe dont les points viennent, au cours du mouvement, coïncider avec les centres des inflexions de a', la tangente à cette courbe, considérée comme droite de a, passe par un même point pour quatre positions consécutives.

Les théorèmes analogues ont lieu pour le mouvement inverse.

(') Aronhold reconnut d'abord la liaison qui existe entre les cercles des inflexions et les points de rebroussement des enveloppes {Principes, etc.).

(*) Bail a attiré l'attention sur les points d'ondulation : Notes on applied méchantes {Proceedings of the Royal Irish Acad., 2" série, t. I, p. 243; 1871).

Everett montra que l'enveloppe des cercles des inflexions se décompose en deux courbes de significations difl'ércntes ; Kinematics of a rigid body ( Quarterly journal, t. XIII, p. 61).

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 23

12. La correspondance quadratique des systèmes o- et a' est la source d'un grand nombre de théorèmes sur les points du système et les centres de courbure de leurs trajectoires. On les obtient facilement en se servant des propriétés connues de la correspondance quadratique. Nous ne mentionnerons ici que le cas le plus simple, et nous considérerons une droite de l'un des deux systèmes, de laquelle nous supposerons qu'elle ne passe pas par le centre instantané de rotation. Dans ce cas, la courbe correspondante, sur laquelle se trouvent les centres de courbure, est une section conique. Pour étudier sa position par rapport au point principal et à la ligne principale, c'est-à-dire par rapport au centre instantané de rotation et à la tangente à la courbe polaire, nous reviendrons encore au cas où l'on considère deux positions quelconques du système. Nous avons vu que toutes les coniques de l'un des systèmes qui correspondent aux droites de l'autre système passent par les trois points principaux, et que, parmi elles, se trouve le cercle circonscrit au triangle des points principaux. Si les positions du système se rapprochent indéfiniment, le cercle des inflexions conserve toujours la propriété d'avoir en commun avec chacune de ces coniques les trois points principaux; dans la position limite, le cercle des inflexions deviendra le cercle oscuiateurà chacune des coniques au centre instantané de rotation.

On reconnaît facilement quel est le genre d'une pareille conique. Si, par exemple, g est une droite de o-, la conique correspondante de (j' sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que ^ a o, i ou 2 points communs avec le cercle des inflexions w de u. La même chose se produit pour les droites de o-' et les coniques de o- qui leur correspondent.

Par conséquent :

Pour toutes les droites d'un des systèmes qui ne passent pas par le centre instantané de rotation, les centres de courbure des trajectoires sont sur une section conique qui passe par le centre de rotation et quia pour cercle osculateur en ce point le cercle des inflexions de Vautre système. La conique est une ellipse , une parabole , ou une hyperbole, suivant que la droite coupe le cercle des inflexions de son système en o, ï ou 2 points.

Les sections coniques sont donc, dans chacun des systèmes, osculatrices entre elles au centre instantané de rotation. Leur ensemble forme donc à chaque fois un réseau de coniques. Les coniques situées dans a' sont projectives à toutes les droites de o-, et de même les coniques du réseau situées dans G sont projectives aux droites de a' . Pour des positions spéciales de la droite, la conique qui lui correspond peut dégénérer. En effet, si la droite du système passe par le point principal, c'est-à-dire par le centre instantané de rotation, la conique se décompose; nous obtenons à sa place la droite principale, c'est-à-dire la tangente à la courbe polaire et une autre droite. Si nous regardons enfin la tangente à la courbe polaire comme une droite de o-, il ne lui correspond dans ct' que le point principal, c'est-à-dire que le centre instantané de rotation. Donc le centre de courbure pour chaque point de la tangente à la courbe polaire est le centre instantané de rotation, et ceci a lieu pour le mouvement direct aussi bien que pour le mouvement indirect.

13. Le cercle des inflexions de chaque système est, par définition, le lieu des points du système qui passent par un point d'inflexion de leur trajectoire. Nous le retrouverons plus tard (VI) en nous plaçant à un autre point de vue. Mais nous voulons encore faire remarquer ici une propriété qui découle immédiatement de la correspondance quadratique. Le cercle des inflexions de o- est la conique qui correspond à la droite de l'infini de g', c'est-à-dire que le cercle des inflexions de opeut être considéré comme le lieu des centres de courbure pour les points infiniment éloignés de o-'; de même le cercle des inflexions de g' peut être considéré comme le lieu des centres de courbure pour les points infiniment éloignés de g.