IV. — Constructions et relations métriques

1. Le mouvement d'un système étant défini d'une manière quelconque, il s'agira, à chaque instant du déplacement, de construire le centre instantané de rotation, la tangente à la courbe polaire, les cercles des inflexions et le centre de courbure de la trajectoire de chaque point. Nous sommes en mesure

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de déduire les constructions dont il taudra faire usage dans chaque cas particulier des lois générales qui ont été établies dans les paragraphes précédents.

Le mouvement d'un système plan est déterminé dès que l'on connaît à chaque instant le centre de rotation. Ce point est à l'intersection des normales aux trajectoires de tous les points du système; il est donc déterminé par deux quelconques d'entre elles. Il faut alors qu'à chaque instant on donne les trajectoires de deux points quelconques. Le système se déplacera d'une manière bien déterminée, dès que deux de ses points seront forcés de parcourir des trajectoires données qui peuvent être choisies arbitrairement. . Pour construire à chaque instant, en dehors du centre de rotation, la tangente à la courbe polaire ainsi que les cercles des inflexions et les centres de courbure de toutes les trajectoires, nous aurons besoin de connaître la correspondance quadratique qui caractérise l'instant considéré du mouvement. Comme nous venons de voir que les trajectoires de deux points définissent complètement le mouvement, nous devons nous attendre à ce que cette correspondance soit déterminée dès que nous connaîtrons les centres de courbure de deux points. En effet, nousverronsque, sideuxcouples(A, A'), (B,B') de points correspondants sont donnés, on peut construire le centre de courbure C correspondant à tout autre point C.

2. Nous avons déjà fait voir, dans le précédent paragraphe (III, 11), que, pour chaque droite d'un des systèmes qui passe par le point principal, la conique correspondante dans l'autre système se décompose en deux droites dont l'une est la ligne principale. Pour approfondir davantage cette question, nous reviendrons encore au cas de deux positions quelconques du système. Et comme les mêmes lois subsistent aussi bien pour le mouvement indirect que pour le mouvement direct, dans ce qui suit nous ne nous occuperons, en général, que du mouvement direct.

Si /o est une droite quelconque de o-q passant par Ooi, et Ao un de ses points, son rayon normal al coïncidera avec l"^; il en résulte que les points d'intersection de a^ et a\ sont sur l'^. Mais les rayons normaux a\ de tous les points de /

Fier. <S.

forment un faisceau perspectif à Z^. Celui-ci coupe donc /'„" suivant une ponctuelle perspective à /f et projective à /J", et chacun de ses points A' est l'intersection des rayons correspondants al et a\.

Si nous passons à la limite, /J' coïncidera avec /; le centre de courbure A' de chaque point A de /est donc sur /elle-même, et les points A et A' forment deux ponctuelles projeclives superposées. Ces ponctuelles ont le centre instantané 0 comme élément commun. Cela résulte aussi bien des lois de la correspondance quadratique que de ce fait que, 0 passant en ce moment, en général, par un point de rebroussement, le rayon de courbure de sa trajectoire doit être nul. Si, déplus, Vet W {fig. 8)

sont les points oii / coupe les cercles des inflexions (^ et wp', onaVO = OW'etVetW'sont les points de chaque ponctuelle qui correspondent au point à l'infini de l'autre. Les ponctuelles jouissent donc de la propriété que leurs points doubles coïncident avec le centre instantané de rotation.

On sait que, du moment — que deuxpareilles ponctuelles sont superposées, on peut construire autant de couples de points correspondants qu'on le veut, dès que l'on connaît le point double et un couple de points homologues.

Maintenant nous allons voir que, conformément à ce qui a été dit plus haut, la correspondance quadratique est déterminée dès que l'on connaît deux couples de points (A, A') et (B,B'). Désignons encore toute droite passant par 0 sous le nom de rayon normal, parce que c'est la normale aux trajectoires de tous ses points, et soient la, h les deux rayons sur lesquels se trouvent les couples de points (A, A') et (B,B'). Nous pouvons sur /« et /& construire

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les points V^ et V/, qui sont sur le cercle des inflexions. Alors ce cercle est déterminé puisqu'il est circonscrit au triangle V^V^O. Si maintenant 4 est un troisième rayon normal quelconque, nous connaissons sur 4 un couple de points correspondants formé de V^ et du point à l'infini. Nous savons donc construire le centre de courbure C de chaque point C de celte droite, c'est-à-dire que :

La correspondance quadratique entre les deux systèmes <j et a' est complètement déterminée par deux couples de points correspondants.

Nous nous posons maintenant le problème : connaissant deux couples de points correspondants (AA'), (BB'), construire la tangente à la courbe polaire, les cercles des inflexions, et les centres de courbure dans chaque système. Les considérations suivantes nous fournissent le moyen d'effectuer ces constructions.

3. Soit {fig. 8) (A,A') un couple de points correspondants de a et o-', et / le rayon normal qui les joint. Nous désignerons par /• et /' les distances des points A et A' à 0, et conviendrons que /• et /•' seront considérés comme positifs quand les points A et A' seront du même côté de la tangente à la courbe polaire que le cercle des inflexions de leur système, c'està-dire quand A sera du même côté que w, k! du même côté que w\ Sur chaque rayon normal les directions positives sont donc opposées l'une à l'autre. Comme A et A' forment des ponctuelles projectives, on a •