AV.A'W'=OV =0W

Posons encore

OV=OW'=/?, on a

(a-— /0(/-'— //)= /i' et

/• /' Il

CHAPITRR I.

Cette relation a lieu pour tout rayon normal. On peut en déduire une plus générale. Désignons par a l'angle que fait / avec la normale à la courbe polaire, et par Ao le diamètre du cercle des inflexions; on a

(.) (l + ^)cos«=i-.

U expression qui figure dans le premier membre de l'égalité précédente est donc une constante.

Appelons p le rayon de courbure AA', et posons AV = s.

Si donc nous prenons le point Q sur la droite / de telle façon que 0A = AQ, l'équation précédente nous donnera

qâ' = âô'==av.aas

c'est-à-dire que Q,V,0, A' forment une division harmonique, Q et 0, V et A' étant les couples de points conjugués.

Soit n la normale commune aux courbes polaires. Élevons en Q,A, VetA' des perpendiculaires sur /; elles rencontrent la normale aux points M, N, J, N' formant une division harmonique; J est le centre des inflexions, et N le milieu de OM. N et N' constituent un couple de points correspondants, et N' est le centre de courbure de la trajectoire de N.

Par suite :

Si N et N' sont un couple de points correspondants sur la normale commune aux courbes polaires, en projetant NeiN' sur un rayon normal quelconque , nous obtenons encore des points correspondants ,

Imaginons maintenant que l'on ait mené par 0 tous les rayons normaux, et projetons sur chacun d'eux le couple de points (N,N'),tous les points Aainsi obtenus sont sur un cercle qui a ON pour diamètre, et les points correspondants appartiennent au cercle dont le diamètre est ON', c'est-à-dire que :

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DA>S SON PLAN. 29

A tout cercle de a qui touche la courbe polaire (ien 0 correspond dans (j' un cercle qui touche également la courbe polaire €' de son système en 0.

Nous avons ainsi acquis une image tangible de la façon dont a lieu la correspondance entre les systèmes o- et a'.

k. Soient maintenant Ip et Iq deux rayons normaux quelconques de (7. Nous désignerons les couples de points correspondants sur Ip par

et sur Iç par

Si nous projetons de A^ et A^ les ponctuelles superposées sur Iç au moyen des faisceaux de rayons Ap{Ag, B^, C,,, . . .), A^(A^, B^, C^, . . .), ces faisceaux auront en commun le rayon ApA' qui joint les points Ap,A^ au point double 0. Ils sont

donc en situation perspective, et les points d'intersection des rayons correspondants sont en ligne droite. Pour obtenir cette droite, déterminons {/ig. 9) le point d'intersection S^ de deux rayons correspondants quelconques ApC^, A^C^, et joignons ce point à 0. Si nous choisissons maintenant comme sommets

3o CHAPITRE I.

des faisceaux projetants deux autres points correspondants Up et B^ de Ipy les points d'intersection des rayons correspondants seront aussi sur une droite, et si S^ est le point d'intersection des rayons homologues BpCç et B^C^, la droite en question sera la ligne de jonction de S/, avec 0. Chaque couple de points du rayon Ip nous donnera donc une pareille droite. Mais toutes ces droites se superposent. Pour le prouver, nous n'avons qu'à faire voir que les points S^, S/, sont tous sur une môme droite passant par 0. En effet, de C^ projetons la ponctuelle A^, B^,, ... et de Cg la ponctuelle A'^, B^, ..., qui estprojective à la première. Les deux faisceaux projetants ont en commun le rayon CgC^; ils sont donc perspectifs, et les points d'intersection des rayons correspondants sont tous sur une droite passant par 0. Mais ces points sont justement Sa et Sfe. Nous pouvons donc finalement énoncer le théorème suivant :

Si Ip et Iq sont deux rayons normaux quelconques^ (Ap,A' ), {kq, k'q) deux couples de points correspondants quelconques pris sur ces rayons, les droites A pKq, k'pk' se coupent sur une droite fixe.

Nous désignerons cette droite, dont la position ne dépend que de Ip et de Iq, par Upq. Mais nous pouvons imaginer que les ponctuelles projectives situées sur Ip et Iq déterminent la collinéation de deux systèmes plans, alors 0 sera le centre et Upq l'axe de collinéation correspondant à Ip et Iq {}),

Pour déterminer sa position, nous nous servirons des points d'inflexion V^ et V^ des deux rayons normaux. Les points correspondants sont à l'infini. Donc V^V^ rencontre la droite de l'infini en un point de Upq, c'est-à-dire que Upq est parallèle à VpV^. Si nous menons encore la tangente ^ à la courbe polaire, on a A ( ^, /,,) = A ( /p, Upq), parce que, d'après des théorèmes de Géométrie élémentaire, ces deux angles sont égaux à l'angle (V^V,,0). Donc :

Si Ip et Iq sont deux rayons normaux quelconques, l'angle que la tangente à la courbe polaire forme avec l'un des

(') Aronhold, Principes ..., p. iSg.

MOUVEMENT d'UN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN. 3l

layons normaux est égala V angle que fait Vautre avec l'axe de collinéation.

Supposons maintenant Ip fixe et faisons tourner l,j autour fie 0; l'axe de collinéation f/^;^ tourne également autour de 0; l,, et Upfj engendrent deux faisceaux de rayons, et l'on a toujours

A(^ Ip)— A{1^, Up^),

c'est-à-dire que les rayons Ip et Upg forment deux à deux un angle constant; en les adjoignant deux à deux comme correspondants, on voit que :

Si Ip est un rayon normal quelconque fixe, les faisceauxformés par tous les rayons normaux et les axes de collinéation correspondants sont deux faisceaux égaux et concentriques dans lesquels les rayons correspondants se coupent deux à deux sous le même angle que Ip et la tangente à la courbe polaire.

A chaque rayon normal appartient donc un faisceau bien déterminé d'axes de collinéation.

En ce qui concerne les angles formés par Ip, Iq, Upq et t, on peut encore faire la remarque suivante : les rayons normaux Ip et Iq partagent le plan en deux régions; il résulte de la manière dont ont été établis les théorèmes précédents que Upq et t sont toujours dans la même région. Si donc l'une de ces droites est donnée, la position de l'autre est parfaitement déterminée.

5. En se servant des résultats précédents, on effectuera facilement les constructions dont il a été question.

Supposons que la relation quadratique soit déterminée par deux couples de points correspondants (A, A') et (B,B'), et appelons encore /« et 4 les rayons normaux correspondants, nous obtiendrons la tangente à la courbe polaire de la façon suivante :

Menons AB et A'B', et joignons le point d'intersection S de ces deux droites à 0. OS sera l'axe de collinéation Uab- Maintenant, construisons une droite t, de telle façon que

h{tyh)^ f\{la,Uab)

CHAPITRK I.

et que t et Uab soient dans la même région du plan, t sera la tangente en 0 à la courbe polaire.

Cette construction, donnée d'abord par Bobillier, est connue sous le nom de construction de Bobillier (^).

Pour construire les points d'inflexion V« et V/, situés sur la et //,, nous procéderons de la façon suivante : Par A' menons une parallèle à Ih, et joignons à A le point où elle coupe l'axe de coliinéalion. La droite ainsi obtenue coupe l^ au point V/,.

Fig. 10.

Si par Vô nous menons une parallèle à m^a, elle coupera /« en \a' De cette manière le cercle des inflexions w de o- est luimême déterminé.

Si donc deux couples de points correspondants (AA') et (BB') sont donnés, on construira linéairement les points d'inflexion situés sur les rayons normaux correspondants.

On demande maintenant de construire le centre de courbure (7 correspondant à un point quelconque C de a' . Soit 4 le rayon normal sur lequel se trouve C, les droites AC et A'C se couperont sur l'axe de collinéation Uac Mais cet axe est déterminé, comme il résulte du dernier tbéorème, par le

C) Bobillier, Cours de Géométrie, i5® édilion, p. 282.

MOUVEMENT d'uN SYSTÈME PLAN DANS SON PLAN.

rayon 4* Donc, nous construirons Uac <^le telle façon que Uac fasse avec 4 ^e môme angle que 4, nous mènerons AC, et joindrons A' au point où AC coupe Uac Cette droite rencontre le en C.

Si la tangente à la courbe polaire et un couple de points correspondants (A, A') sont donnés, le diamètre du cercle des inflexions pourra immédiatement être déterminé. Si nous traçons en effet la normale à la courbe polaire, le faisceau d'axes de collinéation qui lui correspond jouit de la propriété que chaque rayon normal est perpendiculaire sur son axe de collinéation. Donc (y?^. Il), menons par A' une parallèle à la

Fii

Fis. !•>.

normale à la courbe polaire, élevons en 0 une perpendiculaire sur le rayon normal /«, et appelons E le point d'intersection des deux droites. EA coupera la normale à la courbe polaire au centre des inflexions J.

Inversement on peut, étant donné le centre des inflexions, trouver le centre de courbure correspondant à chaque point A du système o-.

Enfin, mentionnons encore la construction suivante, qui permet de construire linéairement le point d'inflexion sur S. 3

chaque rayon normal, quand on connaît un couple de pointg correspondants sur ce rayon {fig. 12).

Menons par A une droite quelconque g, et joignons un de ses points P à 0 et à A'. Menons alors par 0 une parallèle à A'P, et par son point d'intersection R avec g une parallèle à PO. Celle-ci rencontrera le rayon normal / au point d'inflexion V, sur le cercle des inflexions; car

et

Donc,