Tliéor. — Le plan est illimité dans tous ses sens

Dém. — Car, s'il était limité quelque part, il ne serait pas partout semblable à lui-même, par exemple dans les environs de sa limite (voir 58).

Lemme. — En tant que placé par la pensée dans l'étendue dont nous faisons partie, il se présente à nous comme ayant à la fois non soukmcnl une gauche et une droite, un haut et un bas, mais comme ayant encore une face antérieuie — celle qui nous fait vis-à-vis — et une face postérieure.

II y a toutefois à remarquer que pour se donner l'intuition des deux faces d'un pian, l'esprit doit mettre à profit la troisième dimension.

75. Théor. — Le plan peut glisser sur lui-même dans toute son étendue.

Dém. — Le plan, en tant que destiné à glisser sur lui-mèmo, peut être envisagé comme un second plan placé sur un premirr plan et coïncidant avec celui-ci dans toute son étendue, et cela en vertu de la pénétrabilité indéfinie de l'espace (56, scolie 3). Or, le plan étant partout semblable à lui-même, celte coïncidence aura lieu à chaque instant entre le plan envisagé comme mobile et le plan envisagé comme fixe *.

7©. Déf. — Une portion de plan est une figure plane limitée par une ou plusieurs lignes dans un, plusieurs ou tous les sens.

La portion de plan peut être posée ou niée (10).

Rcni. — A la différence de ce qui se fait pour la droite, on ne donne que rarement le nom de plan à la portion de plan.

Cor. — On étend indéfiniment un plan dans tous ses sens en faisant glisser indéfiniment l'une de ses portions sur celte portion même.

Scolie. — C'est celte propriété qui explique l'usage du rabot. On admet en effet que la face du rabot qui donne passage au tranchant du fer, est une portion de surface plane, et qu'il en est de même de toute surface dressée au moyen du rabot.

77. Cor. — Un plan est déterminé quand on donne une de ses portions.

78. Cor. — Quand deux plans ont une portion commune, ils coïncident dans toute leur étendue.

Cor. — Un plan ne se bifurque pas, puisque l'on ne pourrait faire coïncider la partie bifurquée et la partie simple.

' Celte proposition, ainsi que beaucoup d'autres, peut s'énoncer sans inconvénient comme corollaire de la définition du plan.

79. Théor. — Lorsqu'une droite a deux de ses points dans un plan, elle y est tout entière et elle le divise dans toute son étendue.

Dém. — Soit XY (fig. 4) la droite passant par les deux points A et B du plan P, et circonscrivons par la pensée une portion de plan contenant ces deux points. Majorons et minorons la

Fig. 4.

figure ainsi formée. Les deux points, tout en décrivant la droite XY ((i6, cor. 1), ne cesseront pas d'appartenir au plan qui s'étendra avec elle indéfiniment.

N. B. Il ne faut pas oublier que l'espace est réduit au plan, et que, par suite, les deux points ne peuvent sortir du plan.

80. Cor. \. — Une droite prolongée suffisamment, sort de tout espace plan limité qui la renferme.

iV. B. A celte proposition, qu'on ne trouve ni démontrée ni énoncée nulle part que je sache, correspond, dans la géométrie à trois dimensions, une proposition analogue, à savoir que le plan partage l'espace dans toute son étendue.

Cor. 2. — Par deux points d'un plan on peut toujours faire passer une droite, et, inversement, par une droite on peut toujours faire passer un plan,

81. Dcf. — Les deux portions d'un plan divisé par une droite s'appellent semi-plans.

Cor. i. — En tant que divisant le plan dans toute son étendue (79), la droite peut être envisagée sous deux nouveaux aspects suivant qu'on la voit limitant l'un ou l'autre semi-plan *.

* Ce qui donne lieu à un paradoxe, cette droite étant double puisqu'elle appartient tout entière à chacun des semi-plans. De même est double aussi le point qui divise une droite.

8». Cor. 2. — Lorsque, dans un plan divisé par une droite, on choisit deux points situés dans l'un et dans l'autre semi-plan, la droite qui les reliera coupera la première, sinon elle resterait dans le même semi-plan.

Cor. 3. — Une droite peut s'appliquer et glisser partout sur un plan, et, par conséquent, toutes les droites tracées sur un même plan sont identiques.

Scolie 1 . — De là celle définition vulgaire du plan : une surface sur laquelle une ligne droite peut s'appliquer dans tous les sens.

Cor. 4. — Par un point d'un plan on peut faire passer une infmité de droites dans ce plan. Ces droites se différencient par leur position.

Scolie 2. — On peut considérer la série continue de cette infinité de droites passant par ce point du plan comme la série des traces successives laissées par une seule et même semidroite tournant autour de ce point pris pour sa limite. Il suit de là que le corollaire précédent pourrait s'énoncer ainsi :

Cor. 4''". — Une droite peut prendre dans un plan une infinité de positions autour d'un quelconque de ses points. Si l'on suit par la pensée le mouvement de cette semi-droite tournant, par exemple, de gauche à droite, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre, autour de son point limite, il vient un moment de sa course où elle se réapplique sur elle-même, en reprenant sa position première. Elle a fait alors ce que l'on nomme un tour entier.

Mais dans rinlervalle d'un tour entier, il arrive une position où elle est placée sur son propre prolongement, c'est-à-dire sur l'autre semi-droite de la droite à laquelle elle appartenait dans sa position première.

83. Dcf. — On appelle demi-tour la rotation dans un plan d'une droite autour d'un de ses points par laquelle on amène chacune de ses semi-droiics sur la trace de l'autre.

foy^ I. — Deux semi-droites symétriques deviennent identiques si on les place sur un plan, puiscjuc par le demi-tour de l'une d'elles autour du point qui la limite on peut la superposer à l'autre (61 ).

Cor. 2. — De la même manière, deux droites interrompues symétriques deviennent identiques par le demi-tour de l'une d'elles autour d'un quelconque de ses points (71).

84. Cor. 3. — Le demi-tour d'une figure rectilinéaire a pour effet d'en disposer les parties en sens opposé et de la convertir en sa symétrique.

Cor. 4. — Les figures reclilinéaires symétriques en tant que placées sur un plan sont identiques ; elles ont donc même forme et même grandeur '.

85. Théor. — Deux semi-plans d'un même plan sont à la fois symétriques et identiques.

^ Déni. — Soit XY (fig. o) la droite indéfinie

qui divise par supposition un plan (celui du papier, par exemple) en deux semi-plans G et D situés à sa gauche et à sa droite. Faisons D faire un demi-tour de gauche à droite à la droite XY autour d'un de ses points pris arbitrairement, soit le point 0 (83), et posons comme condition qu'elle entraine avec elle le semi-plan G qu'elle limite. Le demi-tour accompli, et la droite s'élanl renversée sur elle-même, le semi-plan G s'identifiera entièrement avec le semi-plan D *.

8G. Théor. — Un plan est déterminé quand on donne trois de ses points non en ligne droite.

Fig. 5.

* Voilà encore une série de propositions d'apparence puérile. Elles sont pourtant indispensables pour une théorie rigoureuse de la symétrie et de la légiliinilc du rabattement, dont on fait un usage constant dans la géométrie plane. Remarquons que la symétrie des figures reclilinéaires ne se résout en identité qui* dans et par le plati, c'est-à-dire à l'aide de la seconde dimension.

* A la condition, bien entendue, que les deux semi-plans restent indéterminés. On remarquera ({ue nous n'avons pas encore identifie les deux semiplans par rubatleinent. Le rabaUeinenl transpose les faces du plan, re que ne fait pas le demi-tour. Il suppose l'evistence de la troisième dimension.

Déni. — En effet, en joignant ces points deux à deux par des droites, on détermine une portion de plan et par suite le plan.

Cor. i. — Un plan est encore déterminé quand on donne une de ses droites et un de ses points pris en dehors d'elle.

iV. B. Ne pas perdre de vue que jusqu'à présent il n'y a pas d'autre espace que le plan : la troisième dimension est censée ne pas exister. C'est plus tard seulement qu'il sera démontré que deux plans se coupent suivant une droite, et par conséquent, qu'on peut faire passer par une droile une infinité de plans dont un seul passera par le point donné.

Cor. 2. — Si par ce point on fait passer une droite qui tourne d'un mouvement continu, tout en restant appuyée sur la droite du plan, la droite mobile n'aura pas cessé d'être dans le plan, et la surface ainsi engendrée se confondra avec le plan '.

Maintenant on engendrerait une surface analogue, c'est-à-dire se confondant aussi avec le plan, en prenant pour point fixe un point quelconque de la droite mobile, et pour droile fixe une position quelconque de cette même droite mobile ne passant pas par ce point.

Il en résulte que le plan peut être considéré comme une superposition d'un nombre infini de surfaces engendrées par la rotation d'une droite autour d'un quelconque de ses points et s'appuyant sur une quelconque de ses droites.

Cor. ô. — Par une droite et un point on peut faire passer un plan et l'on n'en peut faire passer qu'un seul.

Cor. 4. — Par trois points non en ligne droite on peut faire passer un plan et on n'en peut faire passer qu'un seul.

Cor. 5. — De même par deux droites qui ont un point commun, puisqu'on peut y prendre trois points non en ligne droite *.

' La théorie des parallèles nous apprend qu'il y a une position où la droite mobile ne s'appuie plus sur la droile fixe; mais le corollaire, tel qu'il est énoncé, est inaUaquable.

' On s'étonnera peut-être de ces longs détours pour démontrer des propositions que les géotnélries ordinaires mentionnent en courant. Rien ne parait plus simple en ciret que de faire passer, par exemple, un plan par l'une des droites et de le faire tourner jusqu'à ce qu'il rencontre l'autre. Mais en cela on userait de la troisième dimension sans y être autorisé.

87. Déf. — On appelle figure plane toute figure tracée sur un plan.

98. Déf. — On appelle figure rectili'gne ou polygonale une figure plane composée de lignes droites, semi-droites ou portions de droites.

Les figures rectiligncs sont des digones, des trigones ou des polygones, suivant qu'elles sont formées à l'aide de deux, de trois ou de plusieurs lignes droites.

Les digones sont les plus simples des figures reclilignes. Les trigones renferment les plus simples des polygones.

Cor. — Les figures planes peuvent se tracer et se déplacer partout sur le plan (81, cor. 5).

89. Déf. — On appelle géométrie plane, ou encore géométrie à deux dimensions, la partie de la science géométrique qui s'occupe des figures planes.