CHAPITRE VL — Les digones

90. Déf — On nomme direction d'une droite dans un plan la position de cette droite autour d'un de ses points dans le plan (81, cor. 4 et 4"'^).

Scolie. — Ce point partage la droite en deux semi-droites symétriques et dirigées en sens contraires par rapport à lui (60). il suit de là que la même droite peut être parcourue de deux façons opposées et qu'ainsi elle a deux directions. Il n'en va pas ainsi avec la semi-droite dont la direction se compte naturellement à partir de son point limite. Nous dirons donc plus spécialement :

91. Déf. — On nomme direction d'une semi-droite dans un plan, la position de celte semi-droite par rapport à son point limite dans ce plan.

Srolie. — Tout point de la semi-droile peut élre pris arbiirairemeni pour point limite (61).

99. Déf. — Si à une semi-droite d'un plan on fait prendre dans ce plan toutes les positions possibles autour de son point limite ou, ce qui revient au même, si Ton fait passer par ce point dans le plan toutes les semi-droites possibles (82, cor. 4 et i*"") la figure ainsi formée se nomme rose des directions, et le point commun en est le pôle.

Qgr, f. — Deux roses des directions dans le même plan sont identiques et elles coïncident si on fait coïncider leurs pôles.

Qor^ 2. — Deux roses des directions dans le même plan ont toujours une droite commune, celle qui joint leurs pôles.

93. Déf. — Dans toute rose des directions on appelle norme la semi-droite arbitraire à la direction de laquelle, censée connue, on peut rapporter toutes les autres directions (comp. 70, cor.).

Cor. — Étant données deux roses des directions, si l'on prend pour norme commune la ligne des pôles, à toute direction dans Tune correspondra une direction dans l'autre (92, cor. 1 et 2).

Scolie. — Il va de soi que les deux pôles sont censés appartenir à la même semi-droite et non à deux semi-droites différentes dirigées en sens contraires (91).

94. Déf. — On appelle angle la figure formée par deux semidroites partant d'un même point '.

Les deux semi-droites sont les côtés de l'angle et le point dont elles partent en est le sommet.

' « La considération de deux droites AB et AC qui se rencontrent, conduit à une idée nouvelle, qui est celle dUnchnaisoti niuluellc ou d'angle, et qui, comme l'idée de longueur, ne saurait être définie, c'est-à-dire ramenée à une idée plus sini|)le; ce qu'on définit, c'est l'égalité et l'addition des angles. » (Rouciié-Combehousse, 8.) — Par parcnllièsc, à quelle idée plus simple pourrait-on ramener celle de cercle, ou de parabole ou de cliaînetle? Cf. : la ligne droite est la plus simple de toutes les lignes (v. note p. 58).

Rem. 1. — Par abréviation, on dit presque toujours droites et non semi-droites pour désigner les côtés de l'angle.

Cet abus n'est pas sans avoir des inconvénients (voir p. 40, note 3).

Rem. 2. — Un angle se désigne d'ordinaire par trois lettres, et l'on a soin de mettre celle du sommet au milieu.

Quelquefois, quand il n'y a pas de confusion possible, on le désigne par la lettre du sommet.

Quelquefois encore, par une lettre, ordinairement minuscule ou tirée de l'alphabet grec, ou par tout autre signe inscrit dans son ouverture.

On dit l'angle BAC ou CAB, B'A'C ou C'A'B' (fig. 6 et 6""), ou bien l'angle A ou A', ou bien encore l'angle a ou a ou 1, suivant l'espèce de signe inscrit.

Scolie i et déf. — Tout angle présente deux aspects, l'aspect plein et l'aspect vide, suivant que l'on regarde comme posée ou comme niée l'étendue plane renfermée entre ses côtés (10). Dans le premier cas, l'angle est dit sortant; dans le second cas, rentrant '.

Fig. 6.

Fig. 6W».

Sauf indication contraire, l'angle est toujours envisagé sous son aspect plein, autrement dit, comme angle sortant.

1 Ce n'est pas la définition ordinaire de l'angle rentrant, laquelle, dans les polygones, s'applique aux angles inlérieurs plus grands que la somme de deux droits. Il est cependant bien plus naturel, et aussi plus coiuniodo, d'appeler ainsi l'angle extérieur, correspondant à cet angle intérieur et tonné par les incines côtés, lequel pénètre, entre dans le polygone, et vient en échancrer, pour ainsi dire, la surface.

Scolie 2. — Lorsque les deux semi-droiles appartiennent à la même droite, il n'y a, à proprement parler, plus d'angle, mais on convient, en certains cas, d'y voir encore un angle. De même, par extension, on voit parfois un angle dans la figure formée par deux semi-droites coïncidentes.

Cor. 1 . — L'angle que toute semi-droite d'une rose des directions fait avec la norme, détermine sa direction cl par là mémo sa position, et chaque semi-droite a ainsi sa direction ou sa position déterminée et propre qui la différencie de toute autre semidroite de la même rose (comparer 81, cor. 4 et i*"").

Lemme. — Si l'on place le sommet d'un angle sur le pôle d'une rose des directions, les côtés y prendront, par rapport à la norme, chacun ime direction déterminée et différente.

95. Déf. — On appelle valeur de Vangle et souvent par abréviation angle, la différence des directions de ses côtés.

Cor. — Si l'un des côtés est pris pour norme, cette valeur est donnée par la direction de l'autre côté.

Rem. — Ne pas prendre le mot différence dans son sens arithmétique ou algébrique, mais dans le sens vulgaire, comme quand on dit de deux droites qu'elles sont différentes. Les côtés de l'angle, en ce sens, sont donc différents.

Scolie. — Une rose des directions peut être engendrée en faisant tourner la semi-droite génératrice de gauche à droite, c'est-à-dire suivant le sens de marche des aiguilles d'une montre, ou de droite à gauche.

Il en est de même de l'angle, en tant qu'on l'engendre en faisant tourner un de ses côtés de manière à le faire passer de sa position première, prise pour norme, à la position occupée par l'autre côté.

Le même angle peut donc être désigné de deux manières : on peut tout aussi bien dire l'angle CAB (fig. C) que l'angle BAC, suivant que l'on prend pour norme AC ou AB (94).

96. Déf. — Quand il est nécessaire de faire la distinction, on convient de dire que l'angle évalué de gauche à droite est positif ou de signe positif, et que l'angle évalué de droite à gauche

est négatif ou de signe négatif. C'est pourquoi l'on dit de deux angles évalués en sens opposés qu'ils n'ont pas le même signe.

Rem. — Il ne faut donc pas confondre le signe avec Vaspect. Les deux aspects d'un même angle BAC n'ont pas même valeur. En les évaluant tous deux dans le même sens, soit de gauche à droite, Vâspecl plein nous donne la partie de surface plane comprise entre les côtés AB et AC et engendrée par le mouvement de AB vers AC dans le sens de la marche des aiguilles d'une montre. L'aspect vide, au contraire, nous présente la même surface, mais en tant qu'elle reste en dehors des côtés et n'est pas engendrée quand on fait tourner AC vers AB toujours dans ce même sens de gauche à droite.

Comme on l'a déjà dit (94, scol. 1), on ne considère presque jamais les angles sous leur aspect vide, excepté dans des cas tout spéciaux.

N. B. Sauf avis contraire, les angles seront toujours évalués positivement, c'est-à-dire qu'on prendra toujours pour norme la position première du côté qui, marchant dans le sens des aiguilles d'une montre, se rapproche de l'autre. Ainsi, dans la figure 6, la norme sera AB ; dans la figure 6*"'', elle sera A'C.

97. Déf. — Deux angles sont diis égaux si, lorsque l'on fait coïncider leurs côtés normes, leurs deux autres côtés coïncident.

Cor. \. — Les angles égaux ont même valeur, et inversement.

Cor. 2. — Comme le même angle peut être évalué positivement et négativement, il est à lui-même son symétrique.

08. Cor. 5. — Les angles de même valeur sont égaux par identité et par symétrie (41) '.

09. Déf. — Un angle est dit plus grand ou plus petit qu'un autre angle si, quand on fait coïncider les côtés normes, son second côlé tombe en dehors ou en dedans de cet autre angle.

' Cette proposilion est fundamcntale pour la théorie de la symclrie. Dans les figures synjétriques, les angles symétriques sont égaux mais de signes contraires.

La valeur de l'angle formé de cette manière par les deux côtés non coïncidant, fait la différence de valeur des deux angles.

Cor. 1. — Les angles sont ainsi des quantités de même nature, ils peuvent s'additionner et se soustraire, et par suite être multipliés et divisés.

Cor. 2. — Un angle quelconque peut se placer indifféremment partout sur une rose des directions. Par conséquent une rose des directions, de même qu'un angle quelconque, sont des surfaces isogènes, c'est-à-dire indéfiniment divisibles d'une infinité de manières en parties égales (44).

Cor. 5. — Deux angles quelconques peuvent être considérés comme étant multiples ou sous-multiples l'un de l'autre.

Cor. 4. — Si sur un plan on place deux angles à la suite l'un de l'autre, de manière à leur donner même sommet et un côté commun *, leur somme (ou la somme de leurs valeurs) est égale à l'angle (ou à la valeur de l'angle) formé par les côtés non communs.

De là, si sur un même plan on place plusieurs angles à la suite l'un de l'autre, de manière à leur donner même sommet et deux par deux un côté commun, la somme de ces angles est égale à l'angle formé par les côtés non communs *.

Cor. 3. — Si sur un même plan on place deux angles de manière à leur donner même sommet et un côté commun qui sert de norme à tous deux ou ne sert de norme ni à l'un ni à l'autre, leur différence est égale à l'angle formé par les côtés non communs.

tOO. Théor. — La différence des directions des deux semidroites d'une mémo droite est la même pour toutes les droites. Déni. — En effet touies les droites sont identiques.

' Ce côlc commun sert de norme à l'un, mais non à l'autre (96, rem. et N. B.).

' Toute celte théorie de l'addition ou de la multiplication des angles est absolument neuve, du moins je le crois. Elle est capitale. On voudra bien remanjuer que tous ces corollaires ne sont que des développements raisonnés de la (Icfinitioii.

toi. Déf. — On appelle angle droit l'angle qui a pour valeur la moitié de cette différence.

Ainsi les angles AOP el POB (fig. 7) sont droits.

Les côtés de l'angle droit sont dits perpendiculaires l'un à l'autre, et le point où une droite en rencontre une autre perpendiculairement, s'appelle le pied de la perpendiculaire.

Cor. 1. — Tous les angles droits, ayant même valeur, sont égaux.

Cor. 2. — Toutes les perpendiculaires à une même droite ont même direction.

Cor. 0. — Par un point d'une droite, on ne peut élever qu'une perpendiculaire à cette droite.

Cor. 4. — Par un point extérieur à une droite, on ne peut abaisser plus d'une perpendiculaire à cette droite. Car deux droites partant d'un même point ne peuvent avoir même direction (cor. 2).

Fis. 7.

tO«. Déf. — Quand deux droites font entre elles un angle

différent d'un angle droit, elles sont dites obliques par rapport l'une à l'autre.

Si l'angle qu'elles font est plus grand qu'un angle droit, il est dit obtus; s'il est plus petit, il est dit aigu. Ainsi l'angle COB (lig. 7) est obtus; l'angle AOC est aigu.

Scolie. — L'angle formé par les deux semi-droites d'une même droite équivaut à deux angles droits ; c'est le plus grand des angles obtus.

L'angle formé par deux semi-droites qui coïncident, est un angle wm/,* c'est le plus petit des angles aigus.

Rem. — Il n'est pas dans l'habitude de parler d'angles plus grands que la somme de deux droits et qui, par conséquent, correspondent à des angles que nous avons appelés rentrants (94, scolie i).

Sauf indication contraire, les angles sont toujours envisagés

comme sortants. Ainsi l'angle BAC (fig. 6) désignera celte partie de la surface plane qui s'étend vers la gauche, et non celle qui l'entoure et s'étend principalement vers la droite.

103. Déf. — Deux angles dont la somme est égale à un angle droit, sont dits complémentaires et l'un est le complément de l'autre.

Deux angles dont la somme est égale à deux angles droits, sont dits supplémentaires et l'un est le supplément de l'autre.

Ainsi dans la figure 7, en supposant que PO soit perpendiculaire sur la droite AB, les deux angles AOC et COP sont complémentaires; mais les deux angles AOC et COP sont supplémentaires.

Cor. 1. — Deux angles supplémentaires sont toujours l'un aigu, l'autre obtus, à moins qu'ils ne soient droits tous les deux; deux angles complémentaires sont toujours aigus.

Cor. 2. — Lorsque deux angles complémentaires ont un côté commun et le même sommet, les côtés non communs sont perpendiculaires l'un à l'autre.

Cor. 3. — Lorsque deux angles supplémentaires ont un côté commun et le même sommet, les côtés non communs sont en ligne droite.

Scolie. — Les angles supplémentaires ne sont pas égaux, bien qu'ils aient un côté commun et les deux autres côtés sur une même droite, parce que ces deux-ci sont dirigés en sens contraires et, par suite, n'ont pas même direction *.

f 04. Théor. et déf. — Lorsqu'une droite en rencontre une

autre, son prolongement passe à l'autre côté de celleci, autrement dit, elle la coupe.

Dém. — Soit la droite AB Fig g ^ (fig. 8) rencontrée en 0 par

' Bon nombre de ces corollaires figurent sous le nom de théorèmes dans les géomélries usuelles, et les autres devraient y figurer.

la droite CO. Je dis que le prolongement de CO passera en dessous de AB en prenant la position OD, et ne restera pas au-dessus en prenant, par exemple, une position telle que OD'; en d'autres termes, la droite CO coupera la droite AB. Car l'angle COD, qui vaut deux droits (102, scol. 1), est égal à l'angle AOB qui vaut aussi deux droits. Le prolongement OD ne peut donc pas être en OD' puisque l'angle COD', qui devrait être égal à l'angle AOB, est plus petit que l'angle COB, lui-même plus petit que l'angle AOB de tout l'angle AOC. Il est donc bien en OD et fait avec OB un angle BOD égal à l'angle AOC. On démontrerait de la même façon que l'angle COB est égal à l'angle DOA.

Co7\ 1. — Quand deux droites ont un point commun, elles se coupent.

t05. Cor. 2. — Lorsque deux droites se coupent, elles forment quatre angles. De ces quatre angles, ceux qui n'ont pas de côté commun ou encore qui ont leurs côtés dirigés tous deux en sens contraires, autrement dit, les angles opposés par le sommet, sont égaux (voir note p. 40).

Cor. o. — Si l'un des quatre angles ainsi formés est droit, les trois autres aussi sont droits.

Cor. 4. — La somme des angles que l'on peut former autour d'un point dans un plan, équivaut à quatre angles droits.

Scolie i. — L'aspect vide et l'aspect plein d'un même angle ainsi que l'angle rentrant et l'angle sortant font aussi quatre droits (102).

Scolie 2. — L'angle droit, ainsi que ses multiples et sousmultiples déterminés, étant des quantités constantes, on les a pris comme unités de mesure pour évaluer les angles *.

Mais à la mesure directe des angles au moyen d'un angle

• A la rigueur, ce qui suit ne devrait venir que dans l'élude du cerele; car c'est une propriété de la circonférence de mesurer les angles. Si j'étudie ici cette propriété, c'est parce qu'il n'entre pas dans mon plan de m'occuper du cercle.

unité, c'esl-à-dire d'une portion de surface plane au moyen d'une autre portion de surface plane prise eomme unité, on a substitué la mesure plus commode d'une espèce de ligne qui se comporte comme l'angle et croît avec lui, à savoir la mesure des arcs de circonférence.

fl06. Déf. — Si dans une rose des directions, on prend sur chaque droite, à partir du pôle, la même longueur, la ligure ainsi limitée s'appelle cerc/e; la Wmite, circonférence ; et le pôle prend le nom de centre.

Les droites de même longueur qui vont du centre à la circonférence, portent le nom de rayons, et celles qui, passant par le centre, sont limitées de part et d'autre par la circonférence et se composent par conséquent de deux rayons dirigés en sens contraires, portent le nom de diamètres.

Enlin, la portion de cercle limitée par deux rayons s'appelle secteur circulaire ou plus simplement secteur, et la portion de circonférence limitée par les extrémités de ces mêmes rayons, aix de circonférence ou simplement arc.

La circonférence ainsi que les arcs sont des lignes courbes. On entend par ligne courbe une ligne qui n'est ni droite ni composée de lignes droites, et qui, par conséquent, n'est homogène dans aucune de ses parties.

Scolie. — Comme tous les rayons sont égaux, on définit ordinairement la circonférence une ligne dont les points sont à égale distance d'un j)oint lîxe (nommé centre). La circonférence se trace au moyen de l'instrument appelé compas *. L'une de ses pointes reste fixe et marque le centre; l'autre, arrêtée à une

' Puisque j'ai défini la règle et le rabot (62, scol., cl 70, scol.), voici la dcfinilion du contpas : Le compas est un iiislrunicnt se composant cssenlicllenicnl de deux branches rigides, appelées aussi jatnbes, mobiles autour d'une charnière cl terminées en pointes. On admet (juc, appuyées sur un plan, ces pointes y marquent des points, el que la distance qu'on a mise entre elles, se conserve tant qu'on le juge nécessaire; de sorte que, si le com|)as pivote autour d«; l'une d'elles, supposée fixe, l'autre décrit une circonférence.

«lisiance délerminée de la première, distance qui est le rayon, décrit par son mouvement la circonférence.

La géométrie plane s'appelle souvent géométrie de la règle et du compas. On serait plus exact en disant de la règle, du rabot et du compas.

Le plan étant construit par le rabot, la règle permet de tracer une ligne droite d'un point à un autre, et le compas, de transporter partout sur un plan une portion de droite tracée; par conséquent, il permet de comparer des portions de droite sons le rapport de la longueur, et de voir si elles sont égales ou inégales, en les posant l'une sur l'autre. (Voir 99, note.)

Cor. i. — Ainsi que la rose des directions et l'angle, dont ils dérivent, le cercle cl le secteur circulaire, la circonférence et Parc sont des figures isogènes.

Cor. 2. — Les secteurs égaux sont limités par des arcs égaux.

107. Cor. 3. — Sur un même cercle, les angles égaux couvrent des secteurs circulaires égaux, et par conséquent interceptent entre leurs côtés sur la circonférence des arcs égaux.

Cor. 4. — Los multiples et les sous- multiples d'un angle donné iniercepteni sur la circonféience les mêmes multiples et sous-multiples de l'arc correspondant.

Cor. 5. — A la comparaison et par conséquent à la mesure des angles, on peut substituer la comparaison et la mesure des arcs, l'arc unité correspondant à l'angle unité.

Celte |)roposiiion, sous une forme concise, s'énonce de la manière suivante :

108. Un angle a même mesure que l'arc compris entre ses côtés; ou, plus brièvement encore :

Un angle a |)our mesure l'arc compris entre ses côtés.

Cor. 6. — D'un n)ème centre et avec le même rayon, on ne peul tracer qu'une seule et même circonférence.

Cor. 7. — Deux circonlérenccs de même rayon sont égales cl elles coïncidcni si l'on fait coïncider leurs centres.

tOO. Théor. — Deux circonférences de rayons inégaux sont semblables.

Dém. — Car il sufïit de majorer le rayon de l'une de manière à le faire égal au rayon de l'autre pour les rendre identiques (106, cor. 7). ï'illes ne diflërent donc qu'en grandeiuet par conséquent elles sont semblables (42).

Cor. \. — Deux secteurs circulaires sont semblables quand ils comprennent le même angle.

Cor. 2. — Deux arcs de circonférence sont semblables quand ils mesurent le même angle.

110. Cor. 3. — La majoiation ne modifie pas la valeur d'un angle; par conséquent les angles égaux sont semblables (t les angles semblables sont égaux.

N. B. îVe pas oublier que les angles sont égaux par identité et par symétrie.

Scolie \. — Ce corollaire est de la plus grande importance, il s'ensuit que, dans les ligures semblables, les éléments angulaires sont égaux, c'est-à dire que tous les angles qu'elles comportent sont égaux cbacun à chacun. Les éléments linéaires seuls diffèrent en grandeur '.

Scolie 2. — Si l'on fait coïncider les centres de deux cercles de rayons inégaux, il sulïïl de majorer le plus petit ou de minorer le plus grand pour faire coïncider les deux circonférences. Pendant celte opération, le centre ne cliango pas de place.

111. Déf. — On appelle centre de majoration d'une figure le point du plan de la ligure qui reste à sa place pendant la majoration.

Rem. — Ici finit la parenthèse sur la circonférence. On voit

• Ce corollaire sera parlicul.'irisc j»ar la suite, non pas que la chose soil indispensable pour la rigueur des déductions, mais parce que je ne voudrais pas que l'on put dire ([ue je passe subrepticement sur les difficultés. Si donc je reviens plusieurs fois sur ce corollaire, c'est pour aller au-devant de tous les scrupules. Je sens si bien que le lecteur défiant doit penser que le raisonnement a fait (|uelque part un saut dont il ne s'est pas aperçu.

sans peine qu'elle n'est pas indispensable, e( qu'on pourrait la meure à sa place naturelle.

tt9. Déf. — On appelle coin la figure formée par deux portions de droites qui partent d'un même point, et qu'on nomme les côtés du coin.

Les deux autres points limites se nomment exlrémités libres '. On nomme coin isocèle celui dont les côtés sont égaux, coin scalène celui dont les côtés sont inégaux.

Scolie 1 . — Le coin ne diffère de l'angle qu'en ce que les côtés de celui-ci sont illimités en un sens.

•Sco//e 2. — Les angles et les coins

servent à définir une figure rectiligne

plane quelconque. Soii par exemple

la figure 9, composée d'une scmi-

"' ' droite OZ, dont le point limite est O,

d'une portion de droite AB, et d'une droite indéfinie XY.

Divisons celle-ci en deux semi-droites par un point arbitraire 0', et joignons OA et O'B.

La figure OABO' se compose de deux coins BAO et ABO', ayant en commun le côté AB, et elle sera définie quand on aura donné les côtés OA, AB et BO' ainsi que les angles compris BAO et ABO'. La direction de la semi-droite OZ sera donnée par l'angle ZOA, et celle de la droite XY par l'angle BOT.

Lemme 1. — Un coin est déterminé quand on donne les longueurs des côtés, leur ordre et l'angle compris.

Cor. i. — Deux coins sont identiques quand ils ont des côtés

égaux cbacun à chacun, comprenant le même angle et se suivant

dans le même ordre. Ils sont symétriques si, les deux premières

conditions étant remplies, ils &e suivent dans un ordre contraire.

Cor. 2. — Les coins isocèles identiques sont à la fois symé-

1 Nouvelle espèce de (igure, à laquelle, je crois, aucun géoiiièlro n'a pensé. On va voir combien son introduction dans la géoinctrie rend simple, faeile et claire la théorie de la similitude des polygones.

iriques; en d'autres termes, un coin isocèle est symétrique ii luimême.

Lemme 2. — On a vu (83 et 84) comment deux figures rectilinéaires égales par symétrie, deviennent égales par identité, lorsque, placées sur un plan, on imprime à l'une d'elles un demi-tour.

Mais nous avons vu également que cette identité des figures symétriques se montre aux yeux avant le demi-tour, rien qu'en changeant le point de vue, par exemple, en regardant d'en haut la figure que l'on regardait d'en bas. Au fond, dans ce changement de point de vue, c'est le spectateur qui fait le demi-tour.

113. Théor. — Un coin scalène tracé sur un plan se montre dans sa forme symétrique si on le regarde de l'autre côté du plan (ou, ce qui revient au même, si l'on rabat le plan autour d'une de ses droites de manière à lui faire présenter son aulre face *).

Déni. — Supposons que le coin scalène tracé sur le plan ait s(m grand côlé à la gauche, son petit côté à la droite du spectateur; si celui-ci se place devant l'autre face du plan supposé transparent, il verra le grand côté du coin à sa droite, et le petit côté à sa gauche. La même figure se présentera donc comme étant sa symétrique et superposée à elle-même.

Cor. 1. — Les coins scalènes symétriques deviennent identi(jiies par rabattement.

114. Cor. 2. — Deux figures rectilignes planes symétriques deviennent identiques par rabattement (1 12, lemme 2).

Lemme. — L'infinité des figures rectilignes planes possibles peut se ramener à trois types : la ligne polygonale ou ligne brisée, la figure éloilce et la figure lacunaire.

La ligne pohgonale se compose de portions de droites; les figures étoilées ou lacunaires peuvent comprendre en outre des droites ou semi-droites.

< Voir au chapitre suivant la théorie du rabaUcinciit qui, rigoureusement parlant, n'appartient pas à la géométrie plane.

115. Dèf. — On appelle ligtie polygonale ou ligne brisée, une figure eomposée de portions de droites, soit toutes pleines, soit en partie pleines et en partie vides, se joignant deux à deux par leurs extrémités.

La ligne est fermée si toutes les portions de droites sont pleines. En ce cas, il n'y a pas d'extrémités libres (112). La ligne brisée fermée porte spécialement le nom de polygone.

Elle est ouverte si elle comprend une portion de droite vide. En ce cas, il y a deux extrémités libres.

Dans l'un et l'autre de ces cas, elle est continue.

Enfin, elle est discontinue s'il y a plus d'une portion vide. Dans ce cas, il y a des extrémités libres en nombre pair plus grand que deux.

La figure 10, ABCDE, est une ligne brisée fermée.

La figure 11, A'D'C'D'E', est une ligne brisée ouverte. Entre les points A' et E', il y a un»' distance, en d'autres termes une

Fig. dO.

portion de droite vide; mais, comme la figure précédente, elle est continue.

La figure Ti, A"B"C"D"E", est discontinue, et elle présente

autant de fois deux extrémités libres qu'il y a de portions de droites vides.

Cor. 1. — Une ligne polygonale fermée se compose d'un nombre de coins égal à celui des portions de droites qui la com- Fig. i2. posent. Ces coins ont i\eu\ ;i deux

un côté commun.

Vue ligne brisée ouverte se compose d'un nombre de coins

égal à celui des portions de droites dont elle se compose, diminué d'une unité.

Une pareille ligne est définie quand on définit ses coins ei l'ordre dans lequel ils se rangent.

Il suit de là que pour définir la ligne polygonale fermée, on peut se dispenser de définir deux coins consécutifs quelconques.

Enfin une ligne polygonale discontinue sera supposée complétée par le tracé de toutes ses distances sauf une, et elle rentrera ainsi dans les lignes continues ouvertes.

N. B. Une ligne polygonale ouverte ou discontinue peut renfermer des droites ou des semi-droites. Elle rentre alors dans les figures lacunaires (fig. 14).

116. Déf. — On appelle ligne éloUée une figure composée de portions de droites ou de semi-droites parlant d'un même point. Une ligne étoilée se compose ainsi de coins ou d'angles ayant le même sommet. Telle est la figure OABCDEX (fig. 13). Scolic. — Un ou plusieurs angles peuventélre nuls(I02,scol.).

La droite OX peut être considérée comme double et renfermant un angle nul.

Une figure étoilée se définit en ^ définissant ses coins ou ses angles et en donnant leur ordre. On peut se dispenser de définir un (pielconque des angles.

Déf. — On appelle /igure lacunaire toute figure reciiligne composée de droites, semi-droites ou portions de droites disposées sans ordre.

Toute figure lacunaire, si compliquée qu'elle soit, telle est la ligure 14, ABCDEFGIIIXV, formée de lignes pleines finies ou

Fi". 14.

indéfinies, pourra toujours se ramener à des lignes polygonales ouvertes ou fermées, par exemple, DEGH, ABCF,et à des ligures cloilces, telles que BCAGII et lEFXY, où l'on a introduit des distances, marquées par des pointillés.

119. Tliéor. — Deux coins sont semblables quand leurs côtés, renfermant le même angle, sont respectivement proportionnels et disposés dans le même ordre.

Dém. — Soient deux coins AOB et A'O'B' (fig. 15) renfermant le même angle entre leurs côiés respectifs, et ceux-ci satisfaisant à la propor-