AB : AB" = AC : AC" = BC : B"C

Or, AB" = A'B' par construction. Les deux proportions (1) et (;2) ont ainsi un rapport commun. Les autres rapports sont donc égaux, et l'on a

AC : A'C = AC : AC", et BC ; B'C = BC : B"C".

Ces deux proportions ont leurs antécédents éjraux; les conséquents sont donc égaux, et l'on a : A'C = AC"; B'C = B"C".

Les deux triangles A'B'C et AB"C" ont ainsi leurs côtés égaux chacun à chacun; ils sont donc égaux (129); et comme AB 'C" est semblable à ABC, A'B'C est aussi semblable à ABC.

Scolie 1. — La démonstration se simplilie par la remarque que la majoration convenable du triangle A'B'C, en rendant ses côtés égaux à ceux du triangle ABC, le rend égal à celui-ci. Donc avant la majoration il lui était semblable. Si je n'ai pas usé de cette démonstration légitime, c'est uni(juement pour ne pas heurter les habitudes.

Scolie 2. — Cette ()roposition peut se démontrer directement en parlant du théorème 130.

Soit (fig. 58) un triangle ABC, et 0 un centre quelconque

de majoration (lil). Le triangle OAC est déterminé ainsi que OAB el OBC, puisque les trois sommets de chacun sont don- \ / / "•;-;' nés (125). Minorons la figure en

\// ^ O'A'B'C. Les triangles O'A'C,

o O'A'B' et O'B'C seront respec-

"■ livement semblables aux triangles

OAC, OAB, OBC, comme ayant (HO) des coins semblables, à savoir ceux qui ont 0 pour sommet; il s'ensuivra que les côtés AC, AB, BC seront proportionnels aux côtés A'C, A'B, B'C. De plus les angles ABC, BCA et CAB seront respectivement égaux aux angles A'B'C, B'C'A et C'A'B', comme égaux à la différence ou à la somme d'angles égaux; par conséquent les deux triangles ABC et A'B'C auront leurs trois coins semblables. C. Q. F. D.

Scolie. — Les polygones ou lignes polygonales semblables peuvent se décomposer en triangles semblables et se décrire au moyen de ces triangles.

Les triangles semblables chacun à chacun sont dits homologues.

Cor. — Les polygones et lignes polygonales semblables ont leurs angles égaux chacun à chacun et les côtés homologues proportionnels. (Cf. 117, corol.)

Observation. — II me sera permis de faire observer que la théorie entière de la similitude des iriangles a été exposée sans recourir au postulat d'Euelide — que nous allons d'ailleurs démontrer. Cette théorie aurait pu s'abréger de beaucoup; mais j'ai tenu à me conformer dans cet essai aux lenteurs de la géométrie scolaire usuelle. Si parfois j'ai enchaîné trois ou quatre ihéorèmes, cet enchaînement a été rarement nécessaire.

En tète de la nouvelle géométrie, j'inscrivais ce desideratum : éviter les théorèmes de pur passage, si je puis ainsi les nommer, et appuyer la démonstration sur les principes et les données (|ue suppose son énoncé. Je vais, comme spécimen, démontrer

dircclemenl le ihéoréme capital sur la similitude, en invoquant seulement les connaissances qu'implique la notion des triangles semblables.

Ces connaissances comprennent : 1° les conditions générales d'égalité des figures (même grandeur et même forme), celles de leur similitude (même forme), le principe que la majoration répétée dans un rapport donné d'une même figure conduit à des figures identiques (45, cor. 5); 2* les conditions spéciales de l'égalité des triangles (égaux quand ils ont un coin égal, d'où la symétrie des triangles isocèles, etc.); la propriété des triangles égaux qu'aux côtés ég;uix sont opposés des angles égaux et réciproquement; enfin la propriété des coins semblables de renfermer le même angle entre côtés proportionnels (126, 127, 130 et cor., 117, 136).

Cela admis, voici la démonstration directe de la proposition 137, que, dans les triangles semblables, les angles sont égaux chacun à chacun et les côtés homologues proportionnels.

Dé)n. — Soit (fig. 39) un triangle scaléne ABC. Ce triangle est déterminé par l'un quelconque de ses coins, soit A, soit B, soit C.

Majorons tour à tour chacun d'eux dans le même rapport arbitraire f :m ; nous formerons ainsi trois triangles semblables au triangle ABC, à savoir AB'C, A'BC", A"B"C, et égaux entre eux, puisqu'ils ont même grandeur et même forme (45, cor. 5).

Il résulte de la construction que

Fig. 39.

AH' = 7nAB; (I) IJA' = mBA; (4)

AC'==mAC; {-l) CA"=mCA; (5)

BC" = mBC; (5) (:B"== mCB; (G).

De la comparaison des égalités (1) et (4), (2) et (5), (3) et (6), il suit (|ue : AB'=BA'; (7) AC' = CA"; (8) BC" = CB"; (9).

Enfin de ce que les triangles égaux ont leurs angles égaux cliîicnn à chacun et qu'aux côtés égaux sont opposés des angles

égaux, il résulte respeciivement des égalités (7), (8) et (9), l'égalilé des angles C et G" (10); B' et B" (il); A' et A" (12). Mais nous ne savons pas el nous avons à démontrer que

B'C' = wiBC; (15) A'C" = «jAC; (14) A"B" = wAB (lo)

et que les angles C el C" sont égaux à C (16); B' et B" à B (17); A' et A" à A (18).

Or si, dans les deux triangles égaiix AB'C et ABC", où l'angle C = C" (10), l'angle A n'était pas égal à l'angle A', il serait égal à l'angle B', et par conséquent le triangle AB'C et son semblable ABC seraient isocèles, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc l'angle A = A' = A" (18); B = B' = B"(17) et C = C'=C"(16). C.Q.F.D.

L'angle A étant égal à A', il s'ensuit que B'C = BC", et comme BC" = mBC (3), il s'ensuit que B'C = w/BC (15); et de même nous trouverons que A'C" = m\C (14) el que A"B" = mAB(lo). C. Q. F. D.

Sculie. — La condition que le triangle ABC fût scalène était nécessaire. Il est clair, en effet, que si le triangle était, par exemple, équilalèral, h'C n'égalerait pas seulement mAB, mais aussi 7nBC el 7nAC, et l'angle B' ne serait pas seulement égal à B, mais aussi à C et à A. Observation analogue pour le cas où le trianffle ABC serait isocèle.

Ici se termine la théorie de la similitude des triangles. Klle aurait pu être abrégée notablement, je l'ai dit à maintes reprises. Elle est, en effet, contenue tout entière dans celle de la similitude des droites interrompues (72) el des coins (117) et n'en constitue qu'une pure application. Les longues démonstrations dont les théorèmes qui suivent ont été l'objet, n'avaient d'autre raison d'êlre que de ne pas rompre trop radicalement avec les procédés usuels. On pressent que la recherche des conditions de similitude des autres figures planes ou spatiales ne présentera aucune difficulté nouvelle. C'est ce que nous allons faire voir brièvemcnl '.

• Le lecteur désireux de plus amples (Jévcioppemenis les trouvera dans mes l'rolégoménes, p|i. ilT el suiv.

Appelons /if/ures de même genre celles qui sont comprises sous la même défmiiion; pîir exemple, les triangles (sous-genres : triangles isocèles, triangles reclangles, etc.), parallélogrammes (rectangles, carrés, etc.)» circonlôrences; les parallélipipèdes, pyramides, cylindres, cônes; les ellipses, hyperboles, paraboles, cycloïdes, chaineilcs; les hélices, sphères, ellipsoïdes, paraboloïdes, etc.; et appelons figures de mente espèce les ligures semblables dans chaque genre. Les ligures d'une espèce donnée, par exemple, les triangles reclangles isocèles, ne différant qu'en grandeur, seront engendrées par la majoration (ou minoration) d'une seule et même ligure prise pour type, par exemple un triangle rectangle isocèle déterminé. Il sufïii donc de connaître un seul exemplaire de l'espèce pour avoir toute l'espèce. Or, étant préalablement donnés les éléments de la description du genre, quels seront ceux de la description de l'exemplaire pris pour type? Ce seront évidemment les conditions de l'égalité des ligures dans ce genre. Ainsi, comme ces triangles-là sont égaux qui ont un coin égal ou leurs trois côtés égaux ciiacun à chacun, il s'ensuit qu'avec un même coin ou les mêmes trois côtés on ne peut que faire indéfiniment le même triangle.

Appelons squelette de la ligure l'ensemble de ces éléments qui déterminent un type. Nous pourrons, sans qu'il soit besoin de démonstration, énoncer cette proposition générale que « les figures d'un génie déterminé sont semblables quand leurs squelettes sont semblables ». Or, le squelette se ramène en définitive toujours à des portions de droite faisant ou non entre elles certains angles. 11 en résulte que les conditions de similitude des figures d'un genre déterminé sont la proportionnalité de ces portions de droite, jointe, s'il y a lieu, à l'égalité des angles qu'elles font entre elles.

De là, les coriséquences importantes qui suivent ;

Si le squelette d'une ligure se réduit à une portion de droite unique, cette figure appartient à une espèce-genre, c'est-à-dire à un genre (|ui ne comporte qu'une seule espèce ou rien que des ligures semblables. Tels sont les cireonférences, sphères, hyperboles équilatères, paraboles, cycloïdes, polygones réguliers d'un même nombre de côtés.

Si le squelette comprend plus d'une portion de droite, les ligures seront semblables quand ces portions seront dans le même rapport. Tels sont les ellipses, déterminées individuellement par la distance focale et le grand axe; les hyperboles, déterminées par la différence des rayons vecteurs et la distance locale; les cônes circulaires droits, déterminés par le rayon de leur base et leur hauteur; les hélices, déterminées parle rnyon et le pas; les chaînettes, déterminées par leur longueur, la distance des points d'attache et la différence de hauteur de ceux-ci au-dessus d'un plan horizontal, etc.

Si le squelette comprend en outre des angles, il faut que ces angles soient identiques. Par conséquent, s'il comprend seulement une longueur et un angle, ces Hgures-là seront semblables dont le squelette contiendra le même angle. Tels sont les triangles rectangles ayant un même angle aigu ; les triangles isocèles ayant le même angle au sommet ou à la base; les losanges ayant un même angle; les secteurs circulaires et les ares de cercle de même angle; les loxodromiques faisant le même angle avec les méridiens ; etc.

Si le squelette renferme phis d'une longueur, il va de soi que leur proportionnalité doit s'ajouter à l'égalité des angles. Ainsi (les ellipses et des hyperboles sont semblables si leurs diamètres conjugués sont proportionnels et font le même angle; deux ellipsoïdes, si leurs axes rectangulaires sont proportionnels; deux cônes circulaires obliques, si leurs axes et les rayons de leurs bases sont proportionnels, et si l'angle de leur axe sur le plan de la base est le même; etc.

On peut parfois remplacer une longueur par tm angle et réciproquement. Ainsi, au lieu de la différence de hauteur des points d'atlache de la chaînette, on peut donner l'angle que la droite qui les joint l'ait avec un plan horizontal, cl au lieu du pas de l'hélice, l'angle qu'elle fait avec les génératrices du cylindre.

inutile de multiplier ces exemples. Ils sufliseni pour montrer la fécondité du principe de l'homogénéité de l'espace.