CHAPITRE VIII. — Le postllatlm d'Elclide

Après ces digressions, nous reprenons la suite de nos ihéorémes €l abordons la démonslraiion directe du postulalum d'Euclide. iVous avons pu nous en passer jusqu'ici. C'est assez dire qu'on sera rarement ilans la nécessité d'en faire usage. Au fond, ce n'est presque plus (|u'iMie simple curiosité, comme il y en a d'autres encore dans les sciences mathématiques.

Reportons-nous à la définition du bianrjle unilatère (124) et au scolie premier, qui, par extension, fait rentrer dans les biangles de cette espèce la figure formée de deux parallèles coupées par une sécante. Comme les parallèles ne peuvent se rencontrer (118, cor. I), celte figure ne peut devenir triangle. La question est maintenant de savoir s'il existe des biangles dont les côtés libres non parallèles ne se renconirent pas, si loin qu'on les prolonge.

A cette question, le postulatum d'Euclide répond négativement; il affirme que les droites non parallèles se rencontrent si on les prolonge suffisamment.

Le scolie de la proposition 1 18 fait remarquer (|iie la définilion des parallèles (droites ayant même direction) est la dérivée (4.7) de la définition de l'angle (semi-droites partant d'un même point, 94).

Ceci demande quelque développement.

Celte définition de l'angle, en tant que définition de figure, est irréprochable. Mais comme l'angle de deux droites subsiste même si on ne les prolonge pas jusqu'à leur point de rencontre, elle donne lieu à quatre propositions :

1° Principale. — Les côtés d'un angle (c'est-à-dire deux droites qui partent d'un même point) ont des directions diiïérentes.

2* Inverse. — Deux droites qui ont des directions diiïérentes, forment un angle (c'est-à-dire se renconirent).

3" liéciproque. — Deux droites qui ne forment pas d'angle (c'est-à-dire qui ne se rencontrent pas), ont même direction.

4" Dérivée. — Les droites qui ont même direction ne forment pas d'angle (ne se rencontrent pas).

On voit immédiatement que la proposition 4" est la dérivée de la proposition 1°, et par conséquent, prise comme définition, elle est légitime au même litre ei au même degré que celle-ci.

Le postulatimi d'Euclide peut se mettre à volonté sous la forn>e 2' — c'est colle que nous avons choisie — ou sous la forme 5". Nulle pari, que je sache, il n'est présenté de celte dernière (îiçon, mais il l'est sous une forme équivalente : Par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite (une parallèle, c'est-à-dire une droite qui ne rencontre pas l'autre).

C'est parce que paieille iransfornialion me parait inévitable que je préfère la forniiile 2°. Au fond, cette formule est identique avec la proposition même d'Euclide, car les droites non parallèles sont des droites qui font avec une même sécante et du même côté de celle-ci deux angles dont la somme diffère de deux droits.

On pourra s'étonner que nous ne voyions pas dans le poslulalum une conséquence du théorème sur la somme des angles du triangle. C'est pourtant là une opinion assez générale. Celait celle de Legcndre. Cet ingénieux géomètre, en effet, démontre à l'aide d'un procès à l'infini que si, par supposition, on pouvait par un même point tirer deux parallèles à une même droite, il serait toujours possible de mener enlre elles une droite passant par ce point et rencontrant la droite donnée.

Critiquant autiefois celle démonstration, je disais que, même en l'admellani comme irréprochable, elle ne résout pas la dilïïcullé dans son essence. Elle établit, si l'on veut, que toute droiie qui fait un angle fini avec la vraie parallèle rencontre la droite donnée; mais il faudrait prouver que celte parallèle ne peut pas osciller si peu que ce soit aulour de sa position sans rencontrer celle dernière droite d'un côté ou de l'autre '• ou encore —

' Voir l'roléqo mènes, pj) :21G et suiv. A ce propos, p. -218, je dis que la démonstration de Legcndre tombe u sous le coup de la critique que j'ai dirigée contre les ineoniiuensuraltles » ; que Legcndre et son contradicteur

c'est ce que demandait M. Folie — qu'une droite Iracée dans un angle et suffisamment prolongée, rencontre nécessairement au moins l'un des côtés *.

En d'autres termes, il n'a pas été démontré qu'étant donnés trois angles dont la somme fait deux droits, on puisse toujours former un triangle qui les renferme (cf. ISO*"'', observation).

Je disais aussi ^ : « Le postulatum d'Euclide a une signification bien plus haute que celle qu'on lui attribue généralement.

pourraient se poursuivre éternellement s'ils divisaient indéfiniment, l'un, l'angle que fait la fausse parallèle avec la vraie, l'autre, l'angle que fait la vraie parallèle avec la sécante qu'il construit entre elles deux.

Je saisis cette occasion pour revenir sur ma note de la page 33; je m'y accuse d'ignorance : je ne croyais pas dire si juste. Quelque temps après qu'elle avait été imprimée, M. Louis Couturat, le 12 juin, présentait à la Faculté des lettres de Paris, comme thèse pour le doctorat, un mémoire des plus remarquables au point de vue philosophique et, autant que je puis en juger, des plus savants, sur VInfini mathématique. Je n'ai pas encore eu le temps, cela se conçoit, de lire ce gros volume de près de 700 pages. Mais si, lors de l'impression de ma note, j'en avais lu seulement le premier livre, où il est traité précisément du même sujet, je ne l'aurais certes pas publiée. Ce n'est pas que je sois prêt à abandonner toutes les idées que j'y développe, ni à déclarer toutes les difficultés levées, mais la science de M. Couturat a ébranlé mes convictions, et en tout cas m'a démontré, clair comme le jour, que la question des incommensurables avait, depuis l'époque où elle attirait mon attention, été travaillée et fouillée profondément par des penseurs dont j'ignorais les travaux.

* Il a paru à Leipzig (Teubner, 189o) une histoire par Paul Haeckel de la Théorie des parallèles depuis Euclidê jusqu'à Gauss. Rendant compte de cet ouvrage dans la Revue des questions scientifiques (2« série, 189S, t. VIII, pp. 603-6)3), M. Paul Mansiou, professeur à l'Université de Gand, signala l'omission par cet auteur des travaux de Legendre, « qui, dil-il, ont contribué beaucoup plus que ceux de Wallis aux progrès de la théorie des parallèles et sont plus originaux qu'ils no le paraissent au premier abord ». J'ai analysé ces Iravaux dans mes Prolégomènes ; mais je ne sais comment il s'est fait que je n'ai pas relevé ce passage de la note II de la douzième édition, rappelé par M. Mansion, qu' « il fallait déduire de la dotinilion de la ligne droite une propriété, qui exclût toute ressemblance avec la ligure d'une hyperbole comprise entre ses asymptotes ». C'est celle [)ro|)riélé que postulait le lemnie de M. Folie (v p. 6).

* Voir Proléyomènes, pp. 202 et suiv.

Pour devenir néyaiive, de positive qu'elle élail, une quantité qui varie d'une manière continue doit passer par zéro ou par l'infini; dans les deux hypothèses, la position intermédiaire est unique; et la seconde implique toujours le poslulatum d'Euclidr. Nous nous expliquons.

• Soient .MN et AC (fig. 40) deux droites perpendiculaires, et convenons de regarder comme positives les quantités comptées sur MIV à droite du point C, et comme négatives les quantités comptées à gauche du même point. Une droite qui tourne auiour du point A de droite à gauche, coupe la droite MN en des points tels que B, de plus en plus éloignés du point C, c'està-dire en des points à une distance CB positive de plus en plus

cl \B

Fig. .'.0.

grande; cette distance devient infinie quand la droite a pris la position QP, parallèle à MN. Elle passe immédiatement au négatif par la continuation du mouvement qui amène la droite en AD. Quand elle a pris la position AC, l'abscisse est nulle, pour redevenir ensuite positive. Or, les positions AC et QP sont uniques; il est plus facile de le démontrer pour le cas de la perpendiculariié (101, eorol. 4) '; mais le cas du parallélisme est rétif. ■

Si l'on reprend la formule que nous avons donnée du postulai, — deux droites non parallèles suffisamment prolongées se rencontrent, — on voit que la démonstration n'est valable que si l'on assigne le point de rencontre. C'est ce que nous allons faire, et cela très simplement.

« J'ajoute en note ceci : « Et pourtant encore la proposition que d'un point extérieur on ne peut abaisser qu'une perpendiculaire à une droite, n'est pas, jusqu'à présent, démontrée d'une manière bien simple et sans une duplication de la figure. » Il y a en effet un j)ostu!at de la perpendicularité comme un postulat du parallélisme. Mais celui-ci frappe davantage parce que, à première vue, on ne voit pas comment ou passe brusquement de l'inlini positif i» l'infini négatif. (Voir note 1, p. 34..)

( lot )

Fig. 41.

141. Théor. — Deux droites non parallèles, c'est-à-dire deux droites qui font avec une même sécante et du même côlé de celle-ci deux angles internes dont la somme est inférieure à deux droits, font avec toute autre sécante deux angles internes dont la somme est la même et par conséquent inférieure à deux droits.

Dém. — Soient (fig. 41) AX et BY deux droites faisant avec la sécante AB et audessus de celle-ci deux angles XAB, YBA tels que : XAB -4- YBA < 2 dr. . . . (I)

Prenons sur l'une et sur l'autre de ces droites deux pointsCetD, et relions-les par une sécante. Je dis que l'on aura l'égalité

XCD -t- YDC = XAB -H YBA (2)

En effet, joignons C et B par une droite; nous aurons (152) :

XCB = XAB -4- CBA (5)

D'autre part :

YBC = YBA -

Additionnons (3) et (4); il vient :

XCB -f- YBC -= XAB -t- YBA (5)

Or, CD est par rapport à CB ce que CB est par rapport à BA ; l'on démontrerait de même que

XCU -H YDC=XCB -H YBC (6)

De la comparaison de (5) et (6), on lire l'égalité (2), cl de la comparaison de (1) et (2), l'inégalité

XCD M YDC < 2 dr. C. Q. F. D.

149. Théor. — Si, dans la figure formée de deux droites non parallèles, c'est-à-dire faisant avec une même sécante et du même côté de celle-ci deux angles dont la somme est inférieure à deux droits, on mène par un point de l'une une droite faisant avec elle un angle égal à l'excès de deux droits sur celle somme, cette droite sera parallèle à l'autre, et elle coupera la sécante dans sa partie interceptée.

CBA

Dém. — Soient (fig. 42), comme précédemment, deux droites AX et BY faisant avec une sécante arbitraire AB deux angles ^ Y internes dont la son)me est inférieure à deux

droits. Prenons un point C quelconque sur la droite AX et menons par ce point la droite CZ faisant avec AX un angle ZCX = 2 droits — (XAB -+- YBA); je dis que cette droite CZ prendra la position indiquée dans la figure. Eu effet, la somme des angles XCD et YDC faits

Fi" 4'' • 1 «-1I-W

» avec une autre sécante quelconque CD passant

par C, est aussi inférieure à deux droits (141), et par conséquent la droite CZ tombera à gauche et son prolongement à droite de AX. De plus, elle sera parallèle à Y, car la somme des angles internes du même rôté de CD sera égale à deux droits. Enfin, elle coupera la sécante AB, car elle doit sortir de la figure fermée ABDC (80) et elle n'en peut sortir en coupant la droite DB, puisqu'elle lui est parallèle; elle coupera donc AB en un point tel que E appartenant à la partie interceptée. C. Q. F. D

143. Théor. — Deux droites non parallèles, si on les prolonge suffisamment, finissent par se renconirer, et elles se rencontrera du côté où la somme des angles internes qu'elles font avec une même sécante arbitraire est inférieure a deux droits.

Dém. — Soient (fig. 45) AX et BY deux droites non parai - R lèles et faisant avec une même sécante

/'■ arbitraire AB deux angles itiiernes XAB,

• • YBA dont la somme est inférieure à

• \ deux droits. Je dis que, suffisamment prolongées, elles se rencontreront en un point R, situé au-dessus de AB.

En effet, d'un point quelconque C pris

sur l'une des droites, soit la droite AX,

menons une parallèle CE à l'autre droite

'^' BY; cette parallèle coupera la sécante AB

quelque part en un point E de la partie interceptée (142). On

aura ainsi un triangle ACE. Majorons ce triangle du point A

comme cenlre de majoration (138); la droite CE va se mouvoir parallèlement à elle-même, le point E se déplaçant sur AB, le point C sur AX. Quand E coïncidera avec B, la droite CE coïncidera avec la droite B\", et le point C sera à la fois sur AX et sur CY, et sera devenu le point de rencontre B de ces deux droites Ce point R est sit.ic sur AX à une distance telle que l'on a : AR : AC = AB : AE.

Scolie. — Le triangle ABR est semblable au triangle AEC.

Cor. 1. — Deux droites qui ne se rencontrent pas, sont parallèles.

Cor. 2. — Toute droite qui en coupe une autre, coupe toutes les parallèles à cette autre.

Cor. 5. — Toute droite qui fait un angle déterminé avec une autre droite, fait le même angle avec toutes les parallèles à cette droite

Cor, 4. — Toute perpendiculaire à une droite est perpendiculaire à toutes les parallèles à cette droite, et toutes les perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.

Scolie. — Ces propositions, qui ont l'air d'être établies un peu laborieusement, découlent directement de la définition de la direction et des parallèles, et il suffîrait de les énoncer.

144. Théor. — Par un point pris hors d'ime droite, on peut abaisser une perpendiculaire à cette droite et l'on ne peut en abaisser qu'une.

Déni. — En effet, si d'un point 0 (fig. 44) on pouvait abaisser sur la droite X deux perpendiculaires OA et OB, on formerait

Fig. 4k

un triangle ayant deux angles droits. Ou encore, si par 0 on pouvait mener ime parallèle Y à X, on aurait au poifii (), contrairement à une proposition antérieure, deux perpeiuliculaires à Y (101, cor. 3).