CHAPITRE IX. — La mesure des lo.ngueuks ou les distances

Nous allons entrer dans un nouveau domaine de la géométrie, la mesure des grandeurs.

Nous nous bornerons naturellement à la mesure des longueurs, c'est-à dire des lignes. On sait que la mesure des surfaces et des solides se ramène à celle de certaines lignes.

Toute mesure suppose une unité définie de mesure. Par cela même louie grandeui' mesurée nu bien à mesurer, en d'autres termes tout quantum, est censée composée d'unités ou de fractions d'unité; par conséquent, elle est censée isogène, c'est-à-dire indéfiniment décomposable en parties égales. Donc l'unité ellemême, qui en est une portion, est une grandeur isogène.

Dans le fait, il en est ainsi. Portions de droite ou arcs de circonférence, angles plans ou dièdres, carrés, cubes ou fuseaux spbériques sont des unités isogènes.

Mais l'unité simplement isogène ne peut servir à mesurer que le quantum où elle est prise. Par exemple, un arc de circonférence ne peut mesurer que des arcs de la eirconférenec à laquelle il apparticMit; cotte espèce d'unité cliange de forme avec le rayon : un arc de deux degrés ne ressemble pas à un arc d'un degré pris sur une circonférence de rayon double. Seule, l'imilé homogène — laquelle, comme on sait, est également isogène (44) — reste inaltérée dans sa forme, qu'on la multiplie ou qu'on la majore. Elle est donc toujours prête.

De là vient que l'unité universelle pour la mesure des longueurs est une portion de ligne droite; celle des surfaces, une portion de plan; de même que, forcément, l'unité de volume est une portion d'es|)ace.

De là \ienl aussi que mesurer une courbe au moyen d'une portion de droite, c'est la rectifier, et que mesurer une surface courbe au moyen d'une portion de plan, c'est la planifier '.

* Voir commciil nous exposons ccUc question dans les Prol'yomèncs (pp. 262 cl suiv.)

Jusqu'à présent nous n'avons pas eu à invoquer la propriété de la ligne droite de mesurer la plui, courte dislance entre les points qui la terminent (cf. 70).

A aller au fond des choses, ce n'est pas la notion de droite, mais celle de distance qui fera les frais des théorèmes qui vont suivre. Or, pour tout le monde, la distance entre deux lieux est le plus court chemin qui mène de l'un à l'autre. Ainsi chacun ratifiera sans hésitation une assertion comme celle-ci, que depuis le percement du Goihard la dislance entre Lucerne et xMilan est raccourcie. Sur notre globe, les distances les plus courtes, même les distances que l'on dit à vol d'oiseau, sont fatalement des arcs de grand cercle.

La nature d'ailleurs ne connaît pas de ligne droite. Ni l'aérolithc, ni la foudre, ni le son, ni la lumière, n'en décrivent. Ils suivent cependant le plus couii chemin; mais ce chemin est la ligne de moindre résistance, ce n'est pas la ligne droite. Celle-ci n'a qu'une existence idéale dans et par la conception de l'espace géométrique, de l'espace homogène; c'est en lui seul qu'elle mesure les dislances '.

Aussi, quand on parle géométrie, les notions de droite et de dislance tendent à se confondre et à se fondre; et la droite nous apparaii comme seule propre à nous donner la mesure de la dislance absolue des points de l'espace.

De là vient que de tout temps on a été porté à la définir comme la ligne minimum, ou sinon, à lui accorder ce caractère soit par un axiome ou un postulat, soit par un théorème.

J'ai critiqué ailleurs * et la définition et l'axiome ou postulai. Pour moi, la proposition que la ligne droite est le plus court chemin a toujours été bel et bien un théorème à démontrer. Mais il s'en faut que les démonstrations que nous en avons soient satisfaisantes.

* Ceux qui prendront la peine de lire mes Prolégomènes (pp. ^25 et suiv.) verront que j'ai changé quelque peu d'avis, et que je suis moins dispose aujourd'hui à comhallre Leibnitz qu'à ado|.t('r sa manière de voir.

- Prolégomènes, pp. 18-2 et suiv.

( iOG )

N'en prenons qu'une, celle qu'on trouve dans Rouché-Combe- ROUSSE et imitée d'EucLiDE(1, 18-21), et voyons par quelle longue série de déductions passent ces auleurs pour arriver à établir, non pas que la ligne droite est la plus courte de toutes les lignes dans ["espace, mais uniquement qu'elle est plus courte que toute ligne brisée plane ayant les mêmes extrémités — proposition bien trop restreinte et qu'ils ne songent pas à étendre par la suite.

Je reproduis la démonstration à partir de la proposition 34.

• Théor. 34. — Si un triangle a deux côtés inégaux, l'angle opposé au plus grand de ces deux côtés est plus grand que l'angle opposé à l'autre.

» Soit (lig. 45) le triangle ABC, dans lequel on a AC>AB; il faut démontrer que l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB.

Prenons AD = AB, et menons la droite BDK; le triangle ABD étant isocèle, l'angle ABD est égal à l'angle ADB ou à son opposé par le sommet KDC; l'angle KDC est ilonc moindre que ABC.

<• Joignons le point B au milieu I de DC, prolongeons Bl d'une longueur lE égale à Bl et lirons la droite DE; les triangles DIE, BIC ont un angle égal DIK = BIC compris entre deux côtés égaux DI == IC; El = IB; ils sont donc égaux et l'angle EDI est égal à l'angle ICB; mais d'après la construction, le point E est situé dans l'angle KDC ; donc l'angle KDC est plus grand que KDI ou que son égal ACB.

» Donc enfin, l'angle KDC étant supérieur à ACB et inférieur à ABC, il faut que l'angle ACB soit moindre que l'angle ABC. »

Voilà sans doute — et au début de la géométrie — une démonstration bien laborieuse et bien artificielle. Elle nous fait admirer la sagacité ingénieuse du géomètre, mais elle ne se grave pas facilement dans la mémoire. Elle exige trois lignes droites auxiliaires; elle s'appuie sur une propriété du triangle

isocèle démontrée tellement quellemeni (voir 127, observation), et sur un cas d'égalité des triangles; elle introduit enfin d'une manière détournée une parallèle DE, qui, tracée franchement si on l'avait pu, raccourcissait le raisonnement de plus de moitié.

Il n'y a pas une des propositions intermédiaires, par exemple que le point E est situé dans l'aniile KDC, qui, au premier abord, n'apparaisse comme plus douteuse que celle à laquelle on vent aboutir, à savoir que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre; car à quel signe reconnaît-on qu'un point est situé dans un angle?

Et pourtant ce n'est pas tout. Il faut encore passer par la réciproque (prop. 33); puis par le théorème 36 et son corollaire 37, que « dans un triangle un côté est plus petit que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence », proposition en elle-même moins évidente encore que celle que l'on a en vue, à savoir que la ligne droite est plus courte qu'une ligne brisée ayant les mêmes extrémités. En effet la plus simple des lignes brisées est formée par les deux côtés d'un triangle. N'est-ce pas le cas de rappeler ce principe que toute démonstration compliquée d'une proposition simple est mauvaise? Certes, il faut parfois s'y résigner, mais toujours avec l'arrière-pensée de la remplacer, quand on le pourra, par une plus simple.

Conclusion : l'ordre rationnel des propositions est : 1° la lii;ne droite est le plus court chemin d'un point à un autre; 2* un côté d'un triangle est plus court que la somme des deux autres; 3° en corollaire, la ligne droite est plus courte qu'une ligne brisée quelconque ayant les mêmes extrémités; 4° dans un triangle, un plus grand angle est opposé à un plus grand côté.

C'est précisément ce que nous allons faire. Une remarque encore. La proposition 1°a besoin d'être complétée par le scolie, — pour nous servir du langage d'autrefois, — que toute ligne courbe peut être considérée comme une ligne brisée à côtés infiniment petits. Nous nous bornons à le rappeler. Ce scolie peut venir après le 3", ou même plus tard encore. Il suffit alors de le mettre en rapport avec la proposition i".

Fig. 46.

Lemme. — Entre deux poinls d'un plan, on peut tracer plusieurs chemins de différentes longueurs.

Soit une droite AB (fig. 46) entre deux points A et B d'un plan ; on peut sur cette droite construire un triangle équilatéral ABC, en inclinant sur AB, aux poinls A et B, en sons contraires, deux angles de | de droit. Le chemin ACB a deux fois la longueur du chemin AB.

On peut allonger ce chemin par le même

procédé en construisant sur AC un nouveau

triangle équilatéral, et ainsi de suite.

On peut aussi le raccourcir. Soient M et N les deux points

milieux de AC et de BC ; le triangle MNC est équilatéral, et par

conséquent, le chemin AMIVB est plus court que ACB et plus

long que AB, de tout le chemin ÎMC = i AC.

De même, si S et T sont les milieux de AM et de Bi\, le chemin

ASTB est plus court que le chemin AMNB, et plus long que le

chemin AB du chemin AS = i AM= î AC, et ainsi de suite.

La question se présente donc de savoir si entre deux points

d'un plan il y a un plus court chemin et comment il est.

145. T/iéor. — De toutes les lignes qui peuvent relier deux points d'un plan, la ligne de moindre longueur (autrement la plus courte) est la portion de droite tracée entre ces deux poinls.

Déni. — Soit (lig. 47) la ligne AMINB In plus courte entre

Fig. 47.

A et B. Une portion quelconque MN de cette ligne est nécessairement aussi la plus courte des lignes menées entre M et i\. Or, vu que le plan ' est une surface homogène, la portion Mi\ ne peut différer de AB qu'en longueur, elle lui est donc semhlahle. Cette portion ayant été choisie quelconque, la ligne AB est donc indéfitnmenl décomposahic en portions semhiables; c'est donc

• On pourrait dire Veupare; le Ihcorcmc est donc valable pour Pcspacc.

une ligne homogène, c'est une droite; et comme entre deux points on ne peut mener qu'une ligne droite, la plus courte ligne est unique.

Cor. — La ligne droite est telle que toute portion d'elle, quelle qu'elle soit, esi la plus courte des lignes qu'on peut tirer entre les points qui limitent cette portion.

Scolie. — Si l'on se reporte à la définition de la distance entre deux points (70), on voit que cette distance est exprimée par la portion de droite qui les relie et par conséquent mesurée par la plus courte des lignes qui peuvent les relier. De là la définition vulgaire, juste mais très imparfaite, de la ligne droite : le plus court chemin d'un point à un autre.

146. Théor. — Dans tout triangle, un côté quelconque est moins grand que la somme des deux autres et plus grand que leur différence.

Dém. — En venu du théorème précédent, le triangle ABC (fig. 48) nous donne : AB < AG -f- CB. il donne de même l'inégalité : CB < AC -1- AB. Retranchons AC de part et d'autre de cette inégalité, il vient : AB>CB — AC. C.Q.F.D.

Cor, i. — Par conséquent, pour qu'on puisse construire un triangle avec trois côtés donnés (130''"), il faut que chacun d'eux soit Fig. 48. mollis grand que la somme dos deux autres

et plus grand que leur différence (cf. 131, cor. 2).

Cor. 2. — Un côté quelconque d'un polygone (fermé) est moins grand que la somme de tous les autres.

Cor. 3. — On peut coucher sur une même ligne droite bout à bout tous les côtés d'un polygone, et obtenir ainsi la longueur de son contour ou de ce qu'on nomme son périmètre. La ligne droite peut servir ainsi à mesurer toutes les lignes polygonales, et à les comparer entre elles.

147. Théor. — Si d'un point pris dans l'intérieur d'un triangle on mène des droites aux extrémités d'un même côté.