Les dimensions entrent par conséquent, d'une manière

• Au [tuint de vue de la description des figures, c'est là une inexactitude. Seule, la ligne droite n'a qu'une dimension, et seule, la surface plane n'a que deux dimensions. Une ligne brisée ou une ligne courbe peut en avoir deux ou bien trois suivant que, pour la définir, il faut la supposer tracée sur un plan, ou bien sur une autre surface ou dans plusieurs plans. C'est en tant que droite ou rectifiée que la ligne n'a qu'une dimension, et en tant que plane ou planifiée que la surface n'en a que deux.

* Je crois qu'aucun auteur n'a essayé de donner une définition de la dimension. Je ne sais ce que vaut la mienne.

explicite ou implicite, dans l'expression de la mesure de l'étendue des solides, des surfiiees et des lignes '.

Mais quand il s'.igil de la mesure des surfaces cl des solides, le mol dimension prend un sens reslreinlel conveniionnellcmenl dciifii suivant le genre des surfaces ou des solides à mesurer *.

93. — L'étendue, en tant (\uv mesurée ou conçue comme mesinable, est une grandeur.

«4. — Toute ligure mesurable est censée limitée.

Hh. — La grandeur dun solide s'a()pclle ordinairemenl toimne; celle d'une surface, rt/rc ou superficie, et quelquefois \\w?>û sur face; celle d'une ligne, longueur.

' Que retendue nous apparaisse avec trois diiueiisioiis, c'est un lait et un fait jusqu'à prcse.it irréductiMc — analogue en iui-nicme à la loi d'attraction, qui lui est intimement lice. Toutefois, de même que nous pouvons concevoir une étendue à deux dimensions, — la surface ou mieux le plan, — de même nous pouvons aussi concevoir une éteiiilue à quatre dimensions et davantage. Mais tandis que nous pouvons, pour nous représenter la surfaee, faire abstraction de la troisième dimension, nous sommes impuissants à imaginer une élentliie ;i quatre dimensions parce que la place nous manque pour introduit c la qualtième dimension. Les géométries à plus de trois dimensions sont donc imaginaires, — le terme imaginaire étant pris comme l'opposé d'imaginable, — bien quelles puissent avoir un caractère et une valeur réels en tant i]u'elles sont une généralisation impliquant la réalité comme cas particulier. (Voir Lofjiqne alyorillmiiquc, Liège, Desoer, notes, pp. 13 et suiv.)

' Quand on dit que les deu\ dimensions d'un triangle sont sa hase et sa hauteur, c'est qu'on admet que la hase, en tant que génératrice, va se rétrécissant, pendant qu'elle se meut depuis le pied de la iiauleur jiiMiu'au sommet (17). Si le triangle se conlournail et se gauchissait, la base cl lu hauteur pourraient cesser d'être des lignes droites qu'on serait quand même en droit d'y voir des lignes propres à nous faire eoninllre les dimensions.de la ligure. De sorte que, d'une manière générale, deux ou trois lignes arbitraires qui se coupejit dans une ligure ou dans un solide et qui en atteignent les limites — car tout ce (|ui se mesure est censé limité — |icuvent être prises pour les dimensions de celte figure. Mais le choix des lignes tracées à cet elTel est déterminé par des lonsidiMaliitiis théoriiiues ou prati(iues.

S6. — Les dimensions, prises isolémeni, portent ilifTéronts noms : longueur, largeur, base, hauteur, épaisseur, profondeur.

Ces noms sont interchangeables, en ce sens qn^on peut appeler cliaeime des dimensions par l'un quelconque de ces noms.

Cependant, quand il s'agit d'une simple ligne ou d'une grandeur qu'on ne considère que sous une seule dimension, on se sert plus généralement du terme longueur.

S'il s'agit d'une surface, les termes longueur et largeur sont ordinairement usités pour désigner la plus grande et la plus courte dimension.

Enfin, quant aux volumes, on appelle habituellement longueur, largeur, épaisseur, la plus longue, la moyenne, la plus petite dimension '.

' L'usage a consacre certaines manières de designer les dimensions, et les auteurs, tout en s'y confoimant, négligent d'ordinaire ce chapitre au moins utile, sinon indispensable.

Ainsi on dira Itautciir pour la dimension mesurée de bas en baut au-dessus du sol, et profondeur pour la dimension mesurée de haut en bas au dessous du sol. principalement dans le vide. On dira donc la hauteur d'un nuage, d'une tour, d'une berge; la profondeur d'un précipice, d'un puits, d'une rivière.

Le mot profondeur est encore le plus ordinaire pour la mesure d'un creux, tandis que Vépaisseur se dira de la mesure «l'un plein : la profondeur d'un bâtiment, d'une armoire, d'une caisse; l'épaisseur d'un massif de maçonnerie, d'un pilier, d'une poutre.

On dira aussi la longueur du pont et la largeur du fleuve, bien qu'il s'agisse ici de la même mesure. Mais c'est que la longueur est la grande dimension du pont, et que la largeur est la petite dimension du fleuve.

S'il s'agit d'un terrain longeant un chemin ou une rue, l'usage s'est étalili de dire largeur pour sa dimension à front du chemin ou de la rue, et profondeur pour l'autre dimension perpendieiilaire à celle-ci. Par conséquent, en parlant d'une maison, on donnera sa largeur, sa profondeur et sa bauteljr.

Quand la surface à mesurer est dressée, par position naturelle ou par destination, comme une porte, une fenêtre, un tableau, une gravure, une glace, on donne le nom de //ax/rur à la dimension qui serait à mesurer de bas en haut, cl l'autre dimension prend toujours le nom de lanjenr.

Pour certaines surfaces géométriipies cotnme les rectangles, les triangles, les trapèzes, les termes usités sont ceux de base et de hauteur, la base étant

^0. — On nomme en général hypothèses, el en géométrie |jIus spécialement postulats, des propositions qu'on demande d'HCcepier provisoirement comme vraies pour servir de fondement à la seience. Si elles sont justes, leur légitimité el leur solidité se manifesteront au fur et à mesure que la seience scdifiera.

88. — En géométrie, on nomme axiomes d'autres propositions du domaine de la logique, de l'arithmétique et de l'algèbre, que ces sciences ont démontrées, et qui, par conséquent, sont censées, pour le géomètre, ne plus avoir besoin de démonstration *.

8». — Le problème est une question que Ton fait concernant les objets d'une science.

Le problème géométrique est une question que l'on fait concernant les figures.

La réponse à un problème se nomme solution ou résultat.

30. — Le théorème est l'énoncé général du résultat des problèmes de même espèce.

un certain côlc de hi ligure, la liauteur étant la perpendiculaire élevée sur ce coté. Mais quand on mesure certains solides, tels que parallclipipèdes, prismes, cylindres, pyramides, cônes, etc., ou appelle hase la surface sur liKlUL'lle on se les rcprcscnle comme appuyés.

Quand, dans une surface, les deux dimensions sont égales, on garde d'habitude le terme largeur : la largeur d'un étang (circulaire).

Si, dans un solide, deux ou trois dimensions sont égales, on gardera le terme épaisseur : Vciinissciir d'une colonne, d'un cube.

' Cette définition est presque l'opposé de la définition vulgaire qui veut que l'axiome — à la dilTércncedu théorème — soil une vcrilc évidente par rlle-mcmc, en d'autres termes, n'ayant pas Iwsoin de démonstration. Malheureusement celte définition implique une définition de l'évidence, et c'est parce que l'on n'a jamais pu fournir celle dernière que l'on s'est querellé el qu'on se «luerelle encore sur le point de savoir si le postulat d'Kuclidc ne devrait pas être compté au nombre des axiomes, et si la définition courante de la ligne <lroile, le plus court chemin entre deux points, est bien une définilion, et si ce n'e^t pas plutôt un axiome ou un postulat.

La dénionslratiun ilu ihéoiéme est la géuéralisalion île la preuve du résiillnides problèmes de même espèce.

De là on a pu dire que le théorème est l'énoncé d'une vérité 4|ui devient évidente à la suite d'une démonstration '.

31. — Le letnine est une proposition, claire par elle-même, employée subsiili;urement comme prémisse ou comme explication à l'occasion d'une démonstration parliculière.

39. — Le scolie est une remarque ou commentaire servant à mettre en relief la portée d'un théorème ou ses rapports avec d'autres théorèmes déjà démontrés.

33. — Le corollaire est une proposition qui découle directement d'un théorème, qui n'en est qu'une extension, et qui ne demande pas à être démontrée à part, si ce n'est sommairement,