CHAPITRE IL — Les hypothèses oi i'OStllats de la géométrie

36. — 1. L'espace géométri()ue (4) est fait homogène, c'est-àdire que, dans toutes ses parties, quelle qu'en soit la grandeur, il est censé susceptible de recevoir les mêmes déterminations.

De là :

1° L'universalité idéale des propositions de la géométrie;

2* La validité générale des démonstrations, indépendamment de la grandeur des iigures qui en sont l'objet.

Par conséquent, le géomèire n'a égard ni au lieu ni à la grandeur de ses figures, qu'elles soient tracées sur une feuille de papier, sur un tableau, sur une plaee publique, ou dans l'immensité du ciel.

' Voir Prolégomènes, pp. 101 et suiv.

ScoUe i. — L'Iiomogénéilc esl donc ce qui dislingue l'espace géométrique de l'espace réel. L'espace réel esl hétérogène. Le corps le plus inaltérable ne peut s'y déplacer si peu que ce soit sans éprouver d'innombrables modilicalions dans sa consliluiion la plus intime. C'est ainsi, par excm|(le, qu'il sera altéré dans son poids pour peu (ju'il s'élève ou qu'il s'abaisse et que même il le perdra s'il descend jusqu'au centre de notre globe, ou s'il monte dans celte région où Tatiraclion de la Lune contrebalance celle de la Terre. Dans l'espace géométrique, au contraire, le déplacement d'une figure la laisse absolument intacte; elle est là ce qu'elle était ici et dans la Lune ce qu'elle était sur la Terre.

Scolie 2. — Il y a plus. Quelle que soil la portion de l'espace géométrique que l'on considère, elle est susceptible de recevoir toutes les délerminaiions imaginables, parce qu'elle est l'image agrandie ou réduite de louie nuire poriion. C'est ainsi que, dans un espace grand comme la sphère céleste, il n'y a pas un point qui n'ait son représentant disiinct dans une sphère de quelques décimètres de diamètre, dans une sphère grande comme une goutie d'eau, en un mol, aussi ptliie que l'on veut. Géométriquement parlant, on pourrait, sur un de ces globes lerreslres ipii servent dans les écoles, indiquer la place exactement correspondanle de clKupie point de la Terre. L'espace géomélri(|ue esl indénniment extensible et indéfiniment contraclile. C'est sur ceilc propriété que repose la légitimité des agrandissements et des réductions dont on fait tant usage dans les arts du dessin.

Mais celte propriété est en soi contradictoire, puisqu'elle implique qu'il y a autant de termes partiels dans le moins que dans le plus, dans le petit que dans le grand, dans la partie (]ue dans le tout •,

' Uiu; simiilc iriia^c |icul f;iirc saisir cclto coiilradiclion dans toute sa force, mais aussi dans toutes ses clonnaiitcs couscqiionccs. Un cercle est l'image d'un autre cercle. l'ij^urons nous donc une série infinie de cercles concentriques de plus en plus petits, el des êtres ayant la forme de petits arcs d( cercle, rani'és en se tourliant du coude sur le pourtour d'une cir-

C'esi pourquoi l'espace gôoinôirique esl un espace imaginaire, idéal, un espace abstrait et simplifié au delà lie toute expression. Seulement celte simpiidcation facilite et rend possible l'cludc des figures réelles qui, sans elle, serait inabordable.

Scolie 3, — Enfin les déterminations géométriqiies ne sont pas exclusives d'autres déterminations; en d'autres termes, l'espace géométrique esl indéfiniment pénéirable. Dans l'espace réel, les corps se repoussent en ce sens qu'ils ne peuvent élre plusieurs dans le même lieu. Dans le même espace géométrique, coexistent toutes les figures possibles. L'une n'exclut pas l'autre, et le lieu d'ime figure esl le lieu d'une infinité de figures identiques ou différentes *.

37. — II. Par une parlicularisation de ces propriétés de l'espace géométrique, on conçoit des surfaces homogènes, c'est-àdire telles que toutes leurs parties, quelle qu'en soit la grandeur, sont susceptibles de recevoir les mêmes déternn'nations.

conférence. Ces cires marchcnl vers le centre sans déformer leur rang Pour cela il faut qu'ils diminuent de laillc au fur cl à mesure qu'il font du chemin. Quand ils ont parcouru la moitié du rayon, ils ont perdu la moitié de leurs dimensions. Par cela même leurs pas sont devenus plus courls de moitié, el à leurs yeux la distance qui les sépare du centre n'a pas diminué, car ils ont encore le même nombre de pas à faire. Arrivés aux trois quarts de leur route, ils ne sont pas plus avancés. Leur taille a diminué des trois quarts, leur pas aussi, de manière que le quart du rayon qui leur reste à parcourir, leur fait rtffet d"étre aussi grand que Tétait le rayon entier au moment où ils se sont mis en marche. Ces êtres, s'ils sont intelligents el s'ils n'ont aucun indice qui leur donne le soupçon de leur rapetissement, doivent s'imaginer que le centre, but de leurs efTorls, est situé à l'infini el qu'ils ne l'alteindront jamais.

El, en efTel, ils ne l'alteindront jamais. — à moins que, par un phénomène analogue, le temps ne se précipite au fur el à mesure que le rayon diminue, aulremenl dit que, dans le même intervalle de temps absolu, le nombre des pas n'augmente en proportion qu'ils deviennenl j)lus courts.

' Est-il ncccs.saire de faire remaniucr (|ue ces scolies ne devraient pas, avec tous leurs développements, figurer dans une géométrie élémentaire? I.,e lecteur fera sans peine le départ de ce qui esl d'ordre didaclii]ue — con)me le premier alinéa du deuxième scolie — et de ce qui est d'ordre pliilosophique ; el il appliquera la même reniar(]ue à plusieurs des scolies qu'il va lire.

On appelle plans de lelles surfaces, ei l'on nomme figures planes les ligures iracées sur un plan.

3S. — m. Par une nouvelle particularisation, on conçoit des liynes homofjènes, c'esl-à-dire telles que toutes leurs parties, quelle qu'en soit la grandeur, sont susceptibles de recevoir les mêmes déterminations.

On appelle droites ou lignes droites de telles lignes, et l'on nomme figures reclilinéaires ' les fiizures tracées sur une droiti'.

Scolie. — Le plan et la droite sont des intuitions, c'est-à-dire des conceptions qui se voient dans et par l'esprit.

Ce sont aussi des données (19) au même titre que l'espace. De môme que, sans de l'espace, on ne peut créer l'espace, mais que, du moment qu'on a une portion d'espace, si petite soit-elle, on peut — si l'on veut, bien que ce ne soit pas nécessaire — l'agrandir par l'imagination, et la mulliplior indéfiniment; de même, sans une portion de plan donnée au préalable, on ne peut construire un plan, ni, sans une portion de droite donnée au préalable, tracer une droite.

Par anticipation, disons ici (|ue la portion de plan nécessaire pour construire le plan est censée élre fournie par l'insirumenl appelé rabot, et la portion de droite indispensable pour tracer une droite, censée eue fournie par l'instrument appelé règle.

39. — IV. De riiomogénéité de l'espace découle cette conséquence que la même ligure peut être représentée par une inliniié de ligures plus grandes ou plus petites.

Ce par quoi ces ligures diffèrent, c'est ce (|ue nous avons a|)pelé leur grandeur (25) ; ce par quoi elles se ressemblent, c'est la forme.

La forme est ainsi indépendante de la grandeur et peut rester la même quand la grandeur change, et inversement 2.

' Je n'ai pas pu me servir liu lernic tout indiqué île figures rectUignes, parce que l'usage désigne par là dos figures composées de lignes droites suivant deux ou trois dimensions de l'espace. • Voir Prolégomènes, pp. 129 et suiv.

éù. — Nous avons dit (2) que le but de la géométrie esi la description des figures. Nous pouvons maintenant préciser davantage ce but et dire que c'est la recherche des éléments de la mesure de leur grandeur et de ceux de la description de leur l'orme.

■il. Définitions. — Deux figures qui ont même forme et même grandeur sont égales.

Elles sont identiques quand elles sont susceptibles d'occuper exactement le même lieu (espace, surface ou ligne), ou, comme on dit encore, quand elles sont siiperposables ; elles sont symé' triques si, pour les placer dans le même lieu, il faut faire de l'aspect vide de la limite de l'une d'elles l'aspect plein et inversement '.

Celte dernière opération s'appelle retournement ^, rabattement ou demi-tour suivant qu'elle s'applique à une figure spatiale, plane ou rectilinéaire.

Dans les figures égales, les parties qui se superposeraient si l'on superposait les figures, c'est-à-dire si on les mettait dans le même lieu, sont dites similaires (par identité ou par sijmétrie).

49. Définitions. — Deux figures qui ont même forme mais non même grandeur, sont semblables.

Les figures semblables deviennent égales par agrandissement ou rapetissement, autrement dit par majoration ou minoration.

Majorer et minorer, c'est changer la grandeur d'une figure, soit en l'agrandissant, soit en la rapetissant, sans en altérer la forme.

lNous nous servirons en général des termes majorer ou majo-

' Voir dans mes Prolégomènes, pp. 24i et suiv., la critique de la définition ordinaire de la symétrie; et pp. loi et suiv., la critique de la définition de l'équivalence.

* Cette opération, l'imagination ne la saisit pas et Tcsprit ne la conçoit que par analogie. Mais ce que l'on comprend d'emblée, c'est que l'identification des solides suppose que l'un est considéré comme vide si l'autre est considéré cotnme plein.

ration pour indiquer loul changemciu tle grandeur en plus ou en moins non accompagné de cliangemenl de forme.

Dans 1rs figures scmblaMes, les parlies qui deviendraient similaires si par majoration on rendait ces ligures égales, sont dites homologttcs '.

Scolie. — L'espace géométrique, le plan el la droite peuvent ainsi èirc caractérisés par la propriété d'admettre des figures semblables.

On verra par la suite que la forme d'une figure dépend uniquement de la proportionnalité de grandeur des éléments linéaires, de la valeur des élémetus angulaires el de l'ordre des uns el des autres. De sorte que la majoration n'a d'autre résultat que de changer la grandeur absolue des éléments linéaires sans en altérer In proportionnalité.

L'espace non géomélriqtie, les surfaces autres que les plans, les lignes autres que les lignes droites ne possèdent pas cette propriété ^.

43. Définitions. — Deux figures qui ont même grandeur mais non n)éme forme, sont équivalentes.

Les figures équivalentes peuvent devenir égales par déformation ou tronsfonnation.

Déformer ou transformer, c'est changer la forme; loul en conservant la grandeur.

Transformer signifie plus spécialement donner une autre forme déterminée (par exemple, transformer un triangle en carré),

44. Définitions — L'espace géométrique, le plan, la droite, étant homogènes, sont indéfiniment divisibles en parties semblables.

On nonjuie isogcnes les figiues qui sont indéfiniment

« Voir dans mes /'ro/eV/owènci, pp. 136 et suiv., la crili(|uc de la définition usuelle de la similitude.

* Tel est le point de départ des inél.igéoniélries. Elles ont appliqué à l'espace les propriétés de certaines surfaces et de certaines \\>^ucs autres que le plan el la droite.

«livisibles en parties égales (tels l'angle, la circonférence, la sphère, etc.).

L'espnce, le plan, la droite sont également isogènes.

On nomme continues les ligures qui sont indéfiniment divisibles en parties équivalentes.

L'espace, le plan, la droite, ainsi que les figures isogènes, sont également continues.