CHAPITRE III. — Les axiomes
Axiomes logiques.
45. — 1. Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles.
Cor. I. — Deux figures identiques à une même troisième sont identiques (41).
Cor. "2. — Deux ligures semblables à une même troisième sont semblables (42).
Cor. 5. — Deux figuies équivalentes à une même troisième sont équivalentes (45).
Cor. 4. — Quand à deux quantités égales on fait subir les mêmes opérations, qu'on leur ajoute ou qu'on en retranche la même quantité, qu'on les multiplie ou qu'on les divise par le même facteur, les résultats sont égaux.
Cor. D. — Deux ligures identiques, soumises à la même majoration ou à la même déformation, fournissent deux figures identiques.
40. — II. Lue quantité qui n'est ni plus grande ni plus poiiie (ju'une autre de même espèce lui est égale.
47. Définitions '. — Toute proposition est susceptible de conversion et de contraposition.
' Dans rciiscignerncnt, on pourrait r<»serviT ces considérations pour le inoinenl où les élèves seraient «léjà familiers avec les théorèmes susceptibles tle conversion on de contraposition.
Elle est convertie quand de son sujet et de son attribut on fait respectivement son attribut et son sujet.
La proposition ainsi obtenue porte le nom dlnversc pour la distinguer de la proposition non convertie qui portera le nom de principale.
Cor. — La principale est l'inverse de l'inverse prise comme principale.
Elle est contraposee quand de son sujet et de son attribut on lire un sujet et un attribut négatifs.
La proposition ainsi obtenue porte le nom de réciproque.
Enfin quand il y a à la fois conversion et contrapositioii, on obtient la réciproque de l'inverse, ou, ce qui revient au même, l'inverse de la réciproque.
Cette proposition portera le nom de dérivée.
Cor. — La réciproque est la dérivée de l'inverse.
Exemple : Deux droites parallèles sont deux droites ayant même direction — proposition principale;
Deux droites qui ont mèn>e direction, sont detix droites parallèles — proposition inverse;
Deux droites qui ne sont pas parallèles, n'ont pas même direction — proposition réciproque ;
Deux droites qui n'ont pas même direction, ne sont pas parallèles — proposition dérivée.
éH. Définitions. — On nonnne jugement hi/pothélique un jugement composé de deux propositions, l'une appelée condition, et l'autre conséquence, par lequel on adirme que, si la condition est réalisée, la conséquence l'est aussi.
Scolie. — Tout jugement hypothétique peut être mis sous la forme inverse, sous la forme réciproque et sous la forme dérivée.
Par la fornx' inverse on alïirme que, si la conséquence est réalisée, la condition l'est également; et par la l'orme réciproque, que, si la condition n'est pas réalisée, la conséquence ne l'est pas non plus. Enfin, par la forme dérivée on ailirme que, si la conséquence n'est pas réalisée, c'est que la condition ne l'est pas.
Exemple : Principale. — Si dans un triangle deux côtés sont égaux, les angles opposés à ces côtés sont aussi égaux;
Inverse. — Si dans un triangle deux angles sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont aussi égaux;
Réciproque. — Si dans un triangle deux côtés ne sont pas égaux (sont inégaux), les angles opposés à ces côtés sont inégaux ;
Dérivée. — Si dans un triangle deux angles sont inégaux, les côtés opposés à ces angles le sont aussi.
Lemme. — Une proposition [)i'ut toujours se melire sous la forme d'un jugement hypothétique. Exemple : Si deux droites ont même direction, elles sont painilèles.
De même, un jugement hypothétique peut s'exprimer sous la forme d'une proposition. Exemple : Dans un triangle, l'égalité de deux angles entraîne l'égalité des côtés opposés à ces angles,
49. — III. Un jugement et sa dérivée sont toujours vrais ou faux en même temps.
Il en est de même de l'inverse et de la réciproque, puisque la réciproque est la dérivée de l'inverse (47, corol.).
Cor. — II suit de là (|ue, si des quatre formes de jugements exprimées comme il a été dit plus haut à l'aide de la conversion et de la contraposition, lesquelles nous désignerons par les lettres p (principale), i (inverse), r (réciproque) et (/ (dérivée), l'im des couples pi, ;;r, id et rrf se compose de propositions vraies ou fausses à la fois, les deux propositions restantes participent de la vérité ou de la fausseté des piemières.
50. Scolie. — L'axiome III et son corollaire sont des théorèmes qui se démontrent en logique de la manière suivante :
Supposons que S ne puisse être que P ou Q et que S' ne puisse être que P' ou Q', de sorte que la proposition S est P équivaut à la proposition S n'est pas Q; je dis que, si quand S est P, on a toujours S' = P' et si quand S est Q, on a toujours i>' == Q > alors quand S' = P', on a toujours S = P, et quand S' = Q', on a toujours S = Q.
Démonstration. — Car, si quand S' == P', on avait non S = P
mais bien S= Q, on irait contre la supposition qui dit que si S = Q, on a toujours S' = Q' cl non pas S' = P'.
Ce. genre de démonstration s'appelle démonstration par f absurde. Il consiste à supposer fausse la conséquence et à en tirer la fausseté de la condition.
Applications. — Des quatre propositions énoncées, plus liiiul (48) sur les côtés et les angles d'un triangle, il suffît de démontrer soit la première et la seconde, soit la première cl la troisième, ou bien la seconde et la quatrième ou la troisième et la quatrième pour qu'elles soient démontrées toutes les quatre.
Olte remarque s'applique aux définitions. Ainsi pour que la délinition des parallèles soit adéquate, il faut que les quatre propositions qui s'y rapportent soient vraies, et pour qu'il en soit ;niisi, il sulïit que la première avec la seconde on avec la iroitîiéme ou bien encore (|ue la dernière avec la troisième ou avec la seconde soient vraies à la fois.
