C'est ce qu'exprime la règle que toute définition doit

dire inversible ou réciprocable (34).

Axiomes arithmétiques.

5*. — IV. Toute <|uaniité peut être considérée comme égale à la somme ou à la différence de deux quantités de même espèce convenablement cboisies.

Cor. — Toute quantité peut être considérée comme égale à la somme de ses parties.

53. — V. Quand à deux quantités inégales on ajoute des quantités égales, les sommes obtenues sont inégales dans le même sens;

De même, quand de deux quantités inégales on retranebe des quantités égales, les restes sont inégaux dans le même sens;

54. — VI. Au contraire, quand de deux quantités égales on retranebe des quantités inégales, les restes sont inégaux en sens opposé.

( 53 ) Ax onies algébriques •.

53. — VII. Toute quaniilé peui être traitée comme étant le iiiultiple ou le soiis-rnulliplo (entier ou fraeiionnaire) d'une (juaniiié de même espèce.

' Ces axiomes tranchent le problème des inconimensurables. En tout étal de cause, qu'elles soient théorèmes ou qu'elles soient postulats, les propositions sur le rapport des Ineommensurables sont du ressort de l'algèbre et non de la gcomclrie, et elles doivent figurer parmi les axiomes de cette dernière science. Voici ce que j'écrivais en 1850 et imprimais en 1859 : « La plupart des auteurs ont admis comme axiome le postulat arithmétique que le tout est éyal à la somme de ses parties... Mais aucun d'eu.x n'a pose ni en axiome ni en postulat que le tout peut cire considéré comme étant le multiple d'une de ses parties... (Suit la démonstration comme quoi les moyens par lesquels on croit éviter les incommensurables sont illusoires.) Ce postulat, inévitable en algèbre, où les quantités sont, de leur nature, continues, l'est aussi en arilhméti(iue : l'équation '/s = 0,333... n'est autre chose iju'une comparaison entre incommensurables, entre '/, et les puissances négatives de 10. L'extraction des racines repose sur ce postulat. Vouloir extraire la racine de 2 et opérer sur le nombre i2 comme si c'était un carre parfait, c'est admettre a priori que tout nombre peut être considéré comme un carré, ce qui, encore une fois, est un cas particulier de ce postulat.

» Dès que l'on admet comme vrai que, quelle que soit la grandeur des portions AB et CD d'un quantum isogène, on peut poser .\B =: wCD, c'est-àdire leur supposer une commune mesure, on peut démontrer imn;édiatement les tlicorèn)es généraux... qui servent à coordonner tous les théorèmes particuliers, mesure des angles, plans et dièdres, des parallélogrammes de même base, des parallélipipèdes, etc. • {Proléi/omènes, pp. 148-133.)

Depuis que ces lignes ont été écrites, il paraîtrait que le problème des incommensurables est définitivement résolu. Je ne me suis pas tenu au courant lie la lillérulure. Il ne me coûte rien de faire ingénument cet aveu, bien qu'on puisse — trop facilement hélas! — en tirer argument ( outre moi. Toutefois j'ai voulu lire et j'ai lu et relu le plus attentivement qu'il m'a été possible la longue note de RoLCuÉ-CoMOEROusse sur la méthode des limites. Je ne suis pas arrivé à la comprendre, ni surtout à comprendre en quoi cette méthode est rigoureuse. Or, j'ai toujours pensé (ju'une démonstration étendue et dilïieile à suivre d'une vérité, pour ainsi dire, d'intuition, est njauvaise. En définitive, il s'agit de licmontrer que deux droites sont entre elles comme leurs longueurs, c'est-à-dire comme leurs mesures (23,2ieti5). Kli bien, je demande si, (|uand elles n'ont pas de commune mesure, elles

Cor. 1. — Toulo quaniilé peut être Iraiiée comme élam le nulliple d'une quelconque de ses parties.

n'ont aucun rapport entre elles, ou si le rapport pourrait être autre que eelui de leurs mesures. (Voir théorèmes 67 et 72.) Ah! je sais que Ton définit ce rapport — qui, notons-le, est invariable — comme étant la limite dont se rapproche, autant que l'on veut, c'est-à-dire à une fraction près aussi petite que l'on veut, soit on plus, soit en moins, un rapport indcliniment variable. Je crains qu'il n'y ait là des mots destines à masquer et à esquiver une difficulté très subtile, mais, à mon sens, plus imaginaire que réelle. Une fraction n'est jamais nulle, quelque grand que soit son dénominateur. On aura beau diviser indéfiniment en deux parties égales une droite, on n'arrivera jias à l'évanouissement de la droite. Bien mieux, en vertu de l'homogénéité de la droite, la plus éloignée des divisions n'a absolument rien perdu de sa capacité à être divisée, de sorte que l'accroissement du dénominateur n'a qu'un effet illusoire.

Une considération capitale domine d'ailleurs tout le problème des incommensurables : c'est que, en pratique, il n'y a pas d'incommensurables. Dans chaque cas particulier, on trouvera toujours une commune mesure satisfaisante, par exemple, pour la diagonale et le côté d'un carré donné. C'est la théorie seule qui nous enseigne qu'elle sera fautive. C'est ainsi que les anciens avaient démontré, sans recourir aux limites, que si ces lignes avaient une commune mesure, les nombres qui les évalueraient, ne pounaicnt être ni pairs ni impairs, et que, par conséquent, elle n'rxisle pas.

Du reste, on peut pousser loin le chapitre des incommensurables. Deux droites égales n'auront pas de commune mesure si l'on veut mesurer l'une par les puissances négatives de 2, et l'autre par les puissances nég;i!ivcs de 3; je veux dire ceci que, si loin qu'on pousse chez Tune la division par 2, chez l'autre la division par 3, on n'aboutira jamais à deux quotients égaux; et pourtant personne ne contestera que ré(|ualion Ul'^^^li)" soil légitime, bien qu'on ne puisse trouver pour x et pour ij des nombres entiers.

Enfin, une |)roportion telle que C : D = c : d, où les antécédents et les conséquents icprésentenl respectivement des côtés et des diagonales de carré, et qui exprime par conséquent l'égalité de deux ra|)ports enlic incommensurables, est identique avec la suivante C : c = D : d, qui exprimera l'égalité de deux rapports entre commensurables, si, par exemple, C =- 2c.

Mais en voilà à la fois trop et troj) peu sur ce sujet étranger à mon travail. J'ajoute seulement, puisqu'il n'entre pas dans mon plan de traiier «le la mesure des surfaces, que, si l'on admet ([ue deux portions de dioile sont entre elles comme leurs longueurs (ihéorème 07;, il s'eiisuil immédiatement ({uc deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

Cor. 2. — Toule partie de quantité peut être traitée comme étant le sous-mnltiple du tout.

JV. B. — Comme on le voit, les termes de multiple et de sous-multiple sont employés, en vue de la brièveté, dans un sens plus large qu'on ne le fait d'ordinaire.

5e. — VIII. Sont encore des axiomes, toutes les propositions de Taigèbre sur l'addition et la soustraction, sur la multiplication et la division, sur réiévaiion aux puissances et l'extraction des racines, et notamment sur les proportions.