L.A GÉOMÉTRIE HE LA RÉGIiE ET DU RABOT

Observations préliminaires.

Avant d'aborder l'étude de la droite ei des figures planes reclilignes, je désire présenter quelques observations sur l'ordre de succession des théorèmes.

Le plan d'une géométrie rationnelle est bien simple. On doit commencer par la géométrie à une dimension, c'est-à-dire la géométrie de la droite considérée en elle-même ou comme constituant à elle seule l'espace géométrique. La droite est le réceptacle des figures rectilinéaires.

Puis on abordera la géométrie des figures planes, c'est-à-dire à deux dimensions. Le plan est le réceptacle de ces figures.

Enfin viendra la géométrie à trois dimensions. Les figures à trois dimensions ont pour réceptacle l'espace géométrique.

L'ordre des propositions dans chacune de ces parties va naturellement du simple au composé.

• Qu'on veuille bien me passer ce (lire, qui senl la recherche. On dil parfois la géométrie de la règle et du compas pour dire la géomélrie usurlle. C'est de ceUe dénominalion que M. I{enouvier s'est servi pour son récent travail sur la géomélrie. Comme je ne traite dans le mien que de la droite, du plan et des tigures rectilignes et qu'il n'y est qu'incidemment question du cercle, j'ai voulu, par ce titre, l)ien spécifier le caractère de l'espace euclidien, oii le pl;in, pure donnée hypothétique, est fourni par une droite qui court sur deux |)arullèles.

Ainsi dans la géométrie de la droite, les figures iront se compliquant d'après le nombre de points marqués sur la droite. Nous étudierons donc d'abord la droite, puis la semi-droite, puis la portion de droite, puis enfin les figures que nous désignons sous le nom de droites interrompues, qui sont discontinues et composées de portions de droites.

Dans la géométrie du plan, on considérera d'abord le plan, puis le plan dans ses rapports avec la droite; puis les figures formées de deux droites, c'est-à-dire les angles, les coins et les parallèles; puis les triangles, les sécantes et les polygones; enfin le cercle, d'abord isolé, ensuite combiné avec des droites ou d'autres cercles.

Dans la géométrie des solides, on suivra un ordre analogue.

Pourtant il ne faudrait pas adopter pareille disposition ne varietur. Il esi clair, par t-xemple, que la géométrie du triangle est interminable, et qu'il ne s'agit pas de vouloir l'épuiser avant d'aborder le cercle.

Quant à l'ordre des propositions, il est par là tout indiqué. Mais l'imporlanl c'est de ne laisser subsister aucune lacune, de ne laisser place à aucun pourquoi. Nombreuses sont les lacunes dans les géométries en usage. Et rien ne froisse autant l'esprit que de voir un géomètre se donner beaucoup de mal pour démontrer un ibéorème très simple, lorsqu'il ne s'est pas donné la peine de démontrer, ou qu'il n'a pas vu qu'il y avait à démontrer un tbéoréme préalable, quelquefois beaucoup plus récalciirani. C'est ainsi que, tout au début du V* livre de sa Gi'omctrie, Legendre, parlant de sa définition du plan, établit par les théorèmes I et II : \° qu'une droite ne peut être en partie dans le plan et en partie dehors; 2° que trois points déterminent un [)lan. Puis tout d'un coup il passe au théorème III, qui porte que, (luand deux plans se coupent, c'est suivant une ligne droite. Or, il a oublié au préalable de montrer que deux plans ne peuvent ()as n'avoir qu'un point commun, proposition (|ui n'est pas commode à prouver. Par conséquent, dût-on, pour l'asseoir, passeï" p;ir .les figures plus compliquées que celles qui suivront, il fauilrail en prendre son parti, en attendant mieux.

Un auire point est à considérer. On se plaii à vanter chez Euclide l'enchainemeni rigoureux des propositions, toui en regreilanl parfois que l'ordre y laisse quelque peu à désirer. Les géomètres modernes ont essayé de remédier à ce défaut, mais sans y réussir tout à fait. Ils nous font rarement voir la raisotj du groupement des théorèmes, et l'on ne saisit souvent qu'après coup pour quel motif ils introduisent au milieu de propositions connexes telle autre qui en interrompt la suite naturelle, et qui ne vient que comme auxiliaire d'une démonstration. Telle est, par exemple, la proposition que si deux triangles ont deux de leurs côtés égaux chacun à chacun, l'inégalité des troisièmes côiés sera dans le même sens que l'inégalité des angles opposés. Celte proposition, qui s'appuie elle-même sur les propriétés de la bissectrice, ne sert qu'à démontrer l'égalité des triangles qui ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun.

Quant à nous, nous pensons qu'un théorème doit, en général et autant que possible, se démontrer par les seules données impliquées dans son énoncé. C'est ainsi que nous démontrerons en manière d'exemple, sans le secours d'aucun théorème antérieur, sinon de ceux relatifs à l'égalité des triangles, le théorème fondamental sur la similitude des triangles.

Ceux qui voudront bien étudier avec soin et attention la manière dont nous avons disposé les théorèmes, verront qu ils ne s'appuient les uns sur les autres qu'en tant qu'ils ont rapport au même objet. C'est ainsi (|ue les propositions sur l'égalité des triangles forment un groupe qui se lient. Mais ce groupe n'a aucun rapport avec celui des propositions sur les distances ; et même nous nous sommes donné la satisfaction de ne nous servir de la propriété de la ligne droite d'être le plus court chemin qu'après avoir épuisé les triangles et leur similitude. Chose plus méritoire encore, si nous osons parler ainsi de notre œuvre, les propositions sur la similitude des triangles viennent avant la théorie des [)arallèles. En un mo(, on peut, pour ainsi dire, prendre les différents groupes de nos théorèmes et les brouiller, sans que l'enchaînement ei la rigueur du raisrinncnicnt en souffrent II* moins du monde.

Je voudrais ajouter encore un mol. Ceux-là seuls qui ont longtemps médité les questions ardues que soulève la géométrie élémcniaire, pourront apprécier quelle somme de travail et de réflexions représente parfois une simple définition ou un théorème puéril. Mon essai est une œuvre de théorie philosophique, non de pédagogie, hien que je no fasse pas fi de sa portée didactique. Mon uni(|ue ambition a été de la composer de manière que l'ongle, en passant sur elle, n'éprouve aucun arrêt et ne sente aucune jointure.

Je me suis abstenu avec un soin scrupuleux de ces démonstrations écourtées auxquelles les philosophes ont volontiers recours, faute d'autres, quand ils s'adressent aux gens du monde.

De là celte lenteur de ma marche, celle multiplication des propositions, dos corollaires, des scolies, dont j'aurais pu supprimer sans inconvénient une bonne moitié au moins, si je n'avais pas voulu éviter à tout prix le reproche d'escamoter une difliculié. Cependant si mes principes étaient adoptés dans l'enseignement, je ne crains pas d'aflirmer que la géométrie n'y perdrait rien de son pouvoir éducatif pour la rectitude du jugement. On peut ranger la géométrie d'Euelide au nombre des plus excellents chefs-d'œuvre de l'esprit humain, sinon le plus excellent — qu'on la compare avec nos algèbres! Cependant elle a ses imperfeclions et parfois le raisonnement y fait un saut. Ce n'est f)as perdre sa peine que de s'aitacher à faire disparaître ces imperfections, et à construire des ponts ou tracer des passages qui permelienl de s'y mouvoir à l'aise et sans danger.

(J1APITRE IV. — La droite et les figures rectilinéaires.

57. Définition. — La droite, réceplacle des figures reclilinéaires(12), est une ligne fiomogène, c'osl-à-dire dont toutes les parties, quelle qu'en soit la longueur, sont semblables (38) '.

' 0 La plus simple de toutes les lignes est la ligne droite, dont la notion csl familière à luul le monde et dont un fil tendu otTrc l'image. • (Koucué-

CoUDEnOl'SSK.)

Inverse. — Toute ligne homogène est une ligne droite.

Réciproque. — Aucune ligne non droite n'est homogène.

Dérivée, — Aucune ligne non homogène n'est une ligne droite.

Scolie 1 . — Ces (|ua(re propositions, quise réduisentàdeux(49), font partie des postulats ou hypothèses de la géométrie. Leur légitimité et leur solidité se manifesteront à mesure que les conséquences qu'on en tirera se véritieront théoriquement et pratiquement (27).

Scolie 2. — La ligne droite est une intuition, en d'autres termes, elle est vue par l'esprit; ce qui veut dire que c'est l'esprit qui la voit dans les choses et non la vue des choses qui en met la notion dans l'esprit. Aussi la plupart des démonstrations qui vont suivre se fonderont sur l'intuition et ne feront guère que la développer (58, scolie).

Scolie 3. — La droite est une donnée au môme titre que l'espace, c'est-à-dire que, pour tractr une ligne droite, il faut une ligne droite.

Celte ligne droite, ou plutôt la portion de droite (62, scolie), nécessaire pour tracer une droite, est censée fournie par l'instrument que l'on nomme règle. De là vient que la géométrie de la ligne droite peut s'appeler la géométrie de la règle (58, scolie).

Lemme. — Toute ûgure, dès qu'elle est localisée dans l'espace, est en quelque sorte personnillée par notre esprit, c'est-àdire qtie nous lui reconnaissons comme à nous un haut et un h'is, une droite et une gauche, un avant et un arrière, et nous appelons sens contraires ou opposés les directions de haut en bas et de bas en haut, celles de gauche à droite et de droite à gauche, celles d'avant en arrière et d'arrière en avant.

La ligne droite n'est généralement envisagée que comme ayant, soit une gauche et une droite, soit un haut et un bas, suivant la manière dont nous la supposons localisée dans l'étendue par rapport à nous.

&8. Théorème. — La droite est illimitée dans ses deux sens. Démonstration. — Car si elle était limitée (|uelque part, elle

ne serait pas parloul semblable à elle-même. En ciïci, louie partie comprenant sa limite, c'esl-à-dirc un poinl de séparation entre un néant de droite et la droite, n'a pas la même forme que toute partie ne la eomprenanl pas '.

5». Thcor. — La droite peut glisser sur elle-même dans toute son étendue.

Déni. — La droite, on tant que destinée à glisser sur ellemême, peut être envisagée comme une seconde droite placée sur une première droite el coïncidant avec colle-ci dans toute son étendue, et cela en vertu de la péiiétrabilité indéfinie de l'espace (oG, scolie 5). Or, la droite étant partout semblable à ollc-méme, celte coïncidence aura lieu à ebaque instant entre la droite envisagée comme mobile et la droite envisagée comme fixe 2.

60. Déf. — On appelle semi-droite une figure reciilinéaire limitée par un point, par conséquent d'un seul côté '.

*■ Voilà déjà un de ces llicorèmcs, que j'ai qualifies piu5 liaul comme étant d'a|)parcncc puérile, cl dont la dcmonsiralion — pourtant si simple — ne s'est pas prcscnlcc d'ellc-nicmc. Il faut bien se pcncircrde ceci que c'est la droite, en tant qu'indéfinie el non encore délerniinéc, qui est homogène, cl que ni la scnii droite fOO;, ni la portion de droite (0:2), ni la droite interrompue (71) ne le sont, bien qu'un puisse y trouver des parties semblables autant qu'on veut (07). J'aurais [tu dire aussi que, si la droite était limitée quelque |tarl, elle devrait l'être partout. Ce serait parfaitement exact, mais de fornu! peut-être un peu cavalicie.

' Ce Ibéorcmc el sa dcnionstraliun peuvent se mettre sans inconvénient sous forme de c«)rollairc : Lu droite peut (/lisser sur elle-même dans tonte son étendue puisqu'elle est partout seniblalile à elle-même.

■ l.a semi-droite est une noliun nouvelle el pourtant nécessaire si l'on lienl à mettre une précision et uiu- rigueur absolues dans les définitions et les dcmo[istratiuns j^cométriques. Un uutjle est une figure formée — non par deux droites (deux droiles forment liuit angles, si l'on tient compte des angles sorlatils) — mais par deux semi-droites parlant d'un même point.

Par parentbèse, on voudra bien remarquer que les propositions sur lu semi-droite peuvent se ranger a\ ani ou après les projmsiliuns concernant la portion de droite.

La semi-droite peut être posée ou niée (13).

Remarque. — Quand aucune confusion n'est à craindre, on rappelle souvent droite.

Corollaire. — Un point marqué sur la droite la divise en deux semi-droites symétriques limilées en ce point et illimitées en sens contraires.

Scolie. — La différence des deux semi-droites symétriques tient uniquement à ceci que si l'on place, par exemple, la figure de gauche à droite par rapport au regard, la semi-droite de gauche sera vue ayant son point limite à droite, et celle de droite ayant son point limite à gauche. C'est donc une simple différence d'ordre.

Mais si l'on déplace le point de vue de manière, par exemple, à regarder d'en haut au lieu d'en has, ou de par derrière au lieu de par devant, l'ordre est renversé. Regardée ainsi, la semidroite de gauche prend l'aspect qu'avait la semi-droite de droite, et inversement. Donc la dénomination des semi-droites symétriques dépend du point de vue d'où on les considère.

et. Tkéor. — Deux semi-droites non symétriques peuvent être considérées comme identiques.

Dèm. — Soient (flg. i) les deux semi-droites AX et BX, indé-

Fig. 1.

finies toutes deux dans le sens de X '; en faisant glisser la seconde sur la première de manière à faire arriver le point B en A, on les fait coïncider dans toute leur étendue (59) 2.

Scolie. — On verra plus loin, quand nous étudierons le plan, que deux semi-droites symétriques deviennent identiques si l'on

■ Nous désignerons d'ordinaire par les dernières lettres de l'alphabet le côte indcHni des droites.

' Ce lliéorcme et sa dcuionstration peuvent se ramener à un simple corollaire de la définition.

imprime à rune d'elles un demi-iour, ce qui revient à changer le point de vue *.

69. Déf. — On appelle portion de droite une figure recliiinéaire limitée par deux points dans les deux sens.

La portion de droite peut être posée ou niée (13).

Rein. — Le besoin de brièveté fait que souvent aussi, quand aucune confusion n'est à craindre, on se sert du nom de droite au lieu de portion de droite, comme au lieu de semi-droite. Quant à la droite proprement dite, on peut l'appeler droite illimitée ou indéfinie ou même simplement la droite.

63. Tliéor. — Deux portions de droite de même longueur sont égales par identité.

Dém. — Car, par le glissement de l'une d'elles sur la droite, on peut la faire coïncider avec l'autre, et cette opération nous sert à constater leur égalité -.

Scolie. — Comme une portion de droite est limitée par un point aussi bien à gauclie qu'à droite, elle ne change pas d'aspect quand on renverse le point de vue d'oîi on la considère, à moins qu'on ne retienne par la pensée l'ordre des points limites en leur donnant des dénominations spéciales.

Cor. — Deux portions de droite de même longueur sont égales par identité et par symétrie (41 ) '.

64. Déf. — Une portion de droite est dite plus grande ou plus petite qu'une autre si, quand on les superpose de manière à faire coïncider leurs points limites d'un même côté, l'autre point limite

' Tel sera le début de la théorie do la symétrie.

' Ce Ihcorcmc et sa déiiionslralion peuvent se mettre sous forme de corollaire dépendant de la définition de la droite. En cfTct, deux portions de droite ayant même longueur ont mciuc grandeur cl même forme, la longueur élaiil la jjraiidcur de la droite (iiS).

* Celle proposilion sur la portion de droite reviendra à propos de l'angle, (|ui est aussi à lui-même son s\ métrique.

de la première lombe en dehors ou en dedans de la seconde.

La nouvelle porlion de droite délimilée de celle manière par les deux points non coïncidant, fait la différence de longueur des deux portions de droite.

Cor. 1. — Les portions de droite sont des quantités de même nature et elles peuvent s'additionner ou se soustraire (axiome V).

Cor. 2. — l ne portion de Hroiie quelconque peut se placer partout sur la droite ; par conséquent, la droite ainsi que toute porlion de droite, sont des lignes isogènes, c'est-à-dire indéliniujenl divisibles d'une infinité de manières en parties égales (44).

Cor. 3. — Si l'on prend l'une quelconque de ces parties pour unité de mesure, la longueur de la droite ainsi divisée sera exprimée par un certain nombre de ces unités.

Cor. 4. — Deux portions de droite quelconques sont comparables sous le rapport de la longueur et peuvent être considérées et iraitées comme étant multiples ou sous-multiples l'une de l'autre (axiome VII).

Cor. b. — Si, sur une même droite, on place bout à bout plusieurs portions de droite, la somme de leurs longueurs est égale à la longueur comprise entre les points extrêmes (axiome IV, cor.).

Cor. 6. — On prolonge indéfiniment la portion de droite dans l'un et l'autre sens en la faisant glisser indéfiniment sur ellemême (o9).

Scolie. — C'est sur cette propriété qu'est fondé l'usage de la règle. On admet en effet que les arêtes d'une règle sont des portions de droite, et que le trait tracé au moyen d'une règle est une portion de droite.

Ce scolie ei le scolie 5 de la proposition 57 contiennent les deux premiers des postulats d'Euclide qui ont rapporta la droite. Le troisième postulat viendra dans le chapitre suivant.

es. Cor. 7. — Une droite est déterminée quand on donne une de ses portions.

Gtt. Cor. 8. — Quand deux droites onl une porlion commune, elles coïncident dans toute leur étendue.

Cor. 9. — Une droite ne se bifurque pas, puisque Ton ne pourrait faire coïncider la partie bifurquée el la partie simple.

67. Thèor. — Deux portions de droite de longueurs inégaies sont semblables.

Dém. — Car par la majoraiion (ou minoration) de l'une d'elles, on peut la rendre égale à l'autre *.

Scolie, — Pendant la majoration (ou minoration), les deux points qui limitent la portion de droite glissent sur elle ou sur ses prolongements.

Cor. i. — En vertu de sa défniition, la droite (indéfinie) peut s'engendrer par la majoraiion indéfinie d'une quelconque de ses portions.

Scolie. — Elle est alors décrite par le mouvement indéfini des deux points qui limitent cette portion, mouvement dont on est censé conserver la trace (1 6).

Il résulte aussi de là que, par leur mouvement, les deux points engendrent le récepiacle des figures rectilinéaires. Ce qui n'est que naturel, puisque l'espace est réduit à ce seul réceptacle. On retombe ainsi sur la définition de la ligne droite. L'hypothèse qu'elle exprime reçoit par là une première légitimation.

«8. Cor. 2. — Entre deux points on ne peut tirer qu'une seule portion de droite, ou, par abréviation, qu'une droite (65).

GO. Cor. 5. — Deux points déterminent une droite (66). Cor. 4. — Deux droites ne peuvent avoir plus d'un point commun sans coïncider.

[Cor. o. — Deux droites ne peuvent circonscrire un espace] *.

' Mémo oLstTvation qu'au thcorèmc 03 : deux portions de droite ne différent jamais quVii grandeur, elles sont donc toujours semblables.

* Voilà un exemple d'une série de propositions parmi lesquelles on compte trois ou quatre anciens postulats, et sur laquelle, comme je Pai dit, Tongle pent jiNsser sans éprouver aucun arrêt. A celle occasion, je ferai remarquer

70. Déf. — On nomme distance de deux points la longueur de la porlion de droite qui les relie ou pourrait les relier '.

Scolie. — Dans ce dernier cas, la distance peut èlre envisagée comme l'aspect vide d'une figure rectilinéaire dont la portion de droite serait l'aspect plein.

Cor. — On détermine la place d'un point sur la droite en donnant sa distance comptée à droite ou à gauche ou bien en haut ou en has à partir d'un autre point dont la place est censée connue et auquel, pour cette raison, on donne le nom d'origine.

71. Déf. — On nomme droite interrompue une figure rectilinéaire composée d'une succession de portions de droite alternativement posées et niées (13).

Cor. 1. — Une droite interrompue est déterminée quand on donne les longueurs des portions de droite posées et niées ainsi que l'ordre et le sens dans lesquels elles doivent être rangées.

que, dans l'enseignement, ces propositions peuvent être présentées, ainsi qu'on l'a toujours fait, comme des vérités d'intuition.

Une remarque seulement sur le dernier corollaire 5 qui est, chacun le sait, une des demandes d'Euclidc. La rédaction, telle qu'elle nous a été transmise, laisse à désirer. Car non seulement deux droites, mais même un nombre quelconque de lignes, droites ou courbes, ne peuvent circonscrire un espace. Au lieu d'espace, il faudrait dire une portion de surface, et même plus exactement encore, tiin- portion de surface plane. Enfin, corrigé de cette façon, le corollaire devrait figurer dans la géométrie du plan. Au surplus, il est, pour nous, rendu inutile par les trois précédents et doit être supprimé.

* Ici commence une nouvelle série de propositions, indépendante de celle qui précède. Ces propositions sont neuves; elles ne se lisent dans aucune géométrie que je connaisse. Elles forment la base de la théorie de la similitude. — On remarquera aussi que nous ne parlons pas de la droite chemin minimum; elle ne jouit de celte propriété que dans le ])lan, ou mieux encore dans l'espace, où elle doit être comparée avec les lignes à double courbure. C'est plus loin seulement que nous établirons cette propriété. Ici, nous n'en avons pas besoin, l'espace étant réduit à la droite. Aussi, à la rigueur, cette définition n'est pas à sa place.

Cor. 2, — Deux droites interrompues sont identiques quand les portions de droite posées et niées dont elles se composent, sont égales chacune à chacune et rangées dans le même ordre et qu'elles se suivent dans le même sens. Elles sont symétriques si ces parties se suivent en sens contraires.

Ainsi sont identiques {fig. 2) les deux droites interrompues ABCD et A'B'C'D' tracées sur la droite XY et composées de

Fig. 2.

AB = A'B', portions de droite posées, de BC = B'C, portions de droite niées, et de CD = CD', portions de droite posées, AB, BC et CD ainsi que A'B', B'C et CD' se suivant dans le même ordre et dans le même sens (dans la figure, de gauche à droite). C'est ce dont on peut d'ailleurs s'assurer encore en faisant glisser ABCD sur la droite XY dans le sens de Y jusqu'à ce que A vienne coïncider avec A'.

Mais les deux droites interrompues ABCD et A"B"C"D'' sont symétriques, parce que les parties dont elles sont composées, bien qu'égales chacune à chacune, à savoir A B à A"B", BCàB"C", CD à CD", et bien que rangées dans le même ordre, se suivent en sens opposés. Elles prennent le même aspect si l'on renverse pour Tune d'elles le point de vue d'où on la considère, cl elles deviennent identiques, comme on le verra plus tard, si l'on fait subir à l'une d'elles un demi-tour.

Scolic. — Les portions de droite AB et A'B', BC et B'C, CD cl CD' sont similaires par identité, tandis que AB et A"B", BC et B"C", CD et C'D" sont similaires par symétrie (41).

7ï, Thcor. — Deux droites interrompues sont semblables quand les portions di; droite posées et niées dont elles se composent, prises dans l'ordre et le sens où elles se suivent, sont proportionnelles.

Dèm. — Soieni (fig. 5) les droites interrompues ABCD et A'B'C'D', dont les parties énumérces suivant le même ordre et

Fig. 3.

le même sens sont respectivement AB et A'B', BC et B'C, CD et CD', et ont des longueurs telles qu'on ait ;