AB BC CD

Â^ "" B^ "" crr ^ ^"'

je dis que les deux figures sont semblables.

En effet, si l'on majore, par exemple, la figure A'B'C'D' dans le rapport 1 : m, on rend A'B' = AB, B'C = BC, CD' = CD, et par suite la figure A'B'C'D' identique à la figure ABCD. Donc avant la majoration, elle lui était semblable *.

Scolic 1. — Les portions de droite AB et A'B', BC et B'C, CD et CD' sont homologues (42).

Scolie 2. — La forme d'une droite interrompue dépend donc uniquement des rapporis de grandeur des portions de droite (tant posées que niées) dont elle se compose 2 et de l'ordre dans lequel elles se rangent.

Observation. — Ici s'arrête la géométrie de la droite en tant

* La démonstration parait longue; au fond, elle pourrait se réduire à une ligne : Car la majoration de l'une de ces deux figures la rend identique à l'autre. Mais telle qu'elle est, clic a cet avantage que, tout le long de la théorie de la similitude, elle pourra prendre la même allure et ne faire pour ainsi dire que se répéter.

Je remarque ici, une fois pour toutes, que celte démonstration repose sur les axiomes algébriques (55), c'est-à-dire que nous considérons et traitons AB et A'B' comme ayant une commune mesure.

* Inutile de faire remarquer l'importance de ce lliéorèmc , pourtant si simple, pour la lliéorie générale de la simililude, qui va cire bicnlôl complétée par le lliéorèmc sur Tégalilé des angles semblables.

que constituant à elle seule tout l'espace. Nous allons passer à la géométrie du plan, en tant aussi qu'il constitue à lui seul tout l'espace. Celte géométrie sera plus compliquée; mais, dans ses grandes lignes, elle se conformera à celle de la droite.

Il va de soi que cette complication tient à ce que le plan a une dimension de plus. Cette dimension en plus a pour effet de faire du plan — de la surface homogène — une condensation d'une infinité de plans distincts bien qu'occupant le même lieu.

En effet, imaginons deux parallèles ou deux droites qui se coupent. Je puis engendrer le plan en faisant glisser sur la première une droite passant par un point lixe de la seconde, et engendrer de même une infinité de plans identiques en [)renant tour à tour comme point fixe chaque point de la seconde. A la fin (le celle opération, j'aurai superposé une infinité de plans égale i) l'infinité de points renfermés dans la seconde droite. Qu'on veuille bien remarquer que dans celte suite infinie de génératrices il n'y a pas deux génératrices identiques ou qui se superposent.

Il s'ensuit qu'un même plan représente une infinité de plans différents '. C'est cette particularité qui donne lieu au postulat du plan, postulat dissimulé, comme on sait, dans la célèbre définition qui caractérise le plan comme une surface sur laquelle une ligne droite peut s'appliquer dans tous les sens '.

' Il est à noter que tous ces plans présentent une fente, une lacune correspondant au moment où la droite mobile, dans son mouvement tournant, devient parallèle à la droite fixe. Et si l'on veut engendrer le plan par le glissement d'une droite sur deux autres qui se coupent ou sont parallèles [rabot), on n'engendre d'un seul et même mouvement qu'un semi-plan, tout à fait comme avec la portion droite (rcyle) on ne peut engendrer d'un seul et même inouvemenl que lu semi-droite. Je doute que celte remarque ait jamais été faite.

' M. Poincaré a réussi à définir une demi-surface sphériquc dite orthogonale de manière à lui donner par rapport aux demi-circonférences, également orthogonales, qu'on peut tracer sur elle une propriété analogue à celle du plan par rapport à ses droites. Mais par quel artifice laborieux, et combien il serait incompréhensible sans la connaissance préalable de la gconictrie d'Euclide! (Voir Revue gènërah- des sciences, 15 dérembre 1891.)