CHAPITRE NI
LA MÉTHODE DE D.VKBOl'X.
L'étude précédente montre que l'existence d'une involution permet de faire un progrés important dans la recherche des intégrales. Nous
LA MÉTHODE DE DARBOIX ET LES ÉQUATIONS S = f{x. y. Z. p. q). 21
allons voir mainlenant quels avantages on peut tirer de l'existence d'invariants.
lo. Supposons d'abord que l'on connaisse deux in\'ariants d' un même système (1, par exemple), « et r, d'ordre // et n. Si, sur une surface intégrale S, nous nous déplaçons le long d'une caractéristique M„ du système I, r, :;, et les nombres pik sont des fonctions de la seule variable x; il en est donc de même de u et de v et comme ces deux expressions restent constantes durant le déplacement, c'est qu'elles sont liées par une relation de la forme
Toute surface intégrale de la proposée ééri/le donc une éciuation de la forme (i). Pvéciproquement, puisque u et e sont deux invariants, la combinaison
(lit — 'Y { (') «^p = o
fournit, quel que soit 'i>, une intégrale première des écjuations des caractéristiques M/^. L'équalion u — 'i;(r) = o est donc toujours en involution avec la proposée. On peut donc former une équation, dépendant d'une fonction arbitraire, u — 6(4)=: o qui est, quelle (jue soit la fonction -i;, en involution avec /-)-/"= o. Nous allons montre)- cjaon peut alors résoudre le problème de CaucJiy. En effet, la donnée d'une multiplicité non caractéristique M, permet de calculer en fonction de x toutes les dérivées />/,/,; ce calcul nous fournira les expressions de u et de v en fonction de ,r et l'identité «(j') z^ •!/ [t'(:r)] déterminera la fonction 'h. Nous sommes ainsi ramenés à chercher les solutions communes à deux équations déterminées,
qui sont en involution. Nous avons traité le problème aux n"" l'2 et 13. Ici, rj est donné en fonction de x et l'équation E, au lieu de déterminer ^, détermine la forme de '|, d'une façon unique. Il n'y a donc plus qu'à intégrer le système (11) où 9 est renqilacé par u — '^ ('')•. comme nous l'avons fait au n° 13. La connaissance de deux invariants de même système permet donc de ramener la recherche de Vintègrale générale à Cinlégration d\in système di (Jérentiel.
•XI R. GOSSK.
16. PSous supposoiiis maintenant que l'on connaisse deux invalianls de chaque syslcine^ soient u. *'; ;^|, rj. Les deux équations
« = çp( r I. //| = iL( (', )
donnent deux involutions de système ditrérent, quelles que soient les fonctions o et 'l. Elles forment avec l'équation ;■-[-/= o un système complètement intégrable, dont la solution i;cnérale peut s'oLienir en intégrant un système de la forme (lo) (n" 11). Si l'on sait intégrer ce système, on pourra obtenir des formules où figureront, outre, un nombre fini de constantes d'intégration, les deux fonctions arbitraires cp et ^. C'est ce qu'on exprime quelquefois brièvement en disant que l'intégrale générale de l'équation donnée dépend de deux fonctions arbitraires. 11 est d'ailleurs aisé de voir, comme au n'- lo, que le problème de Ctiiichy se ramène^ dans ce cas, à l'intégration d'un système d'équations aux différentielles totales.
17. Équations de la première classe. — Nous a[)pellerons ainsi toutes celles dont l'intégrale générale est de la forme
, ^-= V,[a, cp(.,, ....:.(/')( :^i. ?. ^(P), ...,^^''(P>, F,, i-'„ .... F,]. ■(•2) ) y = \.^y., ç(a), ..., ^'/"(a), p, ^{^), . . ., d.(/)( P), F„ ...,F,J, ( z = Vp,[a, ?(a,, ..., cp'/"(a). p, J..?). ..., ^</)(j3), F,, ..., F/J,
les fonctions V,, V^, V3 étant déterminées, o et J/ étant deux fonctions arbitraires de a et de ^i res|)ectivement, et les fonctions F/ étant des solutions détermint'cs d'un système complètement intégrable aux différentielles totales :
(3) dVj= 1>jyy., z, .... z'''\ !3, 'l, ..., 'h '\ F,, F,, .... F/,)</a
+ Wy(D(, 9, ..., ç/'', P, <];. ..., (^(/', Fi, ..., Fy;.)rfP. (./■ = !. ■>, .... k).
Toute équation de la première classe est intégrable par la méthode de Darboux ('). En eff^et, les formules
(Iz = />,,o <^'' -+- /'o,i ({y- "'/'/./. = Pihuu dr -F pi^k+ï dy
permettent, en supposant •;, ^ o. de calculer tons les nomhres/j/A.
(') Voir GnrnSAT, Leçons, t. 11^ Ch;ip. Vlil.
LA MÉTHODE DK DARUOUX ET LES ÉQUATIONS S =f[ X. y. Z. p, q). .>3
en fonction de a et de ^ et il j a, par hypothèse^ entre x, y^ z, />, q, r, 5, t une relation qu'on peut toujours supposer de la forme
S'il j avait, entre les dérivées partielles de j, une autre relation E', indépendante de q et •!;, qui ne soit pas une conséquence algébrique de E, les formules (2) représenteraient les intégrales communes k E et E' et non l'intégrale généi\^le de E, ce qui est contraire à l'hypotlièse : il est donc en particulier impossible qu'il existe une telle relation entre les nombres pi k où / vaut o ou i , car une telle relation ne peut être une conséquence algébrique de E.
Remarquons qu'on peut calculer ces dérivées par les formules
dpo,i — p\,-2 <-lx -+- />i,,:j dy, . . . , dpnj= pu dx -H p^j+i dr.
Soient
y,o.,-- Po./[o'., 'i(^), c^'(y.i, ... 3, 'j/d^j, 'VCp), .... F,, ..., F/J
les expressions ainsi obtenues. Si i\i ne contient jamais que les dérivées d'ordre au plus égal à li de la fonction 9 (a), les formules (3) représentent des surfaces qui dépendent, non d'une fonction arbitraire, mais de h -\- i constantes arbitraires, ce qui est contraire à nos hypothèses. Il faut donc qu'à partir d'un certain ordre /, Poj contienne 9'''+^ (a). Les équations
,, . c^Po,- id\\,i\ dx cl y
cIPq, dx dy '
~df-^"^'d^^P'''^'df
montrent alors que /?i ^ ety>o,z+i contiennent cp*''+-^); par suite,/;, ,+„j o et/7o,/+w-i contiennent linéairement 9^^'+'"^ Dans la suite de relations,
Po,i— Po,'i P\,i—\ — ' 1,(— Il •••j i'O.i-hm—l — Po,/-l-«i— 1,
donnons à la fonction 'l une forme déterminée et considérons ^3, les fonctions Fy, a, 9 (a) et ses dérivées comme autant d'inconnues distinctes : il j en a A" + A -h m + 3. Les 2 [m — i) équations (4) étant toutes distinctes, si l'on prend 2(ni — i) > A" + /f -J- wi -f- 3, c'est-
24 R- GûSSK.
à-diré" m ^> /. -|- /? + 5 l'élimination des inconnues fournira au moins une relation
Supposons que II soit elFectivemenL d'ordre n^:^i-[-\x — i. Toutes les surfaces intégrales de E qui correspondent à la fonction ^(j3) que nous avons choisie et à des fonctions 9 (a) quelconques sont des intégrales communes à E = o et à H = o. Considérons une intégrale commune qui corresponde à une fonction déterminée 9 (a); elle restera une intégrale commune, d'après la façon même dont H a été obtenue, si Ton j remplace 9(a) par une fonction <I>(a) assujettie seulement à avoir ses dérivées jusqu'à l'ordre A -h a identiques à celles de 9(0'.), les autres restant arljitraires. La valeur dey>o,«4i pour cette intégrale commune dépend de <P|'^f^ "*"'', qui est arbitraire et par suite, on peut assigner à />o.«^i telle valeur que l'on voudra : les deux équations E = o et H = o sont donc en involution (n" 9).
Supprimons dans les relations (4 ), la ligne où figurent les deux dérivées d'ordre n et ajoutons les deux équations
Le même raisonnement nous permettra de foruier une autre équation, d'ordre n^n^ en involution avec Ei et l'on pourra obtenir ainsi autant d'involutions qu'on voudra. On en conclut l'existence de deux invariants; nous montrerons en effet, dans un prochain paragraphe, cju'elle découle de l'existence de trois involutions distinctes d'ordre supérieur à 3.
Il est facile de spécifier le système de caractéristiques auquel ajipartiennent ces invariants. On peut, en effet, supposer /^ > 3; H ne contient alors les dérivées d'ordre n que par l'intermédiaire de />] rt i -i- //îi/^d ,0 par exemple. Si l'on élimine cp(/'+!^-' entre les deux relations
le résultat de l'élimination est évidemment
d\\^„ 1 dv dy
c/[i ~ ''''" ' ci^ ^ ''''" d'6
et il ne doit [)lus être fonction que de />i„-i + m,.pon- On a (kmc
dy dx
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En permutant le rôle de a et de |j, on dénionlrerail de même que
dy dx
dy. do.
Les caractérisliques du système J eomprennent toutes l'équation
dy ^ /)! i dx.
Elle s'écrit, en tenant compte des relations précédentes et supposant in.^ — Wj^o, ^/^ = o. Les courbes |j ;=: 3„ sont des caractéristiques des surfaces intégrales et les invariants dont nous avons démontré l'existence appartiennent au svstème [3 = const. De même, les courbes a = const. sont des caractéristiques; il y a aussi deux invariants pour le système a = const. et notre théorème est démontré.
En particulier, les équations qui admettent une intégrale générale explicite s'intégreront par la méthode de Darboux, dont l'importance est ainsi mise en évidence.
18. Recherche des invariants et des involutions. — Nous sommes donc amenés à chercher à quelles conditions une équation admet un invariant. D'autre part, s'il existe trois fonctions d'ordre /?, //, n" vérifiant des identités de la forme [n° 9, (•^)]
V— = ?/,( A/)4- Bi, -^ = ç.f Ay> -f- B), -;f- =©„.. Ayj + B),
^jX àx ox '
OÙ n est supérieur à n' et /«", et p' ditTérent de p\ on en déduit que l'expression o'^^^'cs/^J -"oj^r^" est un invariant. Si l'on connaît trois involutions, on pourra former un invariant; si Von en connaît cjuatre, on aura deux invariants (' ). La connaissante d'une involution est donc un premier pas dans la voie des recherches des invariants.
Il est d'ailleurs facile de préciser l'ordre de difficulté des deux problèmes. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une involution n'est pas, comme on pourrait le croire, qu'il existe un nombre 9, vérifiant la relation
ox
(') Voir Cl AT, Thèse, p. ij. ■
il faut, en oiilre, s'assurer que la fonction o peut s'annuler. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe uneinvolution est que le système 1' du n" 10 admette une solution: il est, en effet, exactement équivalent à la relatiou ( 5 ) où l'on aurait fait
et la fonction © ainsi explicitée peut évidemment s'annuler, l'écrivons S sous la forme
du àti
(dii\ jdu\ du /d"-^f\
Nous aurons des conditions d'existence qui se présenteront en général sous la forme a -\- bu =^ o. Si l'un des coefficients b n'est pas nul, il faudra écrire que la fonction — ■ j vérifie le système; s'il en est
ainsi, S admettra la solution j •
Supposons qu'il admette deux solutions w, et u-2- Le système
à(^ / dv \ / f/i' \ ài' / d" î" f\
admet les deux solutions \j [u — Ui) et L(//.2 — u,). u étant une solution de S. Le système
âw /'^'"A , ( dw\ rJir (d"---f\
>p,i.ni 'dpf^„^o ' \d.r / \dy J àp\,n-\\dy"
admet la solution L ( -]■, ce qui revient à dire que celte expres-
sion est un invariant d'ordre inférieur à n. S'il en existe un, (V, on a
Il = U](j — ir ) + U.2 '"' ;
s'il n'y a pas d'invariant d'ordre inférieur à /?, toute solution du système S est de la forme
u — iii(\ — c) -(- c ».j (c = consl. )
et 1 expression ~ est un invariant d ordre //.
Si tous les coefficients b sont nuls, tous les coeflieients a doivent être nuls; le système 1' doit alors ètri! équivalent à un sysième
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complet
lel ([lie toute équation
X,[Xy(«) — y.jU — ,3y]— Xy[X/(?0— '^/« — 3/] = 0
soit une comlîinaison linéaire des équations du système. On doit donc avoir
X,-(Xy) — Xy(X/) — a^X,-+ a,X^= Xi X, + . . .-+- A/^X/,, ^'( «y } — ^j ( z/) EEE a I Ài -i- . . . — a/, À/,, X/( ^y) — Xy( ^,;ss SiÀ,-!-. . .-t- p/,/./,,
conditions qui expriment que l(>s systèmes Xi(f<) = axi et X,(«) = ,0, admettent respectivement les solutions u^ et f/o; le système donné admet alors la solution iii-\-Qu-2' quelle que soit la constante C
et 1 expression — '■ '-^—^ est un invariant.
19. Réciproquement, si II est un invariant d'ordre n >► 3, ou peut tirer de H = G une équation de la forme
P\.n-\-^ l»iP(,.n-^ U^^f. y, Z, ...,C) = 0,
en involution avec la proposée, quel que soit C. Tous les nombres u sont solutions de S; si l'on désigne deux d'entre eux par Ui et //-21 /( = Ui-{-ir{ii2 — iii), (V étant une constanti! ou un invariant d'ordrt;
inierieura /i etde même systemequcll. i^ expression' — —
reste donc constante quand on se déplace sur une caractéristique de
ce système, ce qui revient à dire (pi'on peut remplacer H par l'inva-
pi,„-\ -t- m^po,n -^ l'i
riant — ^ '-^
Tout invariant 'Pordre /j >> 3 peut donc elfe mis sous une forme linéaire par rapport aux dérii'ées d'ordre n. Si n = 3, le système ï prend la forme
àii <)n ,
/ti-, = au -t- o,
/du\ /du\ au /df\ , ,
\.ïxj '\dy) dp,,, \dyj
cl il peut exister deux solutions isolées; s'il y en a 3, le calcul de
Riccati montre qu'il y en a une infinité dépendant d'une constante
arbitraire «,2 + m.n,,.^ — ^: 1 expression -J^^fhi i/lMZ — i
est un invariant du 3'' ordre et l'on démontre comme plus haut que, réciproquement, tout invariant d'ordre 3 peut se mettre sous cette forme (^).
Le problème de la recherche des involutions et des invariants conduit donc, dans tous les cas, à discuter le même système; les solutions isolées corresj)ondent aux involutions; les familles de solutions dépendant d'une constante arbitraire, aux invariants.
20. Équations intégrables par la méthode de Darboux. — Ce sont celles qui admettent deux invariants distincts pour un des systèmes au moins. On peut montrer qu'iV suffit., pour qu'il en soit ainsi, de connaît! e trois involutions d'ordre différent et supérieur à 3. En effet, on connaît alors un invariant qu'on peut toujours écrire
on a alors
»'(/>!, «-1-+- "^ iPo.n +- «) = ('?;
(jX ÙX ÙX
rs.
/H / c//??9 du dhv
D'ailleu
<ly -• V^'''""^'"-^^'"-"^'-^''»" dy ' dy ' -dy
et la condition ^- = o donne
rjx
dn\ dm dw dm^ . d\\
qui s écrit On a donc
dx dy dy'^ dy dy dy
;^— 7 — = A — — OU -— J^ cv = A.
fjx dy dy o.r '
rjX
et comme <|/ peut s'annuler, ■]/==:: o est une involution d'ordre /; + i. On connaît donc quatre involutions, et par suite, deux invariants.
Ainsi, sauf quelques cas particuliers, rechercher les équations intégrables par la méthode de Darboux, revient à déterminer les
( ' ) (JAU, Thèse, p. i8--.>a.
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fonctions /pour lesquelles les systèmes tels que S admettent une solution. Nous allons voir comment, dans le cas le plus simple, on peut transformer et résoudre ce problème.
