CHAPITRE IV
LES ÉQUATIONS S = J\x , }' . Z ^ p , q) INTÉGRAIîLKS PAR LA MÉTIlODi: DR DMIBOUX.
•21. Notations. — Nous poserons
L'équation s = f permet de calculer toutes les dérivées de z au moyen des nombres/?/ et y^ ; on peut donc écrire loute involution sous la forme
o( ,r, jK. J. pi. p-i /?„, '/i, qt. .... q,,) -= o.
Les conditions d'involution s'obtiennent ici en écrivant que
dz. \ i)'^ a *^? ''''""' / —
^/ '^^'""' ^ à^t dx'^ 1 ~ ^'
ne déterminent j)as l'un des deux nombres y^^^i ou ^/z+i- Il faut donc et suffit que c3 soit solution d'un des systèmes
ôpn \dx) ôqa dy'^-^
La première équation de (^A), par exemple, montre que o ne dépend pas àe cjn', comme les expressions y-^ ne peuvent dépendre que de x^ j', c, fji^pi^ ..., p„, dans la seconde équation, le coefficient de r/,i, ~— 1 dans (~ h doit être nul; on voit, de proche en proche, que cp ne peut dépendre des variables y,; il doit donc exister une fonction olJ?, r, z, p^. . . .. p,i) vérifiant la relation
â-j> Os ^. û^ df ôo d'^ I f ôz>
^yj^ ^ àz ' âpi dx ()pi di"-^ op,i
Si cette relation a lieu idenliqiiement, 9 €.sl un invariant d'ordie /«. En particulier a; = c est toujours un invariant. Si la relation n'a lieu (|u"en tenant couiple de l'équation o =0, résolvons celle-ci par rapport à p,i. L'équation
est en involution avec la proposée si quand on y remplace p„ par
+ --} - — 0 Ôpn-y dx"-'- dx"-^ '
Pu par -
- '|i, c'est-à-dire si
df ô^ dx à p..
Oy ' ^ Oz ' '' dpy Si l'on adjoint à cette relation la condition --^ = o, 011 a encore
■" ôq
un système analogue à S. Les involulions correspondent aux solutions isolées; les invariants, aux solutions dépendant linéairement d'une constante arbitraire; on démontre, comme au n° 19, que tous les invariants d'ordre n >- 1 sont de la t\)rme «(/?„ + '}), a et q étant au plus d'ordre n — i. T^e calcul direct donne les mêmes conclusious pour /j = I .
On petit encore écrire la relation précédente sous la forme remar- <puil)le
rjX Opx
22. Conditions nécessaires pour qu'il existe vm invariant d'ordre /i ^ 2. — On connaît un invariant x ou )' pour chacun des systèmes X ou Y de caractéi'istiques. Il suffit d'en connaître un autre pour que la méthode de Darhoux soit applicable, l-^e premier pas a été fait par M. Goursat ( ' ) qui a classé et intégré toutes les équations admettant pour chaque système un invariant autre que x o\\ y et d'ordre au plus égal à •^. J'ai démontré, dans le premier Chapitre de ma Thèse, qu'on est ramené aux mêmes formes si l'on suppose qu'il existe un invariant (l'ordre 2 pour un seul des systèmes de caractéi-isticpies.
(') GounsAT, Annales de la Faculté de 'J'otdoi/.w, r série, l. I, 1899, p. 31-78 et 139-464.
LA MÉTHODE DE DAUBOLX ET LES EQt'ATIOXS S =f(X, y. Z.p, q\. 3f
On se bornera donc, dorénavant, à la recherche des invariants d'ordre /i >> 2.
11 n'y a cjue des difficultés de calcul pour décider si une équation donnée a un invariant d'un ordre déterminé n. Mais une fois cju'on aura reconnu que l'équation (1) n'a pas de solution pour cette valeur de /?, on n'aura aucune indication sur ce qui peut se passer pour une valeur supéj'ieure. La méthode de Darlioux semble donc conduire à des opérations illimitées. Mais, des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe un invariant ou une involution, on peut déduire des conditions setdement nécessaires^ qui ont l'avantage d'être très simples. On profite de leur simplicité pour restreindre la généralité de la fonction /(j:*, i', î, /^ ^ ), et l'on essaye, par des transformations appropriées, de ramener l'équation à une forme canonique avantageuse. On [)eut alors revenir aux conditions nécessaires et suffisantes, et l'on se trouve, en général, devant des calculs plus abordables.
C'est M. Gau qui a trouvé la première condition nécessaire, simple et générale, pour qu'il existe une involution d'ordre n~^ 2. A oici une façon rapide de la démontrer. On a (')
fl" f (}f
dx'^ dp '
les coefficients M étant indépendants de Pn+xi Pn- ■■■j /'a- l'ordre maximum des déri\ces contenues dans M^] étant n — A + 2 et /. étant égal à //-h ■>., en j)o^ant // = 2 n' ou 2/?'+ 1 • On a d'ailleurs
d ôf df df ôf
Ces formules permettent de démontrer le lemme suivant, que nous invoquerons souvent.
Lkmme. — .S'/7 n'existe aucune involution (C ordre inférieur ou au plus égal à ni^ tout nombre u tel que
au du ,. du du d'"-^ f , àf n) - — (-7 h / h. . .H ; 7- -4- ku -~- = o (/>■■ = consl.)
' df ^ dz. ' Oi> <)/>,„ d.r'» " dp ^ '
est nul ou d ordre 1.
(') Gau, Tlièsr, p. 3( et 89.
Supposons u y^ o. Eu cliaai;caut a eu u'' ^ ou peut prendre k^\. On a alors, en posant r = L;/,
si / est l'ordre elï'ectif de r. Si l ^ i , en dérivant par ra[)port à />/ et
T '^^ posant (r ^= L. -T— } (m a
àw do àiv <)iv 0?'-' f of
dy ^ ()z ^ ùp ' ' ' ùpt dx'-"^ ^ Jf)
En retranchant (3) de (4\ on voit que (v — r est un invariant d'ordre l^m; comme il n'en peut exister d'autre cpie .r, on a successivement
L^-r = LX(.r), n = e^'== , ^^'"^^ (X ^ o).
En portant cette valeur de u dans 2, on obtient
à<h <)'b à'b (U--^ f (li-i f àf
0/ (>- àpi-i dx^-'- dx^-^ àp '
Il existerait une involulion d'ordre /£ ni, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc, /=i. C. Q. F. D.
Supposons alors que l'équation />„ +. cp = o soit l'involution d'ordre minimum. On a
,,. d's> ô'ô ^ ôo (h d'i-^- f d"-i f àf
Si l'on désigne par des accents les dérivées par rapport à p,i-\^ on en déduit
si m est l'ordre cHectit de , ■ > iNI""} ('-taut d'ordre I2. Sup-
Op,i-i "'' ~ '
posons /;/ >> 2 et posons u = -p— ^ o. En (h'-rivant ((')) par rapport
dp m
îx pnt^ on voit que n vérifie (2). Gomme il n'est pas nul, il est du premier ordre. Il existe donc un nondjre ).(rf', )', z, p)yéo tel que
LA MÉTHODE DE DARBOUX ET LES ÉQUATIONS S =f{x. y. Z. J>. q).
l'on ait
ÔK àX ^ d\ ^ df
dy ^ dz '' dp dp
UK a^ CA
li(>0-j-H-^^+/^^ + X^=o.
S'il n'existe aucun nombre \r^o vérifiant cette relation, on a ni 5 2. Il existe donc un nombre \}-{x, >', 5, /?,, p-i) vérifiant la relation (6), et l'on a
, . du. dix ^. du. du. df ; . d df df df df
dy dz dpi dp2 «■*' dx dp dz dp dq
En désignant par des accents les dérivées par rapport à y^gi t>n voit que [jl" vérifierait (2), où y»- = 2 ; \/u" vérifierait r,(X) = o; on a donc iji' = o. En faisant dans la condition (7)
u= /■(« — \)ct.{x, y, z, />) + pO, V, z, p),
on retrouve les conditions nécessaires de M. Gau : r, , ^ àt. dy. .di. df d-f
. ^^^^) = £^^à-^fdj.^^''~'^''(rx^i'dz-^f£)
Si l'on permute les rôles des variables x et r, on voit de même qu'il n'y a d'involution du système Y que si y vérifie un des groupes de conditions
(II) (:\(%')=0, C'z([i') =r. o.
'i23. J'ai montré, dans ma Thèse, qu'on peut toujours adjoindre une seconde condition nécessaire simple à la condition F]. Voici un moyen d'arriver plus vite au même résultat.
Si cp vérifie (5), -~- , si m >> 2, est une fonction \(x,y, z, p) y^ o.
On a donc
9' = >- Pm + <1^ t ^, J', Z, .... p,n-^ ).
En portant cette valeur dans (^6), on a, en tenant compte de T,,
dv ^ dz dp,n-\ dx'"--^ \ dx'"-^ / "
MKMORIAL DES .SI'.. MATII. — N» 12. 3
Posons 6' = -—■ — : il vient, si m — i >- tt,
àpm-ï
et le lemme nous assure que 'V' == Xi(a7)Â-, et par suite,
<b' = Xil"^ p,n-i + À iii(x, y, Z, .... pm-i)-
En portant cette valeur dans (()), on obtient
ày ^ <)z àp,n-i dx"'- 3 \d.r'"-^-/
Mais, d'une façon générale, de la relation
on tirera, en désignant par des accents les dérivées par rapport
a Pm- h-i 1
y,. ■= X/,+1 X2, <h'j^ = Xa-+i X2 pni-k-ï -+- X/, X '];/,■+, ( .r, , . . . , pin-k-^ ),
en supposant m — A' — i ^> 2. Si X^ n'est pas nul, on en déduit ({ue dy ^'^ Oz ^■•■^ âp,n-k-^ d.r"^-k^
I din-k-^l f\
dx' Si X^ est nul, 'V,. doit être nul en vertu du lemme; on a alors
^k=- XX/,+ | p,n-k-\ + 4'/^- + l(^- Y: • • • ) /'/«--/-2\
d'où l'on déduit
dy ' dz ■' f)p,n-k-.' dx"^ '^-^
On a toujours une relation de même forme que celle d'où l'on est paiti, mais où l'ordre de la fonction <|/ a diminué d'une unité. On ne sera arrêté dans le calcul que lorsque m — k — i = 2. Il existe df»nc
LA MÉTHODE DE DABBOUX ET LES ÉQUATIONS S = f(T. y, Z. p, q). 35
une fonction g{x.y, z^ /?, 7*) telle que Nous poserons :
dx ùz "^ dq^ dx dp àp àz Op àq àp-
dq dx dp <)p àz <)p dq àp-
ÔW df ôf df
T.'équalion (lo) s'écrit alors
à g à g . à g à g ( ùf „ \
^'^^' fy^'^rz^^Ji.^Tzyàr^'')
\ Op ôp^ j \ ôz dp dq I '
et l'on en lire, en désignant par des accents les dérivées par rapport à r,
dy ^ àz ^ àp dr dx
,df , ^. / df ^ \ , à'- f àp V àp / dj>^
/ ^ àg" à g' . à g" à g" àf „ àf . ^, àf
<^K ^ ds -^ El»/? (^G àx àp àp '
(^^^"' dg- , à?"' dg'" df ^ „, àf
1° X ^' o. Le lemme donne
g'" = a X , A3. g" = 2 [ Xi ) 3,. , Xî e(^, y, i:, p)l
La relation (la) donne alors
àO àO .àf) ^. , ^, X <9-^ /
ày ^ àz '' àp K àp-
Mais on a
ày f dp î {'^'"^àz'i àp X ( ^ -^ àp ) àj^ À \ ~ ). rj^2 ~ "*■
Il existe alors, si Xi n'est pas nul, un nombre îJ-(^', j', z, p) tel que
ôy az dp
Cette condition, jointe àri().) = o, montre que ^ ()./• + jj.) est
nul. Puisqu'il n'y a pas d'invariant du second ordre, X, est nul, et l'on a
dy ( dp A \ ^ àz { dp K \ *' dp \ dp X \
Si l'on se borne aux équations non linéaires en g, on en conclut, en changeant A en aX, ce qui revient à prendre X ^ i, que
dp X -' * V - />/> A/
En portant cette valeur de g' dans (11), on voit, tous calculs faits, qu'il existe un nombre z(3C, y, :•, p) tel que l'on ait
2° Supposons X = o. La relation (1^) donne alors
^"=/X,X^ g' = ([Xi\^r + lO{x,y, z,p)],
et la relation (11),
dy ^ dz '' dp 1 dp'-
Si Xi n'est pas nul, on en conclut comme précédemment qu'il j a un invariant du second ordre. Si X, est nul, B= — X-> + — ^ m et l'on a successivement
(i5) - — ^ q , -^ f -r ^ ' dy ^ ()z •' dp
d ^ dp X
On retrouve la relation (i4) en prenant 1=2. D'ailleurs, en
LA MÉTHODE DE DARBOUX ET LES ÉQUATIONS S = J\ X. y. Z. p. q \. 87
posant ijt. =1 — L.A, on a
()f du. ô]i. j. i)'J.
tjj ^ l)y ^ "^ d^ ^ '' Jp' [dx dp) ~ jy [dxl ^^^ôz \'dx) ' -^ dp [do;) dp \ dx]
= '^ ^/ '^f il .
dp dz dp dq
jEn posant
, / d^x \ . = ^(œ,y^z.p) + li^-^^y
lii condition (i5) devient
1,(9)= -T- + 7 r -+- / dy ■' dz
dy ' dz •' dp
''^■''^[di^P'dJ--^-^ dqj^ dz dpdq
En permutant le rôle des variables x et j', on obtiendrait une condition analogue r„(9) = o.
24. Conditions nécessaires pour qu'il existe xui invariant d'ordre n ^ ■>. — S'il existe un nombre ). 3?^^ o tel que F, (a) = o, la recherche des invariants et celle des involutions constituent le même problème. On a, en efl'et, simultanément
^ ^ , ^ àf 0 df
nx ' dp or dp
s'il existe une involution dans ce cas. On en conclut
-y- LX(/>„-h Cp) = o.
dx
ce qui montre que 'K(pn-^ 9) est un invariant.
Il n'en est plus de même si la condition F, n'est pas vérifiée. Supposons qu'il existe un invariant de la forme aipn -\- '^)\ on doit
avoir
dha dLa d'"-^ f dLa df
ày ~ "^ dz "^ ■ • • dx'"-^ dp,,, dp ~ '
en appelant m Tordre efFectif de a. On aura alors
dV.a /n > I , « = -7 =^ o .
dp,n
En dérivant par rapport àp„,, on a donc
dhu ^ ,)L u d'n-i f dLu ôf
dy ' ^ dz ' ' ' dx"'-^ ôp„i dp ^
Si nous supposons que l'invariant considéré est l'invariant d'ordre minimum, un calcul identique à celui du lemme montre alors
crue a := -r-, » l'équation /?,„ 4-8 = 0 étant en
involution avec la proposée.
L'invariant donné est donc de la forme —
Réciproquement, si l'on connaît deux involutions, les deux conditions
— L(yj„-1- 0)= -;^, — L(/>„, -+-6) = — - {m<:^n)
ùx ^ • àjj àx ^ dp
montrent que ^- 1 est un invariant d'ordre n. Dans ce cas, il est
donc nécessaire et suffisant, pour qu'il j ail un invariant, qu'il existe deux involutions d'ordre différent. Il faudra, par conséquent, ajouter aux conditions C, (a) = o, C2(|i) = o, celle qu'on déduit de G.2(Jj) en changeant ii en m.
25. Le problème général. — On peut le formuler ainsi : Trouver toutes les équations s =zf{x^ r, s, /j>, q) qui admettent une involution d'ordre quelconque n.
Si w = 2, il suffit de chercher pour quelles formes de /le système
du. dix dix . dix df df . df àf
admet une solution en a.
Si /i>2, il faudra d'abord voir pour quelles formes de / le
système
ri(À) = o, r.2(9) = o, ou le système
Ci(a) = o, Co(P) = o
admet une solution en À. B ou a, ^. Pour n = 2, on n'a pas d'autres conditions. Mais si n est > 3, la méthode qui nous a donné les conditions G est susceptible de nous en fournir d'autres. Elle suppose, en
effet (n» 22), que
, do / X o
a' = —- : — = [jL = ( /? — I ) a (' -4- p.
dpn-i
LA MÉTHODE DE DARBOUX ET LES ÉQUATIONS S=f(x. Y. Z. p. q). Sg
On a donc
et la relation (5) donne alors, après simplifications,
les termes non écrits à la lin du second membre étant d'ordre inférieur k n — ■ 2 et M^~j étant d'ordre ^ 3. Supposons n — 2 > 3. En
i)0sant 'b = - — ~ , on a
' ' àpn-2
m étant l'ordre effectif de -V. Si m est supérieur à 3, en posant
on a, en dérivant par rapport à />,„,
dy ^ <^- (^/?,„ dx'"-^ dp
et puisque la condition F, n'est pas vérifiée par hypothèse, il y a, d'après le lemme, une involution d'ordre ^7i. Si l'invohition étudiée est celle d'ordre minimum, il faut que l'on ait m'S3 et il existe alors une fonction /i(.r, >', z, /j,, yOo, ^3) telle que
âh dh . oh df à h d"- f ûh ^.„ , ^,„ ,
ôy ^ dz •' àpi dx ôp^ dx^ àp^ ^ " ^ " '
Un calcul simple montre que, si l'on pose K=,--|--^-^, on ^ T ' r ôz dp ôq
aboutit aux conditions
^ , , du du du
dy ' dz '' dp
^ df , ,„ „ dH . n dlv d^-f df
a/) (//P 2 dp dp- dq
„ , , (^i' , dv dv
\ f/o: / 2 \ dx ) dq \ dp
4o R. GOSSK.
u et V étant des fonctions de ic, y^ z^ p seulement. On retrouve directement des conditions analogues quand /z ^ 3, 4 ou 5.
Il faut alors chercher si les quatre conditions C peuvent être satisfaites et, s il en est ainsi, la même méthode peut donner d'autres conditions.
Ce problème n'a pas été abordé dans toute sa généralité.
On peut encore se demander s'il existe des équations s =.f qui admettent un seul invariant^ pour un des systèmes de caractéristiques. S'il existe un nombre A ^ o, tel que F, ( X) = o, ce problème se confond avec celui que nous venons d'analjser. Sinon, nous avons vu au 11° îl^ qu'd j a deux involutions. Supposons-les, par exemple, toutes deux d'ordre supérieur à 3. Les conditions Co, C3, G^ devront être vérifiées par des fonctions [j', u\ v de x, y, 5, p seulement^ n y étant remplacé par un autre nombre entier n . On voit facilement qu'il suffit, pour qu'il en soit ainsi, d'ajouter aux quatre conditions G déjà écrites l'unique condition
„ dw dw i)w
Ge problème n'a reçu de solutions que dans des cas très particuliers. Sophus Lie (^) a démontré directement que l'équation 5 z=z f(^z) ne peut avoir d'invariants que siy"(^) est constant ou égal à GiC'^'^; M. Coursât (-) a montré qu'une équation linéaire dont la suite de Laplace se termine après p -]- i transformations admet un invariant d'ordre p^ et réciproquement : la méthode de Darboux et celle de Laplace réussissent en même temps. Moutard (^) a ramené aux équations linéaires les équations
Glalrin (') a ramené au type de Moutard les équations .s ^=.f[x,y'^z) (|ui admettent un invariant. Mais on n'a pu résoudre de problèmes relatifs à des équations quelque peu générales qu'en supposant l'existence d'une involution pour chaque système de caractéristiques.
(') Voir GouKSAT, Leçons, t. II, p. i82-i85.
{■) GouRSAT, Leçons, t. II, p. 174-178.
(') Voir GounsAT, Leçons, t. II, p. 228 et scj, 278-280.
(') Clairin, Bulletin des Seiences mathématiques, t. XXIX, 190.5, p. 177.
LV MÉTHODE DE DARBOUX ET LES ÉQUATIONS S =J\x. y. Z. p. q). /^l
26. Les problèmes résolus. — Si nous désignons par des accents les conditions qui se déduisent de celles que nous avons établies en jjermutant le rôle des variables x et j', il peut exister une involution pour chaque système de caractéristiques dans trois cas différents suivant que sont vérifiées :
i" Les conditions C et C;
2" Les conditions G et F' (ou F' et C);
3° Les conditions F et F'.
M. Gau ( ') en a fait l'étude systématique en supposant l'équation bilinéaire
Dans les deux premiers cas, l'équation proposée peut toujours rire mise sous la forme de Moutard et se ramène, par suite, à une équation linéaire intégrable par la méthode de Laplace. Dans le troisième cas, il y a un invariant (n" 25) pour chaque système de caractéristiques. L'équation ne peut être que de la forme
s ^:^ a{x, y, z) pq.
»i f>ct nnt nul itn
dx
Si —- n'est pas nul. on peut encore la ramener ci la jormr de
Moutard. Si -r- est nul, on peut l'écrire ■ ax '
s= pqjzho^biy, z) et elle admet l'intégrale intermédiaire du premier ordre
M. Gau a démontré (ju'elle ne peut admettre d'imariants du système X que s'ils sont de V ordre i ou 6.
Dans les, deux cas, l'équation se ramène à un des types étudiés et intégrés par M. ,Goursat (n" 21).
J'ai généralisé ces résultats dans ma Thèse.
En supposant que l'équation s=^fix^y^ z. /?, q) n'est linéaire ni par rapport ci p, ni par rapport à q, j'ai démontré qu'elle ne
(') Gau, Thèse et Ànnalrs de l'Université de Grenoble, t. XXVj p. (jS-ioS.
peut admettre une iiwolution pour chaque système de caractéristiques que si elle se ramène par une transformation simple à V un des types de M. Goursat.
Dans un récent article des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse ^'^^aàèVenàw ce résultat aux équations s = f(^x^y, 3,/>, q) linéaires soit par rapport à p, soit par rapport à q, sous la réserve que ces équations n'admettent pas d'intégrale intermédiaire du premier ordre.
L'ensemble de ces résultats permet donc d'énoncer le théorème général suivant :
Théorème. — Toutes les équations s=/(.r, r, z, p, q) qui admettent une involution pour c/iaque système de caractéristiques ^ sans admettre d'intégrale intermédiaire du premier ordre^ se ramènent par des transformations simples aux équations de M. Goursat.
On en déduit immédiatement le corollaire suivant :
Toutes les équations s =f(^jc, y, z, p, q) qui sUntègrent par la méthode de Darhoux., sans admettre d^ intégrale intermédiaire du premier ordre, se ramènent par des transformations simples, aux équations de M. Goursat.
Il ne nous reste donc qu'à étudier les équations qui admettent une intégrale intermédiaire du premier ordre.
CHAPITHE V.
DES ÉQUATIONS S = f (.X, y, Z, p, q ) QUI ADMETTENT UNE INTÉGRALE INTERMÉDIAIRE DU PREMIER ORDRE.
