Cette intégrale intermédiaire sera, par exemple

Il faut alors que -^ soit nul et l'équation pourra s'écrire

(Jo ào Ov> „ , . ,

s -f- -hp -y- + -^ =o OU S =zpQ(x,y, z, q)-^M{a:, y, z, q).

(Iq oz ox

LA MÉTHODE DE DARI50UX ET LES ÉQUATIONS S =f(x. Y, ^. f, q ). 4^

S'il j a une involution du système Z, on a ou bien les conditions F, ou bien les conditions C, et la discussion montre qu'on n'a à étudier que les deux types d'équations

(i) ^ £ '^ jf- ^ ^' ■^'' ^ -* "" ^ °" ^ = f(^^y'^)^

(II) s*^ +p -^(r, z, (j) = o ou s =pf>{r, z, q).

28. Étude des équations s=f{x,y, q). — Soit (f une solution quelconque de l'équation

(h . (h (Jx '' dq

L'équation donnée peut s'écrire o {x^y^ ^) =^ ^ (j) ^^ il est clair qu'on peut prendre pour œ une fonction quelconque de lui-même et dey sans que l'équation précédente cesse d'être une intégrale intermédiaire.

Posons

dx ' âq

on a

et la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une involution d'ordre /?, jo« +<1' (■^,^7', z, . . . ,p,i-i ) = c» s'écrit

Désignons par des accents les dérivations par rapport à />//( ; on a

dj- ^ Os •' ap,t-i

Si n est l'ordre minimum d'involution, cette condition exige que

'y= Pn i X„i(a7) -+- '\'i(x, y, z, .. ., pn-i)-

On voil de même que

à = X„,/>„,-4-. . .-f- X,jD., -I- Xos + ,^'(.r, y).

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait une involution d'ordre n s'écrit alors

(A) ^+grXo-4-/X,H-X2F,('/)+...+ X„, F,,o(/) + F„,(/) = o.

C est là une équation aux dérivées partielles que doit vérifier /*, et nous pouvons supposer qu'elle n'en vérifie aucune autre de même forme et d'ordre inférieur, si l'invariant d'ordre minimum est d'ordre n.