Lemme. — Si la fonction fi^a^ v) vérifie la relation

F/,f/) + kh(u) \^k-i(f) + . . . + A, ( m)/+ V Ao( «) =2 ^'(?) '^'•("'';

C3 étant une solution quelconque de l'équation -r^ + /^-r- = o, f vérifie aussi une relation de la forme

Fk-t(f) + C/,i(:«) F/,,(/) -+-...+ P Coin) = y taf)Di(u).

Remarquons, en effet, que pour que l'on ait identiquement

[F^.(/) + A,(a)F^,(/) + ...+ P'Ao]U(»,)

^ F,[UFx-,+ E^.,(«) F^.o(/) +. . .+ i^ Eo(u)]

11 faut et il suffit que Ton ait

R; + Eo=AiU, e;=AoU.

L'identité sera donc assurée et les nombres E déterminés, si l est une solution quelconque non nulle de l'équation différentielle

UAo— f U A, 1' -^ . . . -h (— I )'■[ UA,-](« + h (— !)/'■[ UA/,- U']'« = o,

les indices indiquant les dérivations par rapport à u.

LA MKTHODE DE DARBOUX ET LES ÉQUATIONS S ^= f[ X. y. Z.J>. q). 4 J