I. a relation donnée s'écrit alors, en posant

<l = UF/,-,-t- E^-i(Hj F/,, + . . .- fEo,

Fi(.i) = U Vb,(«)^,-(cp),

et l'on obtient bien en intégrant une relation de la forme annoncée.

THÉ0Ri-;viE. — L'intégrale générale de V équation

F„,(/) + A„,f«)F„2C/)+...-^A,(«;/ + rAo(«)-=B(«)

s'obtient en éliminant 9 entre les deux équations

('= ?/l /,(cp) •+-. . .-r- W„/„(cp) -+- if„ + \, f = n\ Iii^) -+-. . .-I- «'„ /,j(cp) -i- it'„+i,

les nombres li étant n fonctions linéairement indépendantes de o, u,i+{ étant une solution particulière de Céquation

et /;,, Mi, . . ., u,i formant an système fondamental d' intégrales de la même équation sans second membre.

L'application réitérée du lemme donne précisément, pour y" et i', les expressions annoncées, les fonctions // étant arbitraires. En portant ces valeurs dans l'équation proposée et écrivant que celle-ci esl vérifiée quelles que soient les fonctions //, on obtient les dernières conditions. La démonstration suppose, comme le lemme, que la fonction f ne vérifie aucune équation de même forme et d'ordre inférieur.

GoNst^.QUKNCEs. — Toulcs Ics équalious s=f(a;, )•, q) qui admettent un invariant d'ordre supérieur à 2 s'obtiennent en é'ilminani co entre les deux relations

46 R. gossp:.

Un changement d'inconnue évident permet de prendre ^«^, = o, et l'intégrale générale de l'équation est

z=\{x)^^'ii{x)Jli\y, X{y)\dy.

30. Il est facile d'en déduire toutes les équations qui admettent une intégrale entièrement explicite. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le système de Pfaffà n équations et « + 2 variables

rtjss dyi— li( y, () dy — o (f = i, -î, . • • ■ n)

soit un système spécial (*). En appliquant la méthode due à M. Cartan, on voit que, pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'on ait

-— = <?iit)f(y, t) {i = i, '2, ..., n).

Nous allons montrer directement qu'on peut alors expliciter :;. Explicitons d'abord les fonctions /,. On a

fi= hfi/dt, ..., li= oi/dt,

Si l'on pose

on a

1, = ^, l.^lV.i^,- f^.^lc/t ii =

En désignant par des accents les dérivées par rapport à if et en

posant

-L,(ll>V=.f,(y, 0. H,^=:(IJ',)' :(»;)', il vient

En continuant ainsi de proche en proche, on arrivera à chasser (') Voir Cautan, Bulletin de la Société mathématique, l. XLII, i\)\t\, p. 12- jS.

LA MÉTHODE DE DARBOL'X ET LES ÉQUATIONS S= f{x.y, Z-. p, q). 47

tous les signes d'intégration des expressions de /,, et en posant

on aura finalement

'' ' ôv àv dt ày dl" XmÀ dy dt'^

a„.i étant nul, et les nombres a^ ^ étant des fonctions de la variable / qui ne dépendent que des fonctions cp/. La fonction d/ étant arbitraire, puisque/ l'est, on a identiquement

Ot c'est-à-dire

.^ ôy ât''~^ ^ - .^^ ay at'^

et les nombres a, /, vérifient les relations de récurrence

Si donc on pose

on a