DANS LA
IMIILOSOPIIIE DES MATIIÉIVTIOIES
CllAl^lTlΠl'IlEiMlEK
CONSIUÉRATIONS (iblNLIlALKS
Un or-and nombre de matliémalicieiis, analystes et oconu'tres, oui, dans le courant du xix" siècle, aboi'dc l'étude des principes, — idées primitives, axiomes — qui forment la base de la science. Il semble par là (pTils aient empiété sur un terrain qui constitue le domaine propre de la philosophie, puiscjue Ton aliirme généralement qu'aux savants sont réservés les problèmes spéciaux qui ne peuvent se résoudre que par les mélliodes tcchnicpies, aux métaphysiciens l'étude des principes fondamentaux de la science. Il s'agit donc de savoir si la crili(pic des principes, élaborée pai- des savants en dehors de tout système philoso|)hi(|ue, résout tous les problèmes que l'on peut se poser légitimement concernant les notions élémentaires, ou bien si, auconlrairc, celte critique reste, par sa nature même, liée à cer-
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laines questions de métaphysique, et soulève nécessairement des discussions scolastiques sur l'idéalisme et l'empirisme, l'intuition et la logique, etc.
Mais parmi les savants qui ont entrepris des recherches sur les principes, les uns introduisent dans des travaux de pure méthodologie scientifique ou d'histoire des sciences des thèses philosophiques, les autres écartent résolument tout ce qui peut ressembler à une discussion sur l'origine ou la nature métaphysique des notions élémentaires. Les travaux de M. Duhem sont conçus dans la première manière ; les Principes de géo)n(H?ne de M. D. Hilbert, ou Y arithmétique de M. Peano, constituent des exemples de la seconde méthode.
« La géométrie, de même que l'arithmétique, écrit Hilbert \ n'exige pour sa construction logique qu'un petit nombre de principes fondamentaux simples. Ces principes fondamentaux sont dits les axiomes de la géométrie... La recherche qui suit est un nouvel essai dans le but d'établir la Géométrie sur un système simple et complet d'axiomes indépendants. » Concevons trois différents systèmes d'êtres : les points, les droites, les plans. Ces êtres ont entre eux des relations mutuelles. « La description complète de ces relations a lieu au moyen des axiomes de la Géométrie". » Il y a,
1. Hilbert, Les principes fondamenlaux de la (jéonietrie trad. Laugel, p. 5.
