Poincaré, La valeur de la Science, p. 213 et siiiv

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de leur origine absolue, mais au point de vue de la méthode mathématique : étaient-ils démontrables ou indémontrables, nécessaires, c'est-à-dire leur suppression devait-elle conduire à des contradictions, ou non nécessaires ? Les géomètres qui ont créé la géométrie non-euclidienne et les géométries à n dimensions avaient surtout en vue de perfectionner l'instrument mathématique. Ils n'ont sans doute pas aperçu, à l'origine, le parti que la haute analyse pouvait tirer de leurs conceptions, par exemple dans l'étude de la formation des groupes fuchsiens (Poincaré) ou dans la construction de domaines fondamentaux relatifs à la théorie des fonctions abéliennes, etc. Mais il est certain qu'ils ne pensèrent pas que la recherche sur les principes a une valeur métaphysique indépendamment de la science proprement dite, et c'est surtout le développement de la science future qu'ils avaient en vue. Disons donc, pour conclure sur ce point, qu'il ne faut pas orienter le système des principes vers une métaphysique, mais vers la science. Une question plus (jue toute autre a pu paraître liée nécessairement à la métaphysique ou à la théorie de la connaissance, c'est celle du rapport des postulats de la géométrie avec l'expérience. Revenons donc, en terminant, encore une fois sur ce problème afin d'anéantir les équivoques. Tenons-nous en aux deux principales observations de M. Poincaré.

D'abord, rexpériencc, qui n'est qu'approximative, ne peut décider de la vérité objective des propositions fondamentales d'une science logiquement exacte comme la géométrie (si l'angle que font deux droites passant par un premier point distant d'un second point, comme Sirius l'est de la Terre, est égal à un millionième de seconde, nos instruments de mesure ne pourront décider si l'on peut mener une ou deux parallèles passant par le premier point à une droite menée par le second — exemple de F. Klein). Mais cette première observation n'a rien de métaphysique, ni même de philosophique ; c'est une constatation sur la nature de la méthode expérimentale que tout le monde peut faire. La seconde considération de M. Poincaré, c'est que l'expérience détermine notre choix entre plusieurs conceptions logiquement possibles. Remarquons que les savants ont adopté le type de géométrie euclidien avant d'avoir eu un choix à faire, au sens exact du mot, entre des conceptions géométriques diverses. Euclide, continuateur d'une tradition déjà longue, a formulé ses principes plus de vingt siècles avant l'éclosion des idées non-euclidiennes. La détermination de notre géométrie pratique se présente donc comme le résultat d'une expérience séculaire et non comme un choix véritable résultant d'une délibération à un instant donné : nous nous trouvons, en un mot, en face de la conclusion d'un long développement historique.

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Si Ton se reporte, en effet, à l'histoire de la Géométrie et de la Mécanique, on constate manifestement le rôle que rexpérience a joué dans la formation de sciences qui, à Torigine, furent uniquement des techniques d'artisans (arpentage, etc.). La seconde considération de M. Poincaré doit donc être interprétée comme la confirmation d'un fait historique, et à ce point de vue elle est indépendante de toute métaphysique. Ne cherchons donc pas à transformer une règle de méthodologie expérimentale et une constatation historique en articulations d'une métaphysique empirico-nominaliste. Résignons nous à reconnaître que des questions aussi vagues que celle-ci : quelle est la valeur objective de la connaissance ? ne comportent également que de vagues réponses qui, formulées dans la langue de l'opinion, seront comme les opinions (philosophiques, religieuses, politiques) l'objet de discussions sans fin.