Abt 1, Œuvres, édition Sylow et Lie, II

2 Nous attribuons au mot intuition son sens vulgaire. L'intuition est un rapprochement fait par l'imagination, rapprochement non contrôlé par des critères logiques.

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vérifier les équations proposées '. » La série d'Euler 1 — 1 + 1 —

dont les anciens mathématiciens se faisaient une conception erronée, pourrait nous fournir un autre exemple de l'imprécision de leurs méthod<îs. Les géomètres du xviii'' siècle employaient les séries divergentes, parce qu'elles réussissaic>nt empiriquement, sans se préoccuper des difficultés logiques qu'elles pouvaient soulever.

Ce que nous venons de faire remarquer au sujet de la convergence des intégrales des équations différentielles et des séries divergentes, serait également exact en ce qui concerne bien d'autres branches des mathématiques. Rappelons, encore, à ce propos, les transformations de la définition de l'intégrale. Les analystes, depuis Gauchy et Dirichlet, se sont efforcés de substituer à la notion confuse de l'intégrale considérée comme une aire une définition analytique rigoureuse. Les travaux de Riemann ont contribué à éclaircir ce sujet, et à notre époque il faut signaler les résultats obtenus par M. Lebesgue. Ici encore, à l'intuition vague, on substitue des définitions analytiques exactes. On peut donc dire, en restant dans la vérité historique, que l'analyse du xviii'' siècle était beaucoup moins rigoureuse que celle du xix' siècle, et à moins do

i. Gauchy, Exercices d' Analyse et de Physique, I, 327.

soutenir que les travaux du xix'^ siècle marquent un recul sur ceux du xviii% il faut bien reconnaître, que l'ensemble de l'évolution de la science mathématique indique un progrès dans le sens d'une plus grande précision logique.

L'affirmation de M. P. Boutroux « qu'il est souvent avantageux de substituer, dans la théorie des fonctions, à l'étude d'un développement, celle de caractères moins précis et plus intuitifs ' », doit • être entendue en ce sens, qu'il est commode, pour la recherche, d'employer des méthodes moins rigoureuses; mais il est incontestable que les résultats obtenus devront, avant d'être incorporés défmitiment à la science, être contrôlés par les méthodes les plus précises. Assigner un autre sens à cette affirmation serait donner un démenti à tout le développement des mathématiques modernes.

Du moment que le progrès des méthodes mathématiques consiste à faire à la rigueur et à la précision logiques une part de plus en plus grande, on devait nécessairement être amené à scruter les bases mêmes des raisonnements des géomètres, à analyser les types fondamentaux des démonstrations, et à fixer les éléments indéfinissables sur lesquels ces démonstrations reposent. Mais, si le développement historique des mathématiques paraît bien prouver qu'en droit au moins la logistique

4. P. Boutroux, Thèse sur quelques propriétés des fonctions entières, p. 1.

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est légitime, dans quelle mesure peut-on dire que la réduction logique des raisonnements mathématiques est achevée en fait? Les idées primitives et les propositions indémontrables caractérisées par M. Russell constituent-elles toute la trame logique des mathématiques? Ce sont là des questions à examiner en détail. Il semble certain qu'il y a des problèmes que M. Russell a résolus, d'autres qu'il n'a pas résolus, et qu'il ne serait guère raisonnable de lui demander d'édifier, à lui tout seul, toute la logistique. Constatons, d'ailleurs, que M. Russell semble s'être fait illusion sur la portée de la logistique lorsqu'il a écrit que « Ihe fact that ail mathematics is symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our âge* ». Mais il paraît bien qu'il restitue lui-môme à la logistique sa véritable portée, lorsqu'il voit en elle une sorte de spécialité % une branche des mathématiques, ignorée en fait de la plupart des mathématiciens, et non l'instrument indispensable de toute recherche mathématique. Quelles sont les frontières précises de cette branche nouvelle des mathématiques ? Quelle est sa tâche positive, et quels sont ses rapports avec les grandes théories mathématiques, et notamment avec la théorie des fonctions ? Telles sont lesquestions qu'il faudrait résoudre. Mais ce sont là