J. Richard, Ibid., 30 novembre 190G, p. 9i

3. Coufurat, Revue de métaphysique et de morale, mars l'JOfi, p. 220.

dire qu'il est imprimé, n'a pas une grande valeur. Le raisonnement qui met en demeure les adversaires de la Logistique, de trouver des erreurs de démonstration dans le Formulaii^e \ est certainement plus sérieux, mais il n'écarte pas l'objection principale. Si, comme on le lui reproche, la Logistique n'est, lorsqu'elle reprend le travail même du mathématicien, qu'une traduction avec d'autres signes, du raisonnement mathématique ordinaire, il est bien certain qu'elle ne pourra commettre d'erreurs que s'il s'en trouve dans le raisonnement original ; ce qu'on reproche à la Logistique dans ce cas, ce n'est pas sa fausseté, mais son inutilité^ une méthode ayant justifié son existence, soit lorsqu'elle permet de résoudre des problèmes non résolus par d'autres procédés, soit lorsqu'elle a sur les méthodes existantes des avantages de précision et de rapidité. Or la méthode logistique n'a pas permis de solutionner des problèmes proprement mathématiques non résolus avant son apparition ; elle ne saurait non plus prétendre à la rapidité. Il reste donc à voir si dans le domaine mathématique proprement dit, et non plus seulement dans le domaine des principes des mathématiques, elle possède des qualités d'exactitude que n'ont pas les méthodes classiques, en formulant, d'une manière explicite, tous les postulats dont on se sert inconsciemment d'ordinaire.

\. Ibid., p. 221.

LA METHODE LOGISTIQUE 61

En fait, remarquent les logisticiens, si le mathématicien ne se trompe pas, c'est qu'il est guidé par une logi(|ue inconsciente. Examinons donc sur le plus élémentaire des exemples, sur l'addition arithmétique des nombres entiers, s'il y a place pour une intervention de la Logistique, dans le domaine proprement scientifique. Laissons de côté les questions sur les principes (définition du nombre, etc.), puisque à notre point de vue, elles sont du ressort de la Logistique.

L'opération + sera caractérisée, comme dans tous les traités d'arithmétique, comme une opération primitive ayant les quatre propriétés :

1" D'être associative;

2° D'être commulative;

3° D'avoir zéro pour module;

4° D'être telle que si à un nombre a, on ajoute des nombres différant entre eux, on obtient encore des nombres différant entre eux.

Ces propriétés, tout le monde le sait, ont été formulées longtemps avant l'existence de la Logistique. Supposons que le système de numération ait été déterminé, ainsi que les règles pour l'écriture des nombres dans le système choisi (nous renvoyons pour le détail de ces règles aux traités d'arithmétique), et que, finalement, il s'agisse d'additionner 5 -}- 7 -H (3 H- 4) = 19. Les règles élabUes par l'arithmétique sont-elles suffisantes pour éviter toute erreur ? Les erreurs sont-elles évitées

en vertu d'une logique inconsciente, ou en vertu des règles de l'arithmétique? En un mot l'arithmétique elle-même ne fait-elle pas fonction de logique? Et toute erreur dans les calculs d'addition n'estelle pas impossible du moment que Ton applique correctement les règles de l'arithmétique? L'emploi d'un calcul logique pour contrôler la justesse de l'opération n'est-il pas surérogatoire ?

Nous ne pensons pas qu'il puisse y avoir de doute à ce sujet. Si l'on considère notre exemple comme trop simple, on peut se poser la même question pour le calcul trigonométrique. On peut, tout d'abord, introduire les fonctions trigonométriques sin x et cos x selon la méthode indiquée par J. Tannery de manière à réduire le plus possible les données expérimentales : « On établit encore par des considérations géométriques les formules :

cos [a -j-- 6) r= cos a cos h — sin a sin b

( sin [a-\-h)=^ sia a cos b -\- cos a sni b.

Je vais montrer (en supposant toutefois leur existence) comment on peut déterminer toutes les fonctions continues -j (j:), <| [x] qui jouissent des propriétés définies parles formules

( cp(a + 6) = o(a)c?(6)-<L(a)'Hft) i-i / ^ {a + 6) = '1^ («) C3 (6) + '\ [b) cp [a]

et satisfont en outre à une autre condition... En désignant par cos x et sin x des fonctions dont on sait qu'elles sont continues et qu'elles doivent satis-'

LA MKTHOniî LOGISTIQUE 63

faire aux équations (1)... on devra à cause de la relation '■

r (*) + ^' i-^) = e"^ (que l'on a établie)

avoir la relation

(3) sin- X + cos- x= l. » (2)

Les fonctions sin x et cos x sont déterminées par les formules (1) et (3). Considérant les fonctions sm X et cos x comme données par leurs développements en séries, on peut montrer comment ces fonctions satisfont effectivement aux conditions dont on est parti. Sans reprendre les démonstrations dans tous leurs détails, on voit qu'il y a là un point de départ, pour établir, d'une manière rigoureuse, les formules de la trigonométrie élémentaire ^ En appliquant exactement les règles ainsi obtenues, on peut être assuré de ne jamais commettre de fautes dans un calcul trigonométrique particuculier. Ce ne sera pas la logicjuc inconsciente, mais l'application littérale des formules qui nous aura permis d'éviter les erreurs. Mais comme, d'ailleurs, tous les raisonnements de l'algèbre, de