Un a posé
cos X ^ o (x) e ~ ^'
sin X = i (x) e 2"
etc.
1'. J. Tanncry, Inlroducl'wn à l'étude des fondions d'une vuria/jle, l™ édilion, p. 146.-
■j. lôid., p. 157.
64 LA PHILOSOPHIE UKS MATHÉMATlQUliS
l'analyse et de la géométrie sont aussi rigoureux que ceux dont nous venons de parler, et qu'ils s'obtiennent tous au moyen des règles classiques du calcul, on ne voit pas bien le rôle utile que la logistique peut jouer à Tintérieur du domaine particulier de ces différentes sciences.
Peut-être que M. Peano et ses collaborateurs ont eu l'impression qu'en se bornant à la détermination des principes grannnatico- logiques des mathématiques, la logistique n'aurait plus constitué ■ qu'une spécialité limitée ; et comme l'idée d'une méthode générale nouvelle hantait probablement leurs esprits, ils ont introduit dans le Formulaire nombre de pages qui ne devraient pas, strictement parlant, y figurer. Nous citerons, à titre d'exemple, entre beaucoup d'autres que nous pourrions signaler, les pages 35, 40 et 41 du tome V du Formulario matematico.
A la page 35 nous voyons écrits, sous la forme ordinaire, les développements des premières puissances du binôme {a-\-b), du trinôme (a + 6 + c) et des expressions algébriques telles que : (a + 6)'* -f a' 4- h' = 2 (a^ + a6 -f h'^Y.
Toutes ces expressions figureraient aussi bien dans un traité d'algèbre ordinaire et nous ne voyons aucun perfectionnement de méthode sauf qu'au début du paragraphe 2 se trouve l'expression :
a, b eNo-O.
LA MKTHODE LOfilSTIQUE 65
et au début du paraorapho 3 l'expression analogue :
a, h. c £ No.o.
Ce qui veut dire que, dans les propositions suivantes, a, ù, c, doivent être considérés comme des nombres : nous nous en étions bien un peu doutés. Les pages 40 et 41 concernent des inégalités comme :
a2 + 62 > 2ab.
Ici encore toutes les expressions pourraient fio-urer dans n'importe quel manuel d'exercices algébriques. Ce qui distingue l'exposition an Formulaire de celle d'un traité ordinaire d'algèbre, c'est qu'au début des paragraphes, on trouve l'expression : a, 6 £ N^. rt- = 6,0.
Si nous remarquons que a- = b peut, au point de vue algébrique, s'écrire a ^ 6, la formule signifie qu'il s'agit de nombres naturels. On n'aperçoit pas, d'une manière générale, ce que le calcul algébrique pratique doit gagner à ces remarques évidentes. A partir du moment où commence le calcul algébrique proprement dit, le^ règles de ce calcul sont devenues les règles logiques, et il n'y a rien à chercher en dehors d'elles. iNous voyons donc que les auteurs du formulaire ont, sur certains points, empiété sur le domaine de la mathématique proprement dite, et relativement h ces points, leurs théories faisant double emploi avec les méthodes existantes, doivent être rejetées comme inutiles.
WlNTER. K
Mais il existe une branche cVélndes spéciales qui constituent Fobjet exclusif du travail des logiciens. En effet, il faut, pour enseigner les premiers éléments du calcul, employer des phrases; il serait, évidemment, impossible d'exposer les principes élémentaires des mathématiques sans un discours grammatical préalable : u L'étude de la grammaire, écrit M. Russell, est à mon avis, capable de jeter beaucoup plus de lumière sur les questions philosophiques que les philosophes ne le supposent généralement \ » C'est ainsi que l'on rencontre les signes o, '^, £... etc., c'est-à-dire l'implication, la conjonction et, Tappartenance à une classe, etc. Ces
sio'iies sont substitutifs d'idées fondamentales.
Comment caractériser ces idées ? Combien en cmploiera-t-on ? et comment ces idées se rattachent-elles au mathématisme proprement dit? Ce sont des questions auxquelles on doit répondre et qu'il faut traiter avec la même précision que les mathématiques mêmes, si l'on veut éviter que le point de départ de l'arithmétique, de l'anal^'se et des autres branches des mathématiques ne soit noyé dans un brouillard.
M. Russell a déjà considérablement éclairci ces questions dans le chapitre V des Principles of matkematics qui est consacré au « denoting », où est mis en évidence le rôle des vocables ail (tout),
