LA DÉFINITION DU NOMBRE IRRATIONNEL ET LA GÉNÉRALISATION DU NOMBRE

Xous ne pouvons songer à examiner systématiquement toutes les théories de la logistique. Nous nous contenterons d'examiner quelques questions. Occupons-nous, tout d'abord, de la définition du nombre irrationnel, qui est exposée au chapitre xxxiv des Principles of mathematics de M. Russell. Résumons d'après M. Couturat les résultats auxquels aboutit M. Russell. « Sa définition consiste à identifier le nomijre irrationnel à la classe inférieure qui servait précédemment à la définir... On appellera segment toute classe de nombres rationnels non nulle, qui ne comprend pas tous les nombres rationnels, qui comprend tous les nombres rationnels plus petits qu'un quelconque de ses éléments, et telle que chacun de ses éléments est plus petit qu'un autre de ses éléments \ » On

•1. Coiilurat, f.es principes det maihéinaliques. p. 83.

peut exprimer en symboles ces deux dernières conditions. On montre qu'il y a plus de seg'ments que de nombres rationnels. « Ces segments seront, par définition, les nombres réels'. » Le nombre irrationnel a été identifié à la classe inférieure^. Le principe de cette définition est dû à Pasch, et il semble que le mérite principal de M. Russell ait été de rattacher cette conception à la théorie logistique. Mais cette dernière doctrine apporte-t-elle la moindre clarté dans les difficultés proprement mathématiques qui ressortissent à la théorie des nombres irrationnels? Aucunement, ainsi que nous allons le montrer immédiatement.

En quoi la définition précédente et les différentes théories logistiques concernant les nombres irrationnels ont-elles contribué à la résolution du problème suivant :

Un nombre étant défini par une suite infinie de nombres entiers, reconnaître si ce nombre est commensurable ou incommensurable^ ? On sait, il est vrai, que si un nombre est défini par son développement en décimales, il faut et il suffit, pour que le nombre soit commensurable, que la série