Couturat, Les principes des mathématiques, p. S

2. On pourrai! identifier aussi le nombre irrationnel à la classe supérieure.

3. Nous emploierons indifféremment les termes « incommensurable » et « irrationnel », (jui sont également défectueux. En général, le terme « incommensurable » s'emploie pour les grandeurs.

I,A MKTHODE LOGISTIOUR 75

soit i)ériodique à partir d'un certain rang. On sait encore, que si le nombre est développé en fraction continue, il faut pour qu'il soil commensurablc que le développement soit limité. Mais ces règles ne résolvent pas le problème général*. Ce n'est pas tout, la théorie logistique ne nous permet pas de reconnaître si un nombre incommensurable défini est algébrique ou transcendant, et dans le cas où il est algébrique de déterminer son degré.

En ce qui concerne notamment les nombres transcendants, leur existence n'est nullement évidente a priori, elle résulte en particulier d'un théorème de Liou ville :

— étant une fraction irréductible, valeur approq chée du nombre \, si l'on a :

les valeurs de q dépassant toute limite, ç ne peut pas être un nombre algébrique du degré ?i. Si nous pouvons faire celte démonstration pour chaque valeur de n, i est transcendant". Ainsi l'existence de ç exige une démonstration particulière. Ajoutons qu'en ce qui concerne les nombres algébriques, il existe un théorème de Lagrange qui permet de reconnaître lorsqu'ils sont du deuxième

1. E. Cahen, Eléments de la théorie des iwmhves,p. 172 et 183.