Goulural, De l'Infini mathématique, note I, p

raisonnement qui n'est possible qu'à condition de supposer l'associativité, la commutativité et la distributivité avec module de la multiplication des nouveaux complexes, reste bien formellement exact, mais perd toute portée philosophique générale, puisque le principe de Hankel est faux. Le champ reste donc absolument ouvei't à la création d'entités nouvelles qu'il faudra individuellement soumettre à une étude mathématique appropriée. Ajoutons que les relations des entités avec leurs lois opératoires n'ont rien dehxe : certains nombres, comme les entiers, se reproduisent par addition et par multiplication, mais d'autres nombres (nombres algébriques du 2*" degré, par exemple) engendrent des nombres, d'autre espèce qu'eux-mêmes, par addition et par multiplication.

Mais, de toutes les théories récentes, la théorie des nombres transfinis serait de beaucoup la plus instructive à examiner, précisément parce qu'il y a là une classe d'entités nouvelles sur la portée desquelles les mathématiciens ne sont pas d'accord. Quels sont les nombres transfinis qu'il faut admettre? Ceux des deux premières classes? Ceux d'une classe supérieure ? Les Itjiiea ordinaux ne sont-ils pas appelés à un plus grand avenir que les cardinaux trans finis? Faut-il rejeter tous ces nombres en bloc ? Les mathématiciens sont en désaccord, et les logisticiens — jusqu'à présent — ne sont arrivés à aucun résultat positif. Cependant, en

LA METHODE LOGISTIQUE 81

nous appuyant sur ce que nous enseigne Thistoire des mathématiques, nous avons tout lieu de croire que les géomètres résoudront seuls les difficiles problèmes que soulèvent les nouvelles doctrines. En effet, la théorie des imaginaires et des sur-complexes avait donné lieu à des difficultés logiques ou philosophiques dont la pensée mathématique, sans alliés étrangers, est parvenue à triompher. 11 en sera de môme bien probablement pour les nombres transfinis. Nous n'avons pas la prétention d"aborder ici le fond de ce problème ; constatons seulement, d'abord, que le critérium de l'utilité mathématique constitue, au moins provisoirement, un principe d'éhmination qui permettra sans doute de condamner bien des parties de l'œuvre de Cantor. Ce critérium a été ainsi formulé par M. Picard : « Il n'y aura lieu de la développer (l'arithmétique des nombres transfinis) que si ces vues se montrent fécondes ; dans l'analyse ; la considération des nombres transfinis a permis déjà de découvrir certains théorèmes, mais on doit dire qu'ils ont pu être obtenus par une autre voie'. » Il ne faut pas non plus oubHer de distinguer — distinction qui pourrait échapper aux philosophes — la théorie des cardinaux transfinis ide la théorie des ordinaux transfinis. En ce qui oncerne la première théorie, l'opinion de M. Borel semble actuellement résumer le mieux la ques-