LES INTÉGRALES IRRÉDUCTIBLES ET LE NOMBRE DES IDÉES PRIMITIVES

On sait que dans les problèmes de quadrature, on est amené à considérer des fonctions qu'on ne peut intégrer au moyen des expressions algébriques et des transcendantes élémentaires (logarithme, exponentielle, fonctions circulaires) en nombre fini. On constate donc l'existence de types irréchictibles à des formes plus simples. On dit qu'il y a alors des transcendantes nouvelles. Nous ne saurions trop insister sur la manièr-e dont les mathématiciens étudient ces êtres nouveaux '. Le procédé que nous allons caractériser d'une manière géné-

»1. On pourrait trouver d'autres exemples que celui que nous examinons pour justifier notre conception. Mais celui-là a l'avantage de mettre en évidence la notion fondamentale d'irréductibilité.

raie a, au point de vue philosophique, une importance considérable, puisque la prétendue chaîne des déductions purement analytiques des propositions mathématiques semble rompue à un moment donné; si tant est qu'on doive se représenter les propositions mathématiques comme formant une chahie. On rencontre à un certain moment des êtres mathématiques, qu'on ne peut intégrer formellement au moyen des types élémentaires en nombre fini. On ne les proscrit pas pour cette raison du domaine de l'analyse ; mais, on les étudie en tant qu'objets nouveaux jouissant de propriétés siii generis. Ils auront des formules d'addition, de multiplication, des développements en séries, etc., qui leur sont propres.

Prenons, par exemple, les intégrales elliptiques qui jouent un rôle considérable en Analyse'. Considérons simplement l'intégrale

dx

Si R [x] est un po^nôme du 3® ou du 4® degré, on aura une transcendante nouvelle: si R [x] est du 1'"' ou du 2" degré, l'expression s'intégrera au moyen

dz

■1. On sait que étant donnée ■.u-= ( ,

on

considère la fonction z = f{u), qu'on étudie dans le champ d'une variable complexe; cette dernière fonction est une fonction elliptique qui est méromorphe, bipériodique : ses propriétés, classiques aujourd'hui, sont exposées dans tous les cours d'analyse.

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des fonctions élémentaires, généralement par un arc sinus ou |iar un logarithme. Mais que R [x) soit du 2*^ ou du S** degré par exemple, les mêmes idées élémentaires, les mêmes signes opératoires ou fonctionnels interviennent : N^, 1 ,d,-{-, — ,X, :,v/ 5 Uf et la variable. 11 suffît que le degi'é du polynôme contenu sous le radical en dénominateur augmente d'une unité, pour que brusquement, on se trouve en présence d'une transcendante nouvelle qui exigera des études spéciales considérables, et dont la théorie formera une partie importante de l'analyse. Voilà un fait, semble-t-il, dont la logique formelle ne peut rendre compte.

11 est bien entendu, qu'au lieu de se placer au point de vue des quadratures simples, on peut se placer au point de vue de l'intégration des équations différentielles. Et cherchant à approfondir le problème de la réductibihté et de l'irréductibilité, on pourra se demander : quand faut-il dire qu'une ^uation diirérenlielle est réductible ou irréductible ? On sait que toute la théorie des groupes se rattache à ce j)r"oblème. Montrons sommairement, d'après M. Painlevé, comment on peut répondre ù cette question :

« Considérons une équation ihllerentielle algébi'iquc, que je choisis du premier ordi'e ; soit l'équation

l'intégrale générale y[x) de cette équation dépend d'une constante arbitraire, soit u ; autrement dit, l'équation [e] définit une fonction y de deux variables x, u, ou plutôt une infinité de telles fonctions. Il est loisible de considérer u comme fonction de X, y ; cette fonction vérifie l'équation aux dérivées partielles :

au , àii „

qui équivaut à l'équation [e). L'intégrale générale de l'équation (e) sera dite rcductiôle, si l'on peut adjoindre à l'équation (E) d'autres équations algébriques enx, y, u, ^,, ^, •^,' , q^'i soient

compatibles avec l'équation (E) sans en être une conséquence ^ ».

La définition s'étend à une équation ou à un système différentiel d'ordre quelconque. Admettons, pour ne pas donner trop de longueur à ces explications, que la définition ait été ainsi étendue, et que l'on ait défini ce que l'on entend par un .s//.stème réduit - ; on pourra énoncer la proposition fondamentale suivante dans le cas du premier

1. Painlevé, Bulletin des Sciences mathématiques, t. XXVIIl (juillet 1901), p. 198. Le principe de cetlc définition a été donné pour la première fois par M. Drach, dans sa thèse. Celte question a lail l'objet de travaux de MM. Painlevé et Vessiot.

2. Pour la définition du système réduit, vï. Painlevé, Ibid., p. 200.

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ordre : « Quand une équation différentielle est rvduct'ibU'^ parmi les systèmes réduits il en est toujours un, d'ordre différentiel minimum, qui jouit des propriétés suivantes: 1° il est automorphe, c'est-à-dire que sa solution générale u{x,y) se déduit d'une solution particulière quelconque ^'-li.-^^y) P^*" l^s transformations ii = 'h («/J d'un groupe ; 2° tous les autres systèmes réduits se déduisent de celui-là, en y remplaçant u par une fonction U [u) qui vérifie une équation différentielle algébrique (en u, U) arbitrairement choisie '. »

Comme on le remarque aisément, ces importantes propositions donnent les caractères des équations réductibles, mais elles ne déterminent pas directement les caractéristiques des équations irréductibles. L'irréductibilité comme telle est définie négativement — comme ne remplissant pas les conditions de réductibilité — dans les propositions précédentes. Peut-il en être autrement ? Le caractère négatif de la notion rend la chose peu vraisemblable. Nous ne pousserons pas plus avant cet examen, nous contentant de remarquei' que les entités qui ont ce caractère d'irréductibilité n'en sont pas moins étudiables en tant qu'objets donnés, et la question suivante se pose pour elles : Quand devra-t-on considérer les équations