Paiiili'vé, Bullelin des Sciences mathématiques. t.XXVIII

(juillut l'J04), p. -JUO.

irréductibles comme intégrées ? M. Painlevé nous donne encore une réponse générale à cette question : « Une équation différentielle irréductible devra être regardée comme intégrée si, par un procédé d'approximation indéfinie (série, fraction continue, intégrale définie, etc.), on arrive à représente?' l'intégrale générale dans tout son domaine d'existence, avec une erreur aussi petite qu'on veut, la représentation mettant en évidence les propriétés fondamentales de l'intégrale \ » Mais la question de la représentation d'une intégrale soulève une série de problèmes mathématiques. Remarquons notamment qu'il existe pour chaque fonction une infinité d'expressions propres à la représenter ; l'expression que l'on choisira devra mettre en évidence le plus exactement possible les propriétés caractéristiques de la fonction, et en particulier ses singularités. Or parmi cette infinité d'expressions entre lesquelles on a le choix, la logistique ne nous apporte aucun critérium positif qui nous permette de décider laquelle est la meilleure. Le mathématicien se trouve ici, comme nous l'avons déjà vu dans la théorie des nombres, en face de difficultés mathématiques réelles, vis-àvis desquelles la logique formelle ne lui est d'aucune utilité.

Les êtres mathématiques irréductibles consli-