mu., p

LA MÉTHODE LOGISTIQUR 89

tuant une infinité non dénombrable, comment concilier ce fait avec la théorie loi;i(|uc, d'après laquelle il n'y a qu'un nombre fini d'idées élémentaires ? Faut-il dire que ces êtres mathématiques originaux, nombres transcendants, intégrales ii'réduclibles, forment une progression ? Mais le terme de progression signifie dans la théorie logistique, une suite semblable à la suite des nombres naturels. Un nombre fini d'indéfinissables et de principes indémontrables sulTit à constituer la suite illimitée des nombres naturels et leurs propriétés élémentaires. (Bien entendu, la doctrine logistique n'éclaircit pas la nature intime de ces nombres, comme on peut s'en rendre compte en étudiant la théorie des nombres premiers). 11 y a en ce qui concerne les nombres naturels, permanence des règles opératoires élémentaires pour toute la suite. Si grand que soit un nombre naturel, eût-il cent chiffres, les lois de l'addition, de la soustraction, etc., resteront pour lui les mêmes que pour les premiers nombres, à moins de contester la valeur même (hi principe d'induction complète. Mais l'ensemble des transcendantes irréductibles ne saurait être considéré comme formant une progression. D'abord, les règles opératoires ne sont plus conservées ; par exem[)le, il y a une formule d'addition pour les fonctions elliptiques qui n'est pas la même (quoique ces formules aient des analogies) que la formule d'addition des

fonctions trigonométriques. De plus, il n'y a pas consécutivité entic les éléments d'un tel ensemble, comme il y a consécutivité dans la suite' des nombres naturels. Enfin, la puissance de cet ensemble n'est pas semblable à celle de la suite des nombres naturels, la puissance de Tensemble des êtres mathématiques irréductibles constituant une infinité non dénombrable. Mais, d'autre part, il est évident que nous ne pouvons penser avec une infinité de principes logiques. Sans doute, telles notions, comme celles qui sont représentées en mathématiques parles signes S, II,/, c'est-à-dire une somme infinie, un produit infini, une intégrale, impliquent une infinité d'éléments : mais on doit dire, en ce qui concerne ces notions, avec MM. Russell et Couturat, qu'elles sont pensées en compréhension et non en extension. Il faut donc conclure que nous pensons avec un nombre fini de constantes logiques (notions indéfinissables, propositions indémontrables), qui nous servent à étudier l'univers transfiniment ùifini des êtres mathématiques. Nous résumerons notre pensée sur la question du nombre des idées élémentaires, en disant que le système de nos idées logiques constitue un système fermé, et que l'univers des êtres abstraits et concrets auquel il s'applique demeurera toujours, pour nous, un système ouvert. Mais, par cela même, l'étude de l'univers des êtres ne sera jamais achevée, et elle nous contrain-

LA MÉTHODE LOGISTIQUE 91

dra à modifier le système fermé des constantes logiques. Nous serons amenés, en effet, à considérer de nouveaux êtres irréductibles qui n'entreront pas nécessairement dans nos cadres logiques, d'où la nécessité de les perfectionner. Nous pensons toujours, à un moment donné de révolution, avec un S3^stème fini de constantes logiques ; mais à un système en succède un autre. M. Couturat a revendiqué le droit, parfaitement légitime, de iransformer et d'améliorer la logique classique, et a victorieusement réfuté la thèse singulière, d'après laquelle, seule, parmi les productions de l'esprit humain, la logique, née du cerveau d'Aristote, constituerait un monument éternel et, partant, divin. Mais, précisément parce que la logique est soumise à la loi générale d'évolution, il n'est pas permis d'afïirmcr que la logique do M. Russell, qui a subi déjà de nombreuses modifications, possède ce caractère de pérennité que nous refusons, à juste titre, de conférer à l'œuvre d'Aristote. Observons que l'évolution peut se faire par voie d'adjonction — comme c'est le cas pour les mathématiques. Il n'est [)as nécessaire, comme on le croit à tort, qu'elle se fasse par voie de conti-adiclion (thèse hégélienne). La table de P^thagore, les formules de la trigonométrie formulées, dit-on, pour la première fois par llippai'que, vieilles de plusieurs milliers d'années, n'ont jamais été contredites, n'ont jamais cessé d'être vraies.

92 LA PHILOSOPHIIÎ DIÎS MATHÉMATIOUES

LA NOTION DE FONCTION ET SES CONDITIONS RESTRIC- TIVES POUU SON USAGE MATHÉMATIQUE

Nous avons, dans les deux derniers paragraphes, indiqué des théories malhémaliques qui font obstacle à une extension illégitime de la logistique hors de son champ d'application. Mais s'il existe des problèmes qui sont manifestement du ressort de la mathématique proprement dite et d'autres qui relèvent de la logistique, il y a aussi des théories mixtes où le départ de ce qui revient à la logique et à la mathématique est dilficile à faire : il semble que la détermination de la nature des conditions restrictives de la notion de fonction rentre dans cette catégorie. Nous nous réservons d'examiner plus à fond, dans une autre étude, ce problème complexe qui soulève de nombreuses difficultés. Nous voudrions donner, dans ce court paragraphe, quelques indications sur la méthode qui permettra d'élucider ces questions.

On peut dire que la notion la plus générale de fonction est la fonction discontinue et non uniforme. Mais, on sait que l'analyse ne possède pas une théorie des fonctions répondant à ce type absolument général. Il est facile, en effet, de montrer que nous ne pouvons, actuellement, constituer une

LA MÉTHODE LOGISTIQUE 93

théorie des fonctions discontinues les plus générales. Suivons le raisonnement de M. Borel : une fonction, pour pouvoir être étudiée, doit être donnée au moyen d'une infinité dénombrable de conditions ; il n'en est pas ainsi pour une fonction discontinue au sens le j)lus général : « une telle fonction est définie par une infinité îion dénombrable de conditions ; en pratique eela revient à dire qu'il est impossible de la définir' ». On ne })eut donc songer à aborder la théorie des fonctions en conservant à cette notion sa plus grande généralité. Il faut lui imposer des restrictions.

En s'en tenant à la notion môme de fonction, M. Lebesgue a remarquablement retracé l'histoire des premières transformations de cette notion. Résumons brièvement son exposé. A l'époque de Newton et de Leibnitz, on appelait généralement « fonction une quantité y liée à une variable x par une équation où intervenait un certain nombre de symboles d'opérations (opérations arithmétiques, trigonométriques, logarithmiques) '" ». Puis, on a été amené à considérer le cas (par suite des problèmes d'intégration) oîi, entre une expression S(a:) (aire) et x, il existe une relation géométrique. Alors on distingua « les figures géométriques définies à l'aide de lois exprimables par des éga-