CONCLUSION

Résumons brièvement les conclusions qui se dégagent de cette étude,

1. P. Boutroux, Revue de métaphysique et de morale, juillet 1905, p. 628.

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Constatons, d'abord, que la controverse à laquelle nous avons fait allusion au début de notre travail, a cessé de porter sur les problèmes philosophiques essentiels, lorsqu'elle a dégénéré en un examen des cas de tératologie mathématique. L'antinomie Burali-Forti, la contradiction Richard, le sophisme « Tous les Cretois sont des menteurs » sont à l'extrême frontière de la science. Nous n'en contestons pas l'intérêt, mais il y a des problèmes plus fondamentaux, situés au cœur môme des théories mathématiques. Vouloir réduire la philosophie des mathématiques à la solution des sophismes serait aussi illégitime que de prétendre voir, dans la physiologie pathologique, le modèle de toute piiysiologie. Or, un grand nombre de lecteurs pourraient avoir cette impression en étudiant les dernières discussions qui ont porté sur ces questions. La logistique n'enveloppe évidemment pas toutes les théories qui méritent d'attirer la réflexion du critique des sciences, et il y a de nombreux problèmes mathématiques proprement dits, qui soulèvent des questions philosophiques de grande portée.

iNous avons vu, ensuite, que la logistique constitue une branche restreinte, mais indispensable de la critique des Sciences'. Ra[)pelons comment

\. l'eirce soulenait que la logique est une branche des matliémaliqucs, M. Coutural prétend que la malhénialifiue est une branche de la logique (brandie autrement im|)or-

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Auguste Comte, qu'on cite communément comme un adversaire de la logique formelle, en concevait la possibilité vers 1830 : « J'ignore si, plus tard, il deviendra possible de faire a priori un véritable cours de méthode tout à fait indépendant de Tétude philosophique des sciences, mais je suis convaincu que cela est inexécutable aujourd'hui les grands procédés logiques ne pouvant être encore expliqués avec la précision suffisante séparément de leurs applications. J'ose ajouter, en outre, que lors même qu'une telle entreprise pourrait être réalisée dans la suite, ce qui, en effet, se laisse concevoir, ce ne serait jamais néanmoins que par l'étude des applications régulières des procédés scientifiques '.,. »

La légitimité même de la logistique, dans sa sphère propre, ne peut plus sérieusement être contestée, et la seule question qui subsiste est de savoir, en fait, dans quelle mesure elle a rempli sa tâche. Mais répétons encore qu'elle ne saurait prétendre au rôle d'une méthode nouvelle d'investigation ; le rapprochement de la logistique avec

tante que le tronc dont elle est issue). La question posée de cette manière formelle ne paraît pas avoir un grand intérêt pratique ou scientifique. L'essentiel est qu'il y a une branche d'études positives appelée logistique, que cette étude se fait sous forme d'un calcul symbolique, calcul dont l'efficacité est spéciale puisqu'il ne sert pas à résoudre les problèmes des autres branches des mathématiques.

1. Auguste Comte, Cours de philosopkie positive, édition de 4830, 1, 39.

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le calcul différentiel et intégral, par exemple, serait complètement erroné. Le calcul différentiel et intégral a permis, dès son origine, de résoudre des problèmes mathématiques : problèmes de quadrature, problème de la tangente, problèmes plus particuliers comme celui de la chaînette, La logistique, qui reste la mathématique des éléments, n'a rien fait de tel. On ne saurait par suite la considérer comme une sorte de spécieuse universelle, dans laquelle la pensée mathématique s'anéantirait complètement. 11 y a, en résumé, deux conceptions de la logistique : l'une qui lui assigne une fonction positive spéciale, l'autre qui, voulant absorber en elle toute la pensée humaine, la transforme en une scolastique algébrique aussi stérile que la scolastique du moyen âge. Nous avons vu que la pensée scientifique se heurte à des problèmes réels, à des faits pour la solution ou l'explication desquels la réduction des méthodes mathématiques ordinaires aux méthodes logistiques n'apportait aucun avantage. La logistique, en tant qu'explication universelle, doit être condamnée au môme titre que n'importe quelle métaphysique, parce que s'exerçant hors de son champ d'application, elle reste un pur jeu d'esprit sans utilité scientifique. Autre chose, en effet, est de déterminer et de classer les éléments grammaticologiques, éléments du langage ordinaire, qui interviennent dans les mathématiques; autre chose

est de prétendre réduire absolument toutes les mathématiques à ces formes élémentaires. Dans le premier cas, on agit en savant, dans le second en métaphysicien. L'identification complète de la pensée mathématique avec les éléments grammatico-logiques qui la conditionnent est une illusion analogue à celle du dogmatisme matérialiste, qui assimile complètement la pensée aux éléments du cerveau, qui en sont les conditions matérielles de production. La preuve que cette identification est vaine résulte du fait que, si la logistique rendait le mécanisme de la pensée mathématique absolument transparent, et si elle absorbait effectivement cette pensée, on ne devrait plus jamais rencontrer de problèmes mathématiques présentant des difficultés que la logistique ne fût pas apte à résoudre immédiatement. Or, nous savons qu'il n'en est rien.

On nous demandera, peut-être, de répondre à notre tour à la question : Quelle conception doiton se faire de la pensée mathématique intégrale ? Or, non seulement nous nous récuserons devant une pareille mise en demeure, mais nous prétendrons que personne ne pourra jamais résoudre ce problème dépourvu de sens positif.

En réalité, nous sommes en présence d'un ensemble de méthodes et de données irréductibles qui forment les diverses branches des mathématiques. Nous ne saurions, en aucune façon, expli-

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quer cet ensemble de connaissances par une vue philosophique systématique. Du moins, une semblable explication n'aurait scientifiquement aucune valeur objective. Mais nous pouvons constater que les méthodes scientifiques s'organisent, se transforment conformément à l'idéal du logicien, en ce sens que la démonstration mathématique doit mettre son sceau sur les suggestions de l'intuition pour que la découverte prenne définitivement place au rang des vérités scientifiques.

En étudiant le mécanisme interne de cette démonstration, nous entrevoyons le sens logique « de la mystérieuse unité qui se manifeste dans les travaux analytiques en apparence les plus éloignés* », unité dont la réalisation complète ne saurait être considérée comme effectivement réalisée, mais seulement comme idéalement conçue, dans l'état actuel de nos connaissances.

1. Hermile, Comptes rendus de V Académie des sciences, 1862, 2» semestre, f. LV, n» 2, p. 'Jl.